二次函数与直线一元二次方程的关系
二次函数与直线、一元二次方程的关系
一、二次函数与直线的关系
（1）抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点是()0,c ；
（2）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点，因为x 轴上的点的纵坐标都为0，
所以令0y =，代入得2
0ax bx c ++=，解这个一元二次方程得x =，所
以抛物线与x 轴的交点坐标是2b a ??--
? ???和2b a ??
-+ ? ???
； （3）一次函数()0y kx b k =+≠的图象与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象
的交点的个数，由方程组2
y kx b
y ax bx c
=+??=++?的解的数目确定： ①方程组有两组不同的解?两函数图象有两个交点； ②方程组只有一组解?两函数图象只有一个交点； ③方程组无解?两函数图象没有交点。
例1、已知：抛物线的解析式为()2
2
21y x m x m m =--+-。
（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线34y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值。
变式1-1、在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数()2
14y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A ，
与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ?=。
（1）求点A 与点B 的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P 在x 轴上，且ABP ?是等腰三角形，求点P 的坐标。
二、二次函数与一元二次方程的关系
方程20ax bx c ++=的两个实数根为12x x 、，与x 轴的交点为A B 、，如下表： 判别式的情况
抛物线2y ax bx c
=++与x 轴的交点 有两个交点
有一个交点 无交点
二次方程
20ax bx c ++=的实根
有两个不相等的实根1212,x x AB x x =-、
有两个相等的实
根12x x =
无实根
例2、（2011?潍坊）已知一元二次方程()2
00ax bx c a ++=>的两个实数根12x x 、满足124
x x +=和123x x ?=，那么二次函数()2
0y ax bx c a =++>的图象有可能是（ ）。
变式2-1、（2011?呼和浩特）已知一元二次方程2
30x bx +-=的一根为3-，在二次函数
23y x bx =+-的图象上有三点123451,,,546y y y ??????
-- ?
? ???????
、、，则123y y y 、、的大小关系是 。
例3、如图所示，抛物线()2213y x m x m =-++++与x 轴交于A B 、两点，则:3:1OB OA =，则m = 。
变式3-1、设函数()()2145y x k x k =-+-+的图象如图所示，它与x 轴交
于A B 、两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则k = 。
例4、已知抛物线()221423y k x kx k =+++-。求： （1）k 为何值时，抛物线与x 轴相交于两点；
（2）k 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧？ 变式4-1、已知抛物线2
5y x mx m =++-。
（1）求证：不论m 为何实数，抛物线与x 轴都有两个不同的交点？ （2）当m 为何值时，抛物线与x 轴的交点分别都在原点左侧？ （3）当m 为何值时，抛物线与x 轴的交点分别在()1,0两侧？
例5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,3--，对称轴是直线2x =，在x 轴上截得的
线段长为210，求这个二次函数的解析式。
变式5-1、已知二次函数2
y ax bx c =++的顶点为()1,4-，且抛物线在x 轴上截得的线段长为4，求
抛物线的解析式。
变式5-2、如图，二次函数的图象经过点70,
39D ?
?
???
，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA PD +最小，求出点P 的坐标。
例6、关于x 的一元二次方程()
()2212210m x m x ---+=。
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点()1,1A
--是抛物线()()221221y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。
思考：
1、函数2
31y ax ax x =-++的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值和交点坐标。
2、已知抛物线2
234
y x kx k =+-
（k 为常数，且0k >）。
（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x 轴交于M N 、两点，若这两点到原点的距离分别为OM ON 、，且1123
ON
OM
-
=
，
求k 的值。
二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习
1、在二次函数2
y ax bx c =++中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 。
2、不论m 为何实数，抛物线2
2y x mx m =-+-（ ）。
.A 在x 轴上方 .B 与x 轴只有一个交点 .C 与x 轴有两个交点 .D 在x 轴下方
3、若抛物线2
21y kx x =-+与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 。
4、已知函数2
77y kx x =--的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 。
5、如果一个二次函数的图象经过点()6,10A ，与x 轴交于B C 、两点，点B C 、的横坐标分别为
12x x 、，且12126,5x x x x +==，求这个二次函数的解析式。
6、已知关于x 的方程()222120x m x m ++++=有两个不相等的实数根，试判断直线
()2347y m x m =--+能否经过点()2,4A -，并说明理由。
7、如图所示，已知抛物线()2:0P y ax bx c a =++≠与x 轴交于A B 、两点（点A 在x 轴的正半轴上），与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F G 、分别在线段BC AC 、上，抛物线P 上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下。
（
1）求
A B C 、、三点的坐
标；
（2）若点D 的坐标为(),0m ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并指出m 的取值范围；
（3）当矩形DEFG 的面积S 最大时，连接DF 并延长至点M ，使FM k DF =?，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围；
（4）若点D 的坐标为()1,0，求矩形DEFG 的面积。
… 1 2 …
…
…
二次函数和一元二次方程-辅导讲义
讲义内容 知识概括 知识点一： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x 1，0)(x 2 ，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0) ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0 a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?>抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ?=抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 ?<抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．
评卷人· 得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；
初三数学一元二次方程与二次函数测试题
初三数学第二次月考 班级 姓名 学号 一．选择题(每小题3分，共24分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） 4．关于的一元二次方程有实数根，则( ) (A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次 函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )
二.填空题（每小题4分，共32分） 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析 式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的 根的情况是______________________. 13..若关于的方程 的根是整数，则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式：_____________________. 16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点 的坐标是________________. O x y A B 1 1 三．解答题 1．用适当的方法解方程： （1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
二次函数与方程
中考压轴专题之二次函数与方程综合 姓名 1.（08天津市卷26题） 已知抛物线c bx ax y ++=232， （Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<
二次函数与方程的关系
淇滨区第一中学教案 九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时 教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□ 教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。 2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标 教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根． 课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x2+ bx +c (a≠0) 顶点式：y = a(x-h) 2+ k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 教学环 节 内容设计意图 教学构架 一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与 预习 一、一元二次函数与一元二次方程的关系 1、从形式上看： 二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0) 一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 2、从内容上看： 二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解； 一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值 3、相互关系： 二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的 根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二 次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3 （1）二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: a、有两个交点, b、有一个交点, c、没有交点. (2)当二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值, 即 一元二次方程a x2+bx+c=0的根.
初中数学专题复习33.一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根系关系 一、 利用根系关系解决三角形问题 二、 韦达定理与直接应用 三、 利用根系关系求代数式的值 四、 根的分布 一、 利用根系关系解决三角形问题 1. 【易】已知a 、b 是方程2350x x -+=的两个正根，c 是方程29x =的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由 【答案】不存在，理由：∵3a b c +==，与a b c +>矛盾 2. 【易】（眉山市2011年初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是方2560x x -+=的两个根．则该三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．15L << B ．26L << C ．59L << D ．610L << 【答案】D 3. 【中】已知三角形的两边长分别是方程2320x x -+=的两根，第三边的长是方程22530x x -+=的根，求这个三角形的周长． 【答案】9 2 4. 【中】已知ABC ?的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长是5 ⑴k 为何值时，ABC △是以BC 为斜边的直角三角形； ⑵k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求ABC ?的周长 【答案】⑴2k = ⑵4k =时，周长为16；3k =时，周长为14 二、 韦达定理与直接应用 5. 【易】已知3x =-是关于x 的一元二次方程()2 1230k x kx -++=的一个根，则k 与另 一根分别为（） A.2，1- B.1-，2 C.2-，1 D.1，2- 【答案】A 6. 【易】已知方程()()2 3410x m x m ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（） A.4 B.4- C.1 D.1- 【答案】B 7. 【易】若方程20x x k ++=有两负根，则k 的取值范围是（） A.0k > B.0k < C.14k < D.1 04 k <≤ 【答案】D 8. 【易】若方程20x px q ++=的两根中，只有一个是0，那么（）
一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律：
中考数学专题复习 一元二次方程根与系数的关系
中考数学一元二次方程根与系数的关系 精选例题解析 知识考点： 掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题： 【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。 分析：设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得。 答案： 2 5 ，－1 【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2 22 1x x + （2）21x x - （3）22 22 133x x x -+ 略解：（1）2 221x x +＝212212)(x x x x -+＝417 （2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝2 1 3 （3）原式＝)32()(22 22221x x x x -++＝5417 +＝4 112 【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。 分析：有实数根，则△≥0，且16212 22 1+=+x x x x ，联立解得m 的值。 略解：依题意有：
??? ????≥--+=?+=+-=+-=+0)5(4)2(416 5)2(222212 22122 121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥4 9 - ∴15-=m 舍去，故1-=m 探索与创新： 【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 略解：由1632+-=?m ≥0得m ≤ 2 1。121+-=+m x x ，22141 m x x =≥0 ∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论： （1）若1x ＞0，2x ＞0，则???>>+00 2 121x x x x ，解得m ＜1且m ≠0 ∴m ≤ 2 1 且m ≠0 （2）若1x ＜0，2x ＜0，则???><+0 02121x x x x ，解得m ＞1与m ≤21 相矛盾 综上所述：当m ≤ 2 1 且m ≠0时，方程的两根同号。 【问题二】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使2 3 )2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的 值；若不存在，请说明理由。
二次函数与方程及不等式的关系(供参考)
二次函数与方程及不等式的关系 6、如图,将二次函数y=x 2 -m(其中m >0)图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y 1,另有一次函数y=x+b 的图象记为y 2,则以下说法:(1)当m=1,且y 1与y 2恰好有三个交点时,b 有唯一值为1; (2)当b=2,且y 1与y 2恰有两个交点时,m>4或<0m<7 4 ; (3)当m=b 时,y 1与y 2至少有2个交点,且其中一个(0，m); (4)当m=-b 时,y 1与y 2一定有交点. 其中正确说法的序号为 9. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积．若关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为________． 解析 过B 作BE ⊥AD 于E ，连结OB ，CE 交于点P ，∵P 为矩形OCBE 的对称中心，则过点P 的直线平分矩形OCBE 的面积．∵P 为OB 的中点，而B (4，2)，∴P 点坐标为(2，1)，∵P 点坐标为(2，1)，点P 在直线y ＝kx －1上，∴2k －1＝1，k ＝1.∵关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m ＝0时，y ＝－x ＋1，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当m ≠0时，函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点(0，2m ＋1)，若抛物线过原点时，2m ＋1＝0，即m ＝－12，此时，Δ＝(3m ＋1)2－4m (2m ＋1)＝(m ＋1)2>0，故抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也符合题意，此时Δ＝(m ＋1)2＝0，m ＝－1.综上所述，m 的值为：m ＝0或－1或－12. 答案 m ＝0或－1或－1 2 1．(原创题)函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <3且k ≠0 C ．k ≤3且k ≠0 D ．k ≤3 18.已知二次函数2y x bx =+的对称轴为直线1x =,若关于x 的一元二次方程
根系关系及应用题
根系关系及应用题 知识互联网 题型切片 编写思路 本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。
模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根 21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a c x x a b x x =?-=+2121,. 【引例】 先阅读，再填空解题： ⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-； ⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝3 2 ； ⑶方程x 2 －3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出： 如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由． ⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211 x x + （十一学校期末） 【解析】 ；3，1；⑷1212n p x x x x m m +=-=，； ⑸①()22 12 211212==31=3x x x x x x x x ++?②()() 2 221212122 222212********* ====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 思路导航 例题精讲 题型一：根与系数关系
一元二次方程与二次函数专题
二次函数与一元二次方程专题 一、知识要点： 二次函数图象与x 轴交点情况： 二、经典例题： 1．y=(m-2)22-m x +x －3=0是关于x 的二次函数，则m 的值是 2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点，则=a (2)二次函数y=2 (0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-，则=++c b a ，=+-c b a （3）等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标，则周长是 ． 3．求下列二次函数与x 轴交点坐标. （1）2222y x mx m n =-+- （2）2()2y m n x nx m n =++-+ （0≠+n m ） 4．已知：关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点，则k . 5.已知关于x 的二次函数2 3y x m x m =-＋（）－ 求证：该函数与x 轴必有两个交点.
6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=（m-1）x 2-2x+1都与x 轴有两个交点，求m 的整数值. 7.当k 为何整数时，关于x 的二次函数y=kx 2－4x ＋4和y=x 2－4kx ＋4k 2－4k －5都与x 轴交于整数点. 8.已知：m 为整数，且二次函数y=x 2－3x ＋m ＋2与x 轴正半轴有两个交点，求m 值. 9.已知：抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上． （1）求证：该二次函数与x 轴必有两个交点； （2）设抛物线与x 轴交点为A （1x ，0），B （2x ，0）（A 在B 左侧）．若2y 是关于m 的函数，且2212y x x =-， 求这个函数的解析式； （3）若AB=3，求抛物线的解析式.
一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)
一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
二次函数与方程不等式的关系
二次函数与方程不等式的关系 一、知识点梳理 1、二次函数表达式的几种常见方法 （1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式 的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解. （2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶 点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其 代入k h x a y +-=2)(中求解. 2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况： （1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ； （2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a - 21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(a b -; （3）当042＜a c b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点. 3、二次函数的图像与一次函数图像的交点 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程
2.4一元二次方程根系关系的专题
专题一：一元二次方程） （0a 0c bx ax 2 ≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则??? ???=?==+≥?0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()() 010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。 2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2 ≠=++的两根是互为倒数： 设方程两根为21x x ，，则??? ???=?==≥?c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。 3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2 ≠=++必有一根为0： 设方程两根为21x x ，，则??? ???=?==≥?0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。
专题二：利用一元二次方程） （0a 0c bx ax 2 ≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。 例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。 例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22 =++的两根都小于1，求m 的取值范围。 例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。
一元二次方程与二次函数的应用题精选题
一、一元二次方程的应用题 1．（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分 5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分 解得：x 1=10％ x 2＝ 19 10 （不合题意，舍去） …………………………4分 答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分 （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝（元） ……………………6分 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝（元） ……7分 ∵＜ ∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分 2．（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 答案：26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。