必修三统计高考真题

必修三统计高考真题

2017年04月19日的高中数学组卷

一．选择题（共11小题）

1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元

2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4

3．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0

4．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）

A．抽签法B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法

5．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

6．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）

A．19 B．20 C．21.5 D．23

7．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．若样本数据x

1，x

2

，…，x

10

的标准差为8，则数据2x

1

﹣1，2x

2

﹣1，…，2x

10

﹣1的标准差为（）

A．8 B．15 C．16 D．32

9．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒

张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）

A．6 B．8 C．12 D．18

10．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）

A．11 B．12 C．13 D．14

11．一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）

A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6

二．解答题（共7小题）

12．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年

的年宣传费x

i 和年销售量y

i

（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的

散点图及一些统计量的值．

（x

i

﹣）2（w

i

﹣）（x

i

﹣）（y

i

﹣

（w

i

﹣）

）

表中w

i

=

i

，=

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u

1

v

1

），（u

2

v

2

）…..（u

n

v

n

），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．

13．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折

线图．

注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：y

i =9.32，t

i

y

i

=40.17，=0.55，≈2.646．

参考公式：r=，

回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣．

14．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，

=﹣．

（单位：千元）15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x

i

（单位：千元）的数据资料，算得，，，与月储蓄y

i

．

（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；

（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平

均值，线性回归方程也可写为．

16．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．

17．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？

18．某工厂36名工人年龄数据如图：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值和方差s 2；

（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

2017年04月19日的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元

【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，

=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，

代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，

∴回归方程为=0.76x+0.4，

把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，

故选：B．

2．（2014?重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，

=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4

【解答】解：∵变量x与y正相关，

∴可以排除C，D；

样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，

故选：A．

3．（2014?湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0

【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．

故选：B．

4．（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）

A．抽签法B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：C．

5．（2015?新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；

B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；

C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；

D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D

6．（2015?重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）

A．19 B．20 C．21.5 D．23

【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，

则中位数为，

故选：B

7．（2015?湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，

所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；

故选B．

8．（2015?安徽）若样本数据x

1，x

2

，…，x

10

的标准差为8，则数据2x

1

﹣1，2x

2

﹣1，…，2x

10

﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．32

【解答】解：∵样本数据x

1，x

2

，…，x

10

的标准差为8，

∴=8，即DX=64，

数据2x

1﹣1，2x

2

﹣1，…，2x

10

﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，

则对应的标准差为==16，

故选：C．

9．（2014?山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）

A．6 B．8 C．12 D．18

【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，

第三组中没有疗效的有6人，

第三组中有疗效的有12人．

故选：C．

10．（2013?陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）

A．11 B．12 C．13 D．14

【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240

人中抽取=12人．

故：B．

11．（2010?四川）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）

A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6

【解答】解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，

=10，=6，

故选D．

二．解答题（共7小题）

12．（2015?新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）

的影响，对近8年的年宣传费x

i 和年销售量y

i

（i=1，2，…，8）数据作了初步

处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（x

i

﹣）2（w

i

﹣）（x

i

﹣）（y

i

﹣

（w

i

﹣）

）

表中w

i

=

i

，=

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u

1

v

1

），（u

2

v

2

）…..（u

n

v

n

），其回归线v=α+βu的斜率

和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．

【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；

（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，

=﹣=563﹣68×6.8=100.6，

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，

因此y关于x的回归方程为=100.6+68，

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，

（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，

当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．

13．（2016?新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单

位：亿吨）的折线图．

注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以

证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：y

i =9.32，t

i

y

i

=40.17，=0.55，≈2.646．

参考公式：r=，

回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣．

【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：

∵r==≈

≈≈0.993，

∵0.993＞0.75，

故y与t之间存在较强的正相关关系；

（2）==≈≈0.103，

=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，

∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，

2016年对应的t值为9，

故=0.10×9+0.92=1.82，

预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．

14．（2014?新课标Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，

=﹣．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，

=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，

∴

==

=0.5，

=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．

∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：

=0.5×9+2.3=6.8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

15．（2013?重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x

i

（单位：千元）与月储蓄y

i

（单位：千元）的数据资料，算得，，

，．

（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；

（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，

故l

xx ==720﹣10×82=80，l

xy

==184﹣10×8×2=24，

故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，

故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；

（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．

16．（2016?四川）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．

【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，

∴解得：a=0.3．

（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：

由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，

又样本容量=30万，

则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．

（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，

0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，

∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，