2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）
参考公式：
如果事件
，
互斥，那么
；
如果事件
，
相互独立，那么
；
柱体的体积公式
，其中
表示柱体的底面面积，
表示柱体的高；
锥体体积公式
，其中
表示锥体的底面面积，
表示锥体的高．
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2016年天津，理1，5分】已知集合
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】把
分别代入
得：
，即
，∵
，∴
，故选D．
【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．
（2）【2016年天津，理2，5分】设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（）
（A）
（B）6 （C）10 （D）17 【答案】B
【解析】作出不等式组
表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线
，图中的
虚线，平移直线
，可得经过点
时，
取得最小值6，故选B．
【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
（3）【2016年天津，理3，5分】在
中，若
，
，
，则
（）
（A）1 （B）2 （C）
3 （D）4
【答案】A
【解析】在
中，若
，
，
，
，得：
，
解得
或
（舍去），故选A．
【点评】（1）正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．
（4）（4）【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为（）
（A）2 （B）4 （C）
6 （D）8
【答案】B
【解析】第一次判断后：不满足条件，
，
，
；第二次判断不满足条件
；
第三次判断满足条件：
，此时计算
，
，第四次判断
不满足条件，
第五次判断
不满足条件，
．
，第六次判断满足条件
，故输出
，故选B．
【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．
（5）【2016年天津，理5，5分】设
是首项为正数的等比数列，公比为
则“
”是“对任意的正整数
，
”的（）
（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
是首项为正数的等比数列，公比为
，若“
”是“对任意的正整数
，
”不一定
成立，例如：当首项为2，
时，各项为2，
，
，
，…，此时
，
；
而“对任意的正整数
，
”，前提是“
”，则“
”是“对任意的正整数
，
”
的必要而不充分条件，故选C．
【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．（2）等价法：利用p?q与非q?非p，q?p与非p?非q，p?q与非q?非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线
，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于
，
，
，
四点，四边形
的面积为
，则双曲线的方程为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为
，双曲线两条渐近线方程为
，
设
，则∵四边形
的面积为
，∴
，∴
，将
代入
，可得
，∴
，∴双曲线的方程为
，故选D．
【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定
，
的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为
．②若已知渐近线方程为
，则双曲线方程可设为
．
（7）【2016年天津，理7，5分】已知
是边长为1的等边三角形，点
，
分别是边
，
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】由
、
分别是边
、
的中点，
，
，
，故选B．
【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
（8）【2016年天津，理8，5分】已知函数
（
，且
）在R上单调递减，且关于
的方程
恰好有两个不相等的实数解，则
的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
在
递减，则
，函数
在R上单调递减，则
；解得，
；由图象可知，在
上，
有且仅有一个解，故在
上，
同样有且仅有一个解，
当
即
时，联立
，则
，
解得
或1（舍去），当
时，由图象可知，符合条件，综上：
的取值范围为
，
故选C．
【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分
离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）【2016年天津，理9，5分】已知
，
，
是虚数单位，若
，则
的值为．
【答案】2
【解析】∵
，
，∴
，解得：
，∴
．
【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
的实部为
、虚部为
、模为
、共轭为
．
（10）【2016年天津，理10，5分】
的展开式中
的系数为．（用数字作答）
【答案】
【解析】
，令
，解得
．∴
的展开式中
的系数为
．
【点评】（1）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中
和
的隐含条件，即
，
均为非负整数，且
）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．
（11）【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图
如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
．
【答案】2
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底
为2，高为1的平行四边形，故底面面积
，棱锥的高
，
．
【点评】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观
图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图
的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
（12）【2016年天津，理12，5分】如图，
是圆的直径，弦
与
相交于点
，
，
，则线段
的长为．
【答案】
【解析】过
作
于
，∵
，
，∴
，
，
，
∴
，则
，在
中，则
，
由相交弦定理得：
，∴
．
【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推
论；（2）当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相
似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交
弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关
的相似三角形等．
（13）【2016年天津，理13，5分】已知
是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递增．若实数
满
足
，则