高三数学选择填空题压轴专题5.4 解析几何中的定值与定点问题(教师版)

一．方法综述

解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；

（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；

一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；

另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略

类型一定值问题

【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）

A．B．C．2p D．

【答案】D

【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），

所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），

所以，所以，

同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），

所以，整理得，

所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，

则则+＝．故选：D．

【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

【举一反三】

1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与

圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）

A．2B．2C．1D．

【答案】C

【解析】分析：根据题意，设A（x1，y1），D（x2，y2），分析抛物线的焦点以及圆心的坐标，由抛物线的定义可得|AB|、|CD|的值，联立直线方程和抛物线方程，应用韦达定理可得所求值．

解：设A（x1，y1），D（x2，y2），

抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，

圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），

圆心与焦点重合，半径为1，

又由直线过抛物线的焦点F，

则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，

即有|AB|•|CD|＝x1x2，

设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，

则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．

2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆

的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】分析：取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆

方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝0，化简可得k1•k2，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，同理可得：k1•k2，根据k1•k2为定值进而得出λ．

解：取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），

代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，

化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，

∴k1•k2＝，

取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，

代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，

化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），

∴k1•k2＝，

又k1•k2为定值，

∴＝，

解得λ＝．故选：C．

3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2

【解析】分析：求出椭圆方程，设出A、B、C的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可．解：∵椭圆的离心率为，

∴，则，得．

又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，

三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．

O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

则，，

两式作差得，，

则，即，

同理可得，．

∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．

类型二定点问题

【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）

A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）

【答案】A

【解析】分析：设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．

解：设A（m，m2），B（0，n），

∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）

又A，B同在一个以F为圆心的圆上，

∴|BF|＝|AF|

∴n﹣1＝＝m2+1

∴n＝m2+2