二项式定理2
1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计
一、教学内容解析
“二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。
教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。
本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
二、教学目标设置
1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。
2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。
三、学情分析
学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n
( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a)
b
一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。
但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。
根据以上学情，制定如下教学难点：
教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
四、数学情境与学习问题的设置
根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。这样才能更有利于解决本节课数学
知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾，从而也能提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养。
本节课重点从情境的来源、情境设计的意图和围绕情境意图设计问题三方面关注了数学情境与学习问题的设置。
1，情境来源
情境设计应以学生已有知识或熟悉的生活现象为出发点，设置已经学了数学知识为情境。为此，本节课从教材中的学生熟知的一个数学问题,即关于多项式相乘且能结合计数原理的知识出发设置了探究))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开式的项数的问题情境和求3)(b a +展开式的各项组成形式和各项系数的情境。
2，情境意图
情境设置的意图重在考察学生运用已有知识和经验分析问题和解决问题的能力，建立特例问题与一般数学结论间的联系。本节课中这两个情境可以帮助学生获得多项式相乘时，各乘积项形成的方法以及根据各乘积项形成的过程结合计数原理分析各项的系数，而这正是解决二项式定理的两个前提，并且在此过程中也提升了学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。
3，情境的问题设计
问题的设计应通过针对情境特征的剖析，通过设置思考和追问等问题形式结合学生独立思考和小组探究等活动，引导学生深入反思，强化概念形成的合理性和科学性。本节课就是在两个情境问题的解决过程中设置了一系列思考和探究活动，重在使学生自然发现利用多项式乘法法则得到乘积项特征以及利用乘积项特征结合计数原理分析系数的本质，期间关注了数学抽象和逻辑推理等核心素养。
五、教学策略分析
为了便于教学的顺利切入和展开，本节课从计数原理的一道课后练习入手，求乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项，既符合学生的最近发展区，也巧妙地让学生经历了从多项式法则结合计数原理分析特殊的多项式乘积展开的问题。既分散了教学重难点，又能通过问题的进一步特殊化和一般化层层推进教学，也符合数学问题发生和发展的探究过程。
为了调动学生探究积极性，使每个学生经历定理的探究过程，遵循以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者的课堂教学原则，教学上采取“启发式教学”方法；学生主要采取自主学习和小组合作相结合的“探究式学习法”，小组合作也为不同认知学生提供了学习的机会和帮助。
为了探求知识发生发展的根源，结合学生思维发展规律，本节课采取由特殊到一般，由一个特例入手，层层推进设计“问题串”教学，以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近
发展区”设置问题。
本节课倡导学生主动参与，引导学生观察和分析问题，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中完成二项式定理的探究。
六、教学过程
1、创设情境 初步体验
问题1:在教材10P 有这样一个问题，乘积))()((5
4321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项？你认为如何解决这一问题？
设计意图：
（1）检验学生多项式乘法法则是否清楚，这是为什么可以利用计数原理分析二项展开式的原因；
（2）使学生明确，分析多项式乘积结果时可以运算展开、计数原理分析和模拟摸球三种策略；
（3）通过问题的特殊化和一般化，便以引出课题，也符合数学问题认知规律。
预设1: 根据多项式运算，展开求解。
预设2: 共有45533=??项。
追问1：你能解释一下这三个多项式相乘，运算结果为45项的运算过程吗？
预设1：根据多项式运算法则，乘积每一项都是k j i c b a 形式，结合分步乘法计数原理共有45533=??项。
预设2：将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的球，那么每个因式各取一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球，构成三个球的组合有多少个的问题。
思考1: 是否所有的多项式相乘求展开式项数问题都能类似问题1的方法快速求出？
预设：不是，当各因式相同时乘积有同类项，合并后项数发生改变。
追问1：请举例说明。
预设：2222)(b ab a b a ++=+，项数发生改变不是4。
师：这位同学给我们提出一个新的问题，当因式相同时展开会有同类项需要合并，项数发生改变，当然各项系数也有变化。下面我们就来尝试能否解决相同因式相乘中最特殊的一类，即n b a )(+展开式有什么特征?项数，各项系数和次数是多少?
2、探究归纳 发现规律
问题2: 请同学们设计一个探究n b a )(+的展开式思路。
预设：由特殊到一般，先研究4,3,2=n 时情况。
追问1：观察特例展开式的哪些信息有助于帮助我们得到一般展开式的规律，进而得到n b a )(+的展开式。
预设：各项组成形式、项数、各项系数和次数。
思考1：请同学们按照设计的思路进行研究，看能否帮助我们得到n b a )(+的展开式。
师生活动：学生先独立思考，然后再小组探讨，最后请小组代表发言展示探究结果。
预设1：总结出n b a )(+展开式项数为1+n ，次数为n ，各项形式为k k n b a -，但是各项系数没有得到规律。
预设2：个别同学发现了系数的“杨辉三角”规律，但是只能各项递推，并不能得出一般式系数。 思考2: 请同学们结合问题1的解决带来的启发，思考能否不通过多项式相乘计算展开，探究一下为什么3()a b +展开式的组成结构只能是形如3223,,,b ab b a a 这样的项？当然这就解决了展开式项数为4，各项次数为3的问题。
同时思考能否根据各项的形成过程结合所学知识求出各项的系数？
师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。 预设1：3a 这样的项只能每个因式都取a 相乘，只有一种情况，因此系数为1，而产生b a 2需要在3个因式)(b a +中有2个取a ，1个取b 相乘，利用分布乘法原理结合组合数的意义，这样的情况有
1123C C ，即3种，因此b a 2的系数为3，其余各项系数类似可得。
预设2:模拟摸球。
追问1: 请同学们思考刚才的推导方法4=n 时是否适用？
预设：适用。
追问2：请同学们按照上述方法快速给出4)(b a +的展开式。
师生活动：教师巡视，边巡视边与学生交谈，纠正问题。
思考3: 请同学按照刚才得到的规律和方法，猜想一下)()(*∈+N n b a n 的展开式，并观察展开式有多少项，展开式各项的组成形式有什么特征，能否用一个式子表示这个特征？
师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。
预设：猜想n n n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 02121100......)(++++=+--，共有1+n 项，每一项的都是n 次，
每一项可以写成k k n b a -的形式，系数是k n C 。
追问1：能否解释一下，为什么每一项都是成k k n b a -的形式，系数是k n C 。
预设1：多项式乘法法则分析项的组成形式，计数原理分析系数。
预设2：模拟摸球模型解决。
追问2：我们能不能说展开式中的每一都是)....2,1,0(n k b a C k k n k n
=-的形式？ 预设：是。
3、知识建构 认识定理
问题3: 公式)(............)(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n
n ∈+++++=+--叫做二项式定理，右侧展开式称为n b a )(+的二项展开式。请同学们观察二项展开式一共有多少项？次数是多少？各项系
数是多少？a 的次数排列规律是什么？b 的次数排列规律是什么？通项k k n k n
b a C -是二项展开的第几项？
预设：共有1+n 项，次数都是n ，系数为k n C ，a 按降幂排列，次数由n 到0，b 按升幂排列，次数
由0到n ，通项k k n k n
b a C -是展开式的第1+k 项. 师：请大家结合定理得推导过程牢记定理内容，我们称各项的系数)....2,1,0(n k C k n
=为二项式系数，二项展开式的通项用1+k T 表示，记为)......2,1,0(1n k b a C T k k n k n k ==-+
即通项为展开式的第1+k 项. 追问:大家想不想知道二项式定理的创始人?
师：讲述二项式定理得创始人牛顿，以及牛顿在数学上所作的贡献，提升学生数学文化。
4、实战演练 巩固新知
例1，求5)12(x
-的展开式； 问题4: 观察5
)1
2(x -的结构，根据这节课所，,你准备如何解决这个问题? 预设: 直接利用公式展开。
追问1:公式中的n b a ,,在本题中分别是多少？
预设:令5,1,2=-==n x b a
设计意图：（1）巩固二项式定理内容；（2）理解定理中b a ,是任意的，根据题干将问题化归成二项式形式。
例2，（1）6)12(x x +的展开式的第5项的系数为 ；（2）6)12(x
x +的展开式中2x 的系数为 。 问题5：观察分析例2 (1)，你准备如何解决这个问题？
预设1：由通项公式)......2,1,0(1n k b a C T k k n k n
k ==-+知4=k ，所以第5项系数为1546=C 。 预设2：带入通项公式计算24246560)1()2(x
x x C T ==，所以系数为60。 设计意图：（1）探究展开式某一项时，通项公式是常用方法。（2）二项式系数与项系数的区别。
（2）6)12(x
x +的展开式中2x 的系数为 。 问题6：分析第(2)问，你准备如何解决？
预设1：根据题意2x 肯定为展开式中某项，因此利用通项公式k k k k k k k x C x
x C T 26666612)1()2(---+==，可得2=k ，因此系数为2402426=C 。
预设2: 因为展开式的各项就是从6个)12(x x +中分别选出x 2或x
1相乘，因此想获得2x 这样的项只能是4个x 2与2个x 1相乘，即24)1()2(x x ，可知此项为22426240)1()2(x x
x C =，所以系数为240。 设计目的：（1）强化二项式通项公式在解决展开时某一项问题时的应用；（2）检验学生是否掌握二项项式定理推导的思想方法以及思想方法在实际问题中的应用。
5、思维拓展 能力提升
问题7: 求52)(y x x ++的展开式中25y x 的系数。
思考1: 此问题中多项式是3项,我们还能否利用二项式定理解决,结合例1和例2的收获,你准备如何着手解决这个问题?
预设1:将y x x ++2中2项看成一项,令y b x x a =+=,2,利用二项式通项公式25y x 这样的项只能是在23225)(y x x C +中得到,再将32)(x x +展开寻求5x 这样的项就可以.
预设2：根据多项式相乘法则，得到25y x 这样的项，需要在5项中选2个选取y ，剩下的3项中选定2个取2x ，1个选取x 相乘就可以得到25y x ，根据分步乘法原理，这些项共有112325C C C 种选法，因此系数为302325=C C 。
设计意图：（1）培养分析问题，化归转化问题的能力；（2）通过两种方法对比，使学生明白学习中不但要掌握结论是什么，更重要的是要理解为什么，即结论推导过程中蕴含的思想方法。
6、回顾反思 归纳总结
问题8: 本节课，我们从课后一个练习入手，通过两个特例探究发现了如何结合计数原理和多项式
乘法法则探究多项式乘积展开的项的组成结构，项数和系数，并利用这一发现最终获得了一般的二项展开式，即二项式定理。请同学们回顾整个过程，你在知识上和思想方法上都有哪些收获，在学习数学上有哪些启发？
预设1：学会了二项式定理，以及它的通项公式，并利用它们解决展开项问题。
预设2：学会了推导多项式乘积展开式的方法，根据多项式乘法法则，可以分析出乘积项的结构特征，并且结合计数原理分析项数和系数。
预设3：体会到特殊问题的解决往往蕴含着一般的思想方法。
师：正如同学们所说，通过这节课，第一，我们掌握了二项式定理以及它的通项公式，并能利用它们解决一些二项式展开问题，当然在应用时我们还要注意一些细节，比如二项式系数和项系数的区别，通项代表的是第1+k 项等。第二，我们学会了利用公式的推导思想方法去分析一些给定的多项式展开问题。第三，体验了一些数学思想方法，比如特殊到一般、类比归纳、建立模型、化归与转化等，希望同学们在以后的学习中多加体会。
七、课堂目标检测
1. （1）写出n b a )(-的展开式；（2）写出()n
x +1的展开式。 2.（1）分别求出62)12(x
x -的展开式的第4项的二项式系数和第4项系数。 （2）求9)1(x
x -的展开式中3x 的系数。 3. 求6)(c b a ++展开式中 222c b a 的系数。
4. 根据本节课学习过程，请设计一个求n c b a )(++展开式的探究思路？
布局精巧 培养能力 关注核心素养
----对“刘志诚老师‘二项式定理’评优课”的点评
赵成海 特级教师
刘志诚老师的“二项式定理”(第一课时)的参赛课，特点突出，优点明显。请看以下几点。
一．布局精巧
郑毓信教授曾提出过数学教师要练好三项基本功：善于举例，善于优化，善于提问，一节好的数学课离不开教师在这三方面的驾驭能力。本节课的精巧布局就已经引人入胜，首先引例，“))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项”(笔者以为这正符合“善于举例”)，非常符合学生的最近发展区，巧妙地引导学生从已有的经验中，提炼了如何从多项式法则结合计数原理分析特殊的多项式乘积展开问题的求解思维，达到既分散了教学重难点，同时又能通过问题的进一步特殊化、一般化层层推进教学；其次本节课较多地提问，能够激发学生独立深入地思考，引导学生对自己思维活动的监控、调整，有助于提高学生元认知能力，并且整节课的提问，大多带有鼓励性、引导性、启发性，并且在提出第一个问题的同时，不断的追问，因而使课堂提问更为有效且显然丰富多彩(笔者以为这正符合“善于提问”)；第三，教师善于引导学生，能够通过对旧知识回顾与分析，得到启发，也就是从学生最近发展区入手，使学生产生探究新知的欲望，形成新的认识，解决新的问题(这就是“善于优化”)。
二． 培养能力
本节课，教师在培养学生能力方面也很突出，比如：引题后开门见山，直接给出问题：)()(*∈+N n b a n 的展开情况如何？学生思考并回答研究方案，即从特殊的入手，这正是学以致用，学生有意识地将以往学过的逻辑推理方法，自学地应用到新知识的学习与探究中，特别是学生活动，小组交流进行研究探讨(课堂气氛热烈)，因此体现出本节课在能力方面的培养
1．对于归纳推理能力方面的培养，在学生研究后的展示中是通过对二项式中指数为2，3，4时33223()33a b a a b ab b +=+++等的展开式特点的分析与探讨①多少项②各项结构形式
)3,2,1,0(3=-k b a k k ③a ，b 分布规律④各项系数(学生回答时时没有得出，通过另一小组补充，对称美等思维特点寻求到杨辉三角特性)⑤学生进一步对系数特点进行探讨，层层深入，寻求规律，从而猜想出一般情况下)()(*∈+N n b a n 的展开情况，并且得出展开式的通项，整个分析与研究过程使人跃跃欲试收获颇丰；
2．对于分析转化问题的能力的培养，后面在定理应用方面的例1，例2等，循序渐进，学以致用——展开式的应用、通项的应用、系数与二项式系数等区分与联系；并且课下的思考问题，求52)(y x x ++的展开式中25y x 的系数，使学生学习新知后的分析能力的升华，足见教师的教学设计的艺术性。
教会学生思考比教会学生做题更重要，而本节课对学生各方面能力的培养恰恰就是在教会学生思考方面做足了文章。
三．关注核心素养
2017年《普通高中数学课程标准（修订稿）》提出了数学区别于其他学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
本节课在数学抽象和逻辑推理的核心素养方面的培养有其精彩之外，对于数学建模也很有见地，比如将引例预设成：将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的球，那么每个因式各取一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球，构成三个球的组合有多少个的问题。这是参赛老师区别于其它关于“二项式定理课例”所特有的见地。特别是学生的活动贯穿于整个教学过程中，每一位学生无时不在参与到教学过程中，不断地进行思考与探索，使课堂在融洽的兴趣盎然的氛围中有序进行，教学过程给人以美不胜收之感，课后学生的感受发自内心，收获更是不胜枚举。引入数学史，杨辉三角(比外国早500年) 感受数学文化，激发爱国热情与民族自豪感；牛顿是二项式定理的创始人，以及牛顿在数学上所作的贡献，激发其求知与探索欲望。
总之，本节是很接地气的一节新授课。
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
高中数学2二项式定理(带答案)
二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02213211 2.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
二项式定理知识点总结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
二项式定理2
1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析 “二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。 教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。 本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 二、教学目标设置 1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。 2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。 三、学情分析 学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n ( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a) b 一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。 但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。 根据以上学情，制定如下教学难点： 教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 四、数学情境与学习问题的设置 根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。这样才能更有利于解决本节课数学
二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中， 前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4 324 121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1 C +-+==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5 x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5 x 项，可以得到5 510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结 一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有项（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式 二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1）字母的次数和组合数的上标相同（2）与的次数之和为（3）在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1、等于（） A、 B。C 。D 、例 2、（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和 4、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 （2）求的展开式的常数项。 【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定
二项式定理教案(绝对经典)
第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．
二项式定理
二项式定理 学习目标：能利用计数原理证明二项式定理；理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 学习重点：探究并归纳用计数原理分析3)(b a +的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定 理． 二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如何利用两个计数原理得到2)(b a +， 3)(b a +，4)(b a +的展开式？你能由此猜想一下n b a )(+的展开式是什么？ 学习任务：阅读课本P 29～P 35. 问题1. 用乘法法则展开3)(b a +，合并同类项之前展开式有多少项？合并同类项后会有几项？其 中b a 2的系数是多少？用两个计数原理分析。 问题2. 回答P 30探究。 问题3. n b a )(+的展开式按照a 的降幂排列，共有多少项？其中，含有k k n b a -的项是第几项？这 一项的项数是多少？利用计数原理分析。 问题4. 通过教材例1和例2学习，熟悉二项式定理二项式系数，二项展开式的通项中a ，b ，n ， k 的具体含义。 问题5. 回答P 32探究。 问题6. 如果把n b a )(+的展开式的二项式系数看成函数的话，它是一个定义域在自然数内的离散 函数),2,1,0()(n n C r f r n ???==，请通过“杨辉三角”计算n = 6时的二项式系数，并画出 )6,2,1,0()(6???==r C r f r 的图象，由图象得出函数值怎样的分布特点？试着由此总结二项式 系数的性质。 问题7. 仔细阅读例3，体会“赋值法”的应用。 必做题 A 级 P 31 1～4 P 35 1～3 B 级 习题1.3 A 组 B 组. 选做题 1. 7 3 )2(x x +的展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第4项的系数 是 . 2. 求10 3 )1()1(x x +-的展开式中5 x 的系数. 3. 对于二项展开式1 2) (+-n b a ，下列结论中成立的是（ ） A.中间一项的二项式系数最大 B.中间两项的二项式系数相等且最大 C.中间两项的二项式系数相等且最小 D.中间两项的二项式系数互为相反数 4.（1）4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数是 . （2）6 )212(x x - 的展开式的常数项是 . 5. 533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 6. 在1003)52(+的展开式中，有理项的个数是多少？ 7. 求10 2)11(x x + +的展开式中的常数项. 8.（1）6364364164C C C +???++ = . （2）612512C C += . 9. 求n x x x )1()1()1(43++???++++的展开式中2x 的系数. 10. 已知2010201021020102)21(x a x a x a a x +???+++=-. （1）求2010210a a a a +???+++的值. （2）求20102008420a a a a a ++???+++的值. 11.（1）n n n n n n C C C C 1321242-+???++等于（ ） A. n 3 B. 13-n C. 2 1 3-n D. 12 3-n （2）已知7292222332210=+???+++n n n n n n n C C C C C ，则n n n n n C C C C +???+++321等于（ ） A.63 B.64 C.31 D.32 12. 若n x x )1(23+ 的展开式中第6项系数最大，则其中的常数项为（ ） A.210 B.10 C.462 D.252 13. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则 （1）43210a a a a a ++++ = . （2）4321a a a a +++ = . （3）2312420)()(a a a a a +-++ = .
第十一章 第二节 二项式定理
突破点一二项式的通项公式及应用 [基本知识] 1．二项式定理 2.二项式系数与项的系数
[基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)C r n a n － r b r 是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1.????1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：45 2．在????x 2－2 x 6的展开式中，常数项为________． 答案：240 3.? ???? x －124x 8 的展开式中的有理项共有________项． 答案：3 [全析考法]
考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)????x 2＋2 x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 (2)(2019·陕西黄陵中学月考)????x ＋1 2x 6的展开式中常数项为( ) A.5 2 B ．160 C ．－52 D ．－160 [解析] (1)????x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·????2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25· 22＝40. (2)????x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ????12x r ＝????12r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝????123C 36＝5 2，选A. [答案] (1)C (2)A [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．
高二数学排列组合二项式定理
高二数学清明假期试卷（排列、组合和二项式定理） 一、选择题（每小题5分，共50分）． 1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为（ ） A 80 B 84 C 85 D 86 2．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 （ ） A ．18 B ．72 C ．36 D ．144 3．展开式的第7项是 （ ） A 628a B —628a C 656a D —656a 4．用二项式定理计算5 9.98，精确到1的近似值为（ ） A ．99000 B ．99002 C ．99004 D ．99005 5．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（ ） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种 6 ．若2)n x 的项是第8项，则展开式中含 1 x 的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 7．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) A 140种 B 34种 C 35种 D 120种 9．已知8()a x x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 10．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A ．3 11C 种 B ．3 8A 种 C ．3 9C 种 D ．3 8C 种 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．设345 50500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++ ++=+++，则3a 的值是 12．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不 同的排法种数共有__________． 13．10 2 (2)(1)x x +-的展开式中10 x 的系数为__________．（用数字作答） 若1 531-++++n n n n n C C C C =32，则n = 。 14．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是 第_________个数。 15．关于二项式(x -1)2005有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1： ②该二项展开式中第 六项为C 6 2005x 1999； ③该二项展开式中系数最大的项是第1002项：④当x =2006时，(x -1)2005除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________ ．(注：把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题 16 已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x 的 系数． 17．有5名男生，4名女生排成一排： （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？ （2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？ 18．从7个不同的红球，3 个不同的白球中取出4个球，问： （1）有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？ （3）其中至少有现两个白球的取法有多少种？ 19、．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：
二项式定理知识点总结
二 项式定理. 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展 开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面， 也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1v 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项 数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、 常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数 （2）求91 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系 数 三、二项展开式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：() 2max n n k n C C =； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即()21 21max +-==n n n n k n C C C
二项式定理
第四节二项式定理 考纲解读 1. 能用计数原理证明二项式定理? 2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 命题趋势探究 1. 高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题 2. 主要考查内容是：①利用通项求解展开式中的某指定项；②利用二项式特别是 1 x n的 展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；③二项式系数的有关问题 知识点精讲 一、二项式定理 （a +b n=C0a n b°+c n a nJL b +…+c n a n_r b r+…+C n n a°b n（n乏N*）. 展开式具有以下特点： （1 ）项数：共n ? 1项? （2）二项式系数：依次为组合数c0,c n,c：,…，C：. （3）每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幕、b的升幕排列展开.特别地， （1+xf =1+弘+弘2 + …+C：x n. 二、二项式展开式的通项（第r 1项） 二项式展开的通项为「1 =c n a n」b r r = 0,1,2,3,…，n..其中U的二项式系数.令变量 （常用x ）取1，可得T r 1的系数. 注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或 系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清C；a n_r b r是第r 1项，而不是第r项； ②在通项公式T r = C n r a n_r b r中，含T r gC：, a, b, r, n这6个参数，只有a, b, r, n是独立的， 在未知r,n的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r .三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数 二项式系数仅指c0,c n,C：,…，Cn而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系数.例如：2 x n的展开式中，含有x r的项应该是「1 =c n2n」x n，其中c n叫做该项的二项 式系数，而x r的系数应该是C；2nJ（即含x r项的系数）
二项式定理
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-
二项式定理—解题技巧
二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： 项数：共(1)r +项 通项：1r n r r r n T C a b -+=展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：（令值法） 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④各项的系数的和：()()n bx a x g +=.令（1） 奇数项系数和： ()()[]1121 -+g g 偶数项系数和：()()[]1g -1g 2 1 ⑤二项式系数的最大项：如果n 是偶数时，则中间项（第12 n +）的二项式系数项2n n C 取得最大值。
二项式定理及通项公式
二项式定理 天津四中 李萍 2008年3月31日
课题：二项式定理 第一课时：二项展开式及通项公式 一、教学目标 （1）知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征； 能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公 式求展开式中的特定项． （2）过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法， 培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力． （3）情感与价值观：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树 立由特殊到一般的归纳以及探究意识． 二、教学重、难点： 教学重点：用两个计数原理分析 2)b a +（的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项式的通项公式；能应用它解决简单问题． 教学难点：用两个计数原理分析 2)b a +（的展开式，并能用计数原理证明． 三、教学方法与手段： 1. 教学方法：诱导启发、自主探究的互助式教学方法． 2. 教学工具：多媒体辅助教学． 四、教学过程设计: 1．创设情境 引入新课: 问题1：今天是星期一，那么8天后的这一天是星期几呢？若23天后的这一天 呢？若82008天后的这一天呢？ 设计意图：通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习 兴趣和学习热情，达到有效教学的目的． 2．探索研究 由 2222)b ab a b a ++=+（ 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 当时是利用多项式乘法法则依次展开，遇到同类项加以合并得到的．那么对于 4)b a +（， 5)b a +（的展开式，以至于 100)b a +（展开式还能用这个方法得到吗？分析 2)b a +（展开过程： 设计意图：引导学生将 2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示 2)b a +（展开式的系数．
二项式定理
二项式定理： 一、框架 二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容，高考在这一部分命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。复习时先要正确的理解二项式定理、二项展开式的项、系数等概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键，同时注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。其中非标准二项式定理求解特殊项的问题，是难点问题。 1．二项式定理： 公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n － 1b ＋…＋C k n a n － k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N * )叫做二项式定理． 2．通项: T k ＋1＝C k n a n － k b k 为展开式的第k ＋1项． 提醒： (1)T k ＋1表示的是第k ＋1项，而非第k 项． (2)要正确区分二项展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同． 3. 求二项展开式中的项的方法: 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n a n － k b k 的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )． (1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程; 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 4．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫做二项式系数． (2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 5．二项式系数的性质 (1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k < n ＋1 2 时，二项式系数逐渐增大；当k > n ＋1 2 时，二项式系数逐渐 减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大． (3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n . (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0 n ＋C 2 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋…＝2 n －1 . 6．在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力．归纳起来常见的命题角度有： (1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题； (2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题； (3)三项展开式中的特定项(系数)问题. 7．赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2 ＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．
排列组合、二项式定理典型题(含答案)
排列、组合、二项式定理典型题 一、选择题（共24题） 1．（北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有3 3A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋13 33C A ＝24种方法，故选B 2．（福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 （A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有33 74A A -=186种，选B. 3．（湖北卷）在24 (x - 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 解：724243 124 24r r r r r r T C x C x －－r ＋＝（＝(-1)，当r ＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x 的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C 4．（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有12 3436C A ?=种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3 424A =种方案，共计有60种方案，选D. 5．（湖南卷）若5 )1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 A ．-2 B . 22 C. 34 D . 2 解析： 5 )1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ?-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 6．（湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A ．6 B . 12 C. 18 D . 24 解析：先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有2 22A =种
[高中]二项式定理
【高考导航】 二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题. 【学法点拨】 本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系 数等方面内在联系的重要定理，应在(a ＋b)2、(a ＋b)2、（a ＋b ）2 的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式T ＝C (r ＝0，1，2，…，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式. 二项式系数C (r ＝0，1，2，…，n)是一组仅与二项式的次数n 有关的n ＋1个组合数，而与a 、b 无关， 它不包括a 、b 本身（或a 、b 的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a 、b 的系数，称展开式中的某一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.二项式定理：(a ＋b)n ＝C a n ＋C a n －1 b ＋…＋C a n －r b r ＋…＋C b n (n ∈N *) 2.通项公式：T r ＋1＝C a n －r b r 3.二项式系数性质： (1)距两端等距离的二项式系数相等，即C ＝C . (2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大. 当n 为偶数时，中间一项（即第＋1项）的二项式系数最大; 当n 为奇数时，中间两项（即第和第＋1项）的二项式系数最大. (3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n ，即： C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n . (4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n －1，即 C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝2n －1. 二、重点难点突破 掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式. (a ＋b)n 的展开式具有如下性质： 1.展开式的项数：共n ＋1项. 2.展开式的每一项的指数：a 与b 的指数之和为n ，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n ，字母a 的指数依次降幂排列，指数由n 逐次减1直到0，字母b 按升幂排列，指数从0起逐项加1到n. 3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r ＋1项的系数为C . 学习二项式定理时，还应注意： 1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视. 2.对于通项公式是相对于(a ＋b)n 标准形式而言的，对于(a －b)n 的展开式的通项T r ＋1＝(－1)r C a n －r b r ，它是第r ＋1项而不是第r 项，公式中的a ，b 位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项. 3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法. 三、易错点和易忽略点导析 1 +r r r n r n b a -r n 0n 1n r n n n r n k n k n n -2n 21+n 21 +n 0 n 1 n 2 n n n 0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n r n r n