(完整版)热力学统计物理试题
简述题
1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。
一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。
一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。
一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。
由波耳兹曼关系ln S k =Ωg 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。
5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？
不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4
5
K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？
因为双原子分子的振动特征温度3
K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 7. 能量均分定理。 对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T 时，粒子能量ε 的表达式中的每一个独立平方项的平均值为1k T 2 。 8等概率原理。 对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。 9. 概率密度(,,)q p t ρ的物理意义、代表点密度(,,)D q p t 的物理意义及两者的关系。 (,,):q p t ρ 在t 时刻，系统的微观运动状态代表点出现在相点(,)q p 邻域，单位相空间体积 内的概率。 (,,):D q p t 在t 时刻，在相点(,)q p 邻域单位相空间体积内，系统的微观运动状态代表点数。 它们的关系是：(,,) (,,)D q p t q p t ρ=N 。 其中，N 是系综中系统总数 填空题 1. 玻色分布表为 1a e αβεω+= -l l l ；费米分布表为 1a e αβε ω+= +l l l ；玻耳兹曼 分布表为 a e αβε ω--=l l l 。当满足条件 e 1α -<< 时，玻色分布和费米分布 均过渡到玻耳兹曼分布。 2 玻色系统和费米系统粒子配分函数用Ξ表示，系统平均粒子数为 ln N α?Ξ=- ? ， 内能表为 ln U β?Ξ =- ? ，广义力表为 1ln Y y Ξβ?=- ? ， 熵表为 ln ln (ln )S k ΞΞ Ξα βαβ??=--?? 。 3. 均匀系的平衡条件是 0T T = 且 P P = ；平衡稳定性条件是 V C > 且 ()0 T P V ? 4. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程： dU TdS pdV dn μ=-+ ， dH TdS Vdp dn μ=++ ， dG SdT Vdp dn μ=-++ ， dF SdT pdV dn μ=--+ 。 5. 对于含N 个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量 无贡献 ；温度大大于振动特征温度时， 72 V C Nk = ；温度小小于转动特征温度时， 3 2 V C Nk = 。温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时， 5 2 V C Nk = 。 6 准静态过程是指 过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 的过程；无摩擦准静态过程的特点是 外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。 7 绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响 的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功 与具体的过程 无关，仅由 初终两态 决定。 8. 费米分布是指，处在 平衡态 、 孤立 的费米系统，粒子在 能级上 的 最概然 分布。 9. 弱简并理想玻色气体分子间存在 统计吸引作用 ；弱简并理想费米气体分子间存在 统计排斥作用 。 10 玻色分布是指，处在 平衡态 、 孤立 的玻色系统，粒子在 能级上 的 最概然 分布。 11. 对于一单元复相系，未达到热平衡时，热量从 高温相 传至 低温相 ；未达到相变平衡时，物质从 高化学势相向低化学势相 作宏观迁移。 12. 微正则系综是 大量的结构完全相同的且处于平衡态的故里系统的集合 ； 微正则分布是指 在微正则系综中，系统按可能的微观态的分布 ； 微正则分布是 平衡态统计物理学 的基本假设，它与 等概率原理 等价。 13. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用1Z 表示，内能统计表达式为 1 ln Z U N β?=-? ， 广义力统计表达式为 1ln Z N Y y β?=- ? ，熵的统计表达式为 1 1ln (ln ) Z S Nk Z β β?=-? ，自由能的统计表达式为 1ln F NkT Z =- 。 14. 与分布{}a l 相应的，玻色系统微观状态数为 ()()1! !1!.B E a a ωω+-Ω=-∏ l l l l l ；费米 系统的微观状态数 ()! !! .B E a a ωωΩ=-∏ l l l l ；玻耳兹曼系统微观状态数为 ! ! .B E a N a ωΩ= ∏∏l l l l l 。当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间 的关系为 1!...B E F D M E N Ω=Ω=Ω 。 15. 热力学系统的四个状态量V P T S 、、、所满足的麦克斯韦关系为 ()()T V S P V T ????= , ()()P S V T S P ????= , () ()T P S V P T ????=- , () () V S P T S V ????=- 。 16. 设一多元复相系有个?相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平 衡时必同时满足条件： T T T α β ? ===L 、 P P P α β ? ===L 、 (,)i i i 1,2i k αβ? μμμ====L L 。 选择题 1.系综理论所涉及三种系综有：微正则系综、正则系综、巨正则系综，它们分别适合的系统是 （A ）孤立系、闭系、开系 （B ）闭系、孤立系、开系 （C ）孤立系、开系、闭系 （D ）开系、孤立系、闭系 2.封闭系统指 （A ）与外界无物质和能量交换的系统 （B ）能量守衡的系统 （C ）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统 （D ）孤立的系统 3.有关系统与系综关系的表述是正确的是 （A ）系综是大量的结构相同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。 （B ）系综是大量的结构不同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。 （C ）系综是大量的结构相同，外界条件不同，且彼此独立的系统的集合。 （D ）系综是大量的结构不同，外界也条件不同的系统的集合。 4.气体的非简并条件是 （A ）气体分子平均动能远远大于kT （B ）气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长 （C ）气体分子数密度远远小于1 （D ）气体分子间平均距离极大于它的尺度 5.由热力学基本方程dG SdT Vdp =-+可得麦克斯韦关系 （A ）V T p S T V ?????? = ? ??????? （B ）p S T V p S ??????= ? ???? ??? （C ）S V T p V S ??????=- ? ??????? （D ）p T V S T p ?????? =- ? ??????? 6.孤立系统指 （A ）与外界有能量交换但无物质交换的系统 （B ）与外界既无物质交换也无能量交换的系统 （C ）能量守恒的系统 （D ）温度和体积均保持不变的任意系统 7.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是 （A ）温度和体积 （B ）温度和压强 （C ）熵和体积 （D ）熵和压强 8.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 （A ）温度和体积 （B ）温度和压强 （C ）熵和体积 （D ）熵和压强 9.下列各式中不正确的是 （A ）,S P H n μ???= ???? （B ）,T V F n μ??? = ???? （C ）,P V U n μ???= ???? （D ）,T P G n μ??? = ???? 10.当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布均过渡到 （A ）麦克斯韦分布 （B ）微正则分布 （C ）正则分布 （D ）玻尔兹曼分布 11.下列说法正确的是 （A ）一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的。 （B ）热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。 （C ）第一类永动机违背热力学第二定律。 （D ）第二类永动机不违背热力学第二定律。 12.由热力学方程dF SdT pdV =--可得麦克斯韦关系 （A ）V S S p V T ??? ????-=??? ???? （B ）p S S V p T ??? ????=???? ???? （C ）T p p S T V ???? ????-=??? ???? （D ）T V V S T p ??? ????=??? ???? 13.已知粒子能量表达式为 bx ax p p p m z y x ++++= 22 22)(21ε 其中a 、b 为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为 （A ）kT 23 （B ）kT 2 （C ）a b kT 422- （D ）kT 2 5 14.具有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足 （A ）微正则分布 （B ）正则分布 （C ）巨正则分布 （D ）以上都不对 15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z 1表示的内能是 （A ）11ln Z U Z β?=-? （B ）1 ln Z U N β ?=-? （C ）1ln 1Z U ββ?=- ? （D ）1 ln Z N U ββ ?=-? 16.不考虑粒子自旋，在长度L 内，动量处在~x x x p p dp +范围的一维自由粒子的可能的量子态数为 （A ） L dp h （B ）x L dp h （C ）2L dp h （D ）x 2L dp h 17.均匀开系的热力学基本方程是 （A ）dF SdT pdV dn μ=--+ （B ）dG SdT Vdp dn μ=-++ （C ）dU TdS pdV dn μ=-+ （D ）dH TdS Vdp dn μ=++ 推导与证明 1. 证明: P V V P P V C C T T T ?????? -= ? ??????? 证：P V P V S S C C T T T T ??????-=- ? ??????? （1） ∵ (,)(,(,))S T p S T V T p = P V T P S S S V T T V T ????????????=+ ? ? ? ????????????? （2） （2）代入（1） P V V P S V C C T V T ?????? -= ? ??????? （3） 将麦氏关系：T V S P V T ?????? = ? ? ?????? 代入（3）得 P V V P P V C C T T T ?????? -= ? ??????? 2.证明，0K 时电子气体中电子的平均速率为3 4F P m v = (F P 为费米动量 )。 证明：∵ 0K 时，(0)(0)1()0() f εμεμ 在单位体积内，动量在~p p dp + 范围内的电子的量子态数为:238p dp h π 在此范围内的电子数为: 23 8p dN f p dp h π=? 33023 881 34 F F P p P F p dp h p p dN P N p dp h π π===??? 3v 4F p P m ∴= = 3.一容积为V 的巨大容器，器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通，其余部分与外界绝热。 开始时，内部空气的温度、压强与外界相同为00,P T 。假定空气可视为理想气体，且定压摩尔热容量p c 为常量。给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热，使其温度升至T 。证明，所需热量为 0ln T T R c V P Q P = 。 证明：系统经历准静态过程，每一中间态均可视为平衡态 对于容器内的气体，初态 ：00P V n RT =，任一中间态 ：0()T P V RT n = 0()T T T n n = ∴， 0 000000()ln T T T T p p p T dT T Q dT T T T T n c n c n c ?===?? 即： 00 ln p PV T Q R T c = 4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为ωh 的玻色子，由玻色分布，每个量子态上平均光子数/1 1 kT f e ω= -h ，试导出普朗克黑体辐射公式： 3 23/(,)1 kT V U T d d c e ωωωωωπ=-h h 解：在体积V 内，动量在p ~p+dp 范围的光子的量子态数为：2 38V p dp h π 由圆频率与波矢关系：=c k ω及德布罗意关系，可得：==p c c εω h 故，在体积V 内，能量在~+d ωωω范围内的光子的量子态数为： 32 23 323 ()8V V D d d d h c c πωωωωωωπ=?=?h 在此范围内的光子数为： 2 23/()1 kT V N d f D d d c e ωωωωωωωπ=?=?-h 故，在此范围内的辐射能量为： 3 23/(,)1 kT V U T d N d d c e ωωωωωωωωπ=?=?-h h h 5.证明焓态方程：p T H V V T p T ?????? =- ? ??????? 证：选T 、p 作为状态参量时，有 p T H H dH dT dp T p ??????=+ ? ??????? （1） p T S S dS dT dp T p ?????? =+ ? ? ??????（2） 而， dH TdS Vdp =+ （3） （2）代入（3）得： p T S S dH T dT V T dp T p ???????? =++?? ? ???????? ? （4） 比较（1）、（4）得：p p H S T T T ??????= ? ??????? （5） T T H S V T V p ?????? =+ ? ? ??????（6） 将麦氏关系p T S V p T ?????? =- ? ???????代入（6） ，即得 T p H V V T V T ?????? =- ? ? ?????? 6.证明能态方程：T V U p T p V T ??????=- ? ??????? 证：选T 、V 作为状态参量时，有 V T U U dU dT dV T V ??????=+ ? ??????? （1） V T S S dS dT dV T V ??????=+ ? ???????（2） 而， dU TdS pdV =- （3） （2）代入（3）得： V T S S dU T dT T p dV T V ?????? ??=+- ? ??????????? （4） 比较（1）、（4）得：V V U S T T T ?????? = ? ??????? （5） T T U S T p V V ?????? =- ? ???????（6） 将麦氏关系T V S p V T ?????? = ? ???????代入（6） ，即得 T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? 7.证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在ε~εd ε+的范围内，可能的量子态数为 ()1/21/2(2)m L D d h d εεεε-= 。 证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元x dxdp 内的可能的量子态数为 x dxdp h 。 因此，在长度L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为 2L dp h 而，2 12p m ε= ，dp ε= 故，在长度L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为 ()1/21/2(2)m L D d h d εεεε-= 。 8.证明，对于二维自由粒子，在面积2 L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为 ()2 2 2mL D d d h πεεε=。 证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元 x y dxdydp dp 内的可能的量子态数为 2 x y dxdydp dp h 。 因此，在面积2 L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为 2 2 2L pdp h π 而，2 12p m ε= ，pdp md ε= 故，在面积2L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为 ()2 2 2mL D d d h πεεε=。 9．导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式： 33 21 N U N e βωωω=+-h h h ， () 2 /2 /31E E T E V T e C Nk T e θθθ??= ? ??- 解：按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：(1/2)(0,1,2)n n εω=+=h L 则，振子的配分函数为：/2 (1/2) /2 10 ()1n n n n e Z e e e e βωβωβωβωβω -∞ ∞ -+---====?=-∑∑h h h h h ∵11 ln ln(1)2 Z e βωβω-=- --h h ∴1ln 333332121 Z N e N U N N N e e βωβωβωωω ωωβ--?=-=+=+?--h h h h h h h 2 22 13(1)V V V U U e C Nk T kT kT e βωβωωβ???????? ==-= ? ? ???-??????h h h 引入爱因斯坦特征温度E θ：E k ωθ=h ，即得：() 2 /2 /31 E E T E V T e C Nk T e θθθ??= ? ??- 10．.对于给定系统，若已知 v p R =T v -b ??? ????，()3 p 2a v -b T T =v v -b Rv ??? - ????，求此系统的物态方程。 解：设物态方程为(,)p p T v =，则 v T p p dp dT dv T v ?????? =+ ? ??????? （1） ∵1v p T p T V T v p ?????????=- ? ? ?????????? ∴T v p p p T v T v ?????????=- ? ? ?????????? （2） 将v p R =T v -b ??? ????和()3 p 2a v -b T T =v v -b Rv ???- ????代入（2）得 ()()233 T v p 2a v -b p p T R T 2a RT v T v v -b v -b Rv v v -b ??????????? =-=--=-?? ? ? ???????????? （3） 将v p R =T v -b ??? ????和（3）代入（1）得 () 22 23R RT 2a RT a RT a dp dT dv dv d d d v -b v v -b v v -b v v -b ?? = -+=-=- ??? 积分得： 2RT a p v -b v = -，即：()2a p v -b RT v ? ?+= ?? ? 11.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，导出普朗克黑体辐射公式： 3 23/(,)1 kT V U T d d c e ωωωωωπ=-h h 解：在体积V 内，动量在p ~p+dp 范围的光子的量子态数为 238V p dp h π 因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为 /1 1kT f e ω= -h 又 == p c c εωh 所以，在体积V 内，圆频率在~+d ωωω范围内的光子的量子态数为 32 23323 ()8V V D d d d h c c πωωωωωωπ=?=?h 在此范围内的光子数为 2 23/()1 kT V N d f D d d c e ωωωωωωωπ=?=?-h 故，在此范围内的辐射能量为： 3 23/(,)1kT V U T d N d d c e ωωωωωωωωπ=?=?-h h h 12.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为： 3()2N E E E ∑?Ω= ??， 其中3/2 3(2) !(3/2)! N N V mE h N N π∑E ??()= ???。由此导出系统熵的表达式： 3/2245 ln 32 V mE S Nk Nk N h π????=+?? ??????? 解： 3/2 3 33ln ln ln ln(2)ln(!)ln !22N E V N N N mE N E h π??????Ω=++-- ? ????? ∵1N >>，∴ ln(!)ln N N N N =-，3333ln !ln 2222N N N N ??=- ??? ∴3/22345ln ln ln 232N E V mE N N E N Nh π?????? ??Ω=++?? ? ????????? ∵~E h ?，23~10N ，21~10kT -，2~10E ，133ln ~1002N E E -??≈ ∴3/2245ln ln 32V mE N N N Nh π????Ω=+?? ? ????? ? 由玻耳兹曼关系：ln S k =Ω，得： 3/2245 ln 32 V mE S Nk Nk N Nh π????=+?? ? ?????? 13.试用麦克斯韦关系，导出方程V V p TdS C dT T dV T ??? =+ ????，假定V C 可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程1TV C γ-=（常量）。 解：∵V T S S dS dT dV T V ?????? =+ ? ???????， ∴V V T T S S S TdS T dT T dV C dT T dV T V V ????????? =+=+ ? ? ?????????? 由麦氏关系T V S p V T ??????= ? ???????，V V p TdS C dT T dV T ??? =+ ???? 绝热过程0dS =，理想气体nR p T V = ，V p nR T V ??? = ???? 0V dT dV C nR T V +=积分得ln ln V C T nR V C'+=（常量） ∵/p V C C γ=，(1)p V V nR C C C γ=-=- 故：1 ln TV C'γ-=，即：1TV C γ-=（常量） 14. 证明，理想气体的摩尔自由能为： 证明：选T, V 为独立变量，则 () () ,V V V V c p p du c dT T p dv ds dT dv T T T ????=+-= +?? ?? 理想气体的物态方程为：pv RT = () V p R T v ?∴ =? ， V du c dT =，V c dv ds dT R T v =+ 故: 0V u c dT u =+? ，00ln V c s dT R v s T =++? 00ln v v c u Ts c dT T dT RT v u Ts T f =-=--+-∴?? 15. 证明: () ,,T P T n V P n μ??? ?= ????? 证明：选T, V 为独立变量，则 dG SdT Vdp dn μ=-++Q () () () ,,,,, T p T n T n T p G G n p n p μμ?????? ∴==???????? 而 (),T n G V p ?=?， 故 () () ,,T p T n V p n μ ??=?? 16. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：( )311 ln S Nk e e βω βω βω-??=--??-?? h h h 解：设固体系统含有N 个原子，按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振 子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为： 0,1,21(),(,)2 n n εω=+=h L 则，振子的配分函数为： 112 () 2 10 1n n e e e βωβωβω -∞ -+-=Z == -∑h h h 1111(1), 2 21 ln ln ln e e βωβω ωβωωβ-?Z Z =---=--?-h h h h h 113()3[(1)]1 ln ln ln S Nk Nk e e βω βωβωβ β-?Z ∴=Z -=--?-h h h 17.已知处在平衡态的孤立的玻耳兹曼系统，其可能的微观运动状态数由麦克斯韦-玻耳兹曼系统计公式给出：! !l l l l l N a a ωΩ= ∏∏。试由玻耳兹曼系统的熵的统计表达式11ln ln S Nk Z Z ββ??? =- ????， 导出玻耳兹曼关系ln S k =Ω 18.平衡态的玻色系统可能的微观运动状态数由玻-爱统计公式(1)! !(1)!l l l l l a a ωω+-Ω= -∏给出：，试由此和玻色系统的熵的统计表达式ln ln ln S k αβαβ?? ??=Ξ-Ξ-Ξ ?????导出玻耳 兹曼关系ln S k =Ω。 19.平衡态的费米系统可能的微观运动状态数由费-狄统计公式! !()!l l l l l a a ωωΩ= -∏给出：，试由此和玻色系统的熵的统计表达式ln ln ln S k αβαβ?? ? ? =Ξ-Ξ-Ξ ?????导出玻耳 兹曼关系ln S k =Ω。