高中数学 第一章 统计案例 第1节 回归分析(第2课时)学案 北师大版选修1-21

1.2 相关系数

1．了解回归分析的概念和最小二乘法的求法及作用．

2．理解相关系数的含义及求法．

3．了解回归分析的基本思想．会建立回归模型，并能利用回归分析进行有效预测．

1．变量间的关系往往会表现出某种不确定性，________就是研究这种变量之间的关系的一种方法，通过对变量之间关系的研究，从而发现蕴涵在事物或现象中的某些规律．【做一做1】下列两变量中具有相关关系的是( )．

A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重

C ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间

D ．球的半径与体积

2．假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，我们可用____________求变量之间的线性回归方程y ＝a ＋bx ，即求a ，b ，使这n 个点与直线y ＝a ＋bx 的“距离”平方之和最小，即使得Q (a ，b )＝(y 1－a －bx 1)2＋(y 2－a －bx 2)2＋…＋(y n －a －bx n )2达到最小．

3．Q (a ，b )＝l yy ＋n [y －(a ＋b x )]2＋l xx ? ????b －l xy l xx 2－xx

y xx l l 2

.

其中x ＝

x 1＋x 2＋…＋x n n

＝

1

n

∑i ＝1

n

x i ，

y ＝

y 1＋y 2＋…＋y n n

＝

1

n

∑i ＝1

n

y i ，

l xx ＝

∑i ＝1

n (x i －x )2

＝∑i ＝1

n

x 2

i －n x

2，

l xy ＝

∑i ＝1

n

(x i －x )(y i －y )＝∑i ＝1

n

x i y i －n x

y ，

l yy ＝

∑i ＝1

n

(y i －y )2

＝∑i ＝1

n

y 2

i －n y

2.

当Q (a ，b )取最小值时，b ＝____________，a ＝________.

y 对x 的线性回归方程为__________，此直线一定过点______．

公式比较复杂难记，只需记住a，b的求值公式即可．做题要细心，不可遗漏数据，使用公式计算时，可通过列出表格，进行计算，表格如下：

【做一做2－1】已知x与y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y＝bx ＋a必过点__________．

【做一做2－2】已知三个样本点(3,10)，(7,20)，(11,24)，求出其线性回归方程．

4．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有(1)________________________；

(2)______________________．

两个变量之间是否有线性相关关系，可以通过画散点图直观判断，但是在某些情况下，从散点图中不容易判断变量之间的线性相关关系，特别是当数据量较大时，画散点图比较麻烦，此时就可以通过计算，用线性相关系数r来作出判断，比较容易实施．

5.假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则变量间线性相关系数r的计算公式为r＝__________________.

线性相关系数|r|≤1，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，用直线拟合的效果就越好．

线性相关系数r 的计算公式虽然比较复杂，但是可以分开计算．因为在求线性回归方程

时，也要计算x ，y ，

∑i ＝1

n

x i y i 和∑i ＝1

n

x 2

i 等量，只需再把∑i ＝1

n

y 2

i 计算出来即可．通常是通过列表

格来完成上述各项的计算．

【做一做3】 在建立两个变量y 与x 的线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合得最好的模型是( )．

A ．模型1的相关系数r 为0.98

B ．模型2的相关系数r 为0.80

C ．模型3的相关系数r 为0.50

D ．模型4的相关系数r 为0.25

答案：1．回归分析

【做一做1】 B 选项A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C 中匀速行驶的车辆的行驶距离与时间成正比，也有函数关系；选项D 中球的体积是4

3π与半

径的立方相乘，有固定的函数关系．所以只有选项B 中人的身高与体重具有相关关系．

2．最小二乘法

3.l xy l xx

＝

∑i ＝1

n

x i －x y i －y

∑i ＝1

n

x i －x

2

＝

∑i ＝1

n

x i y i －n x

y

∑i ＝1

n

x 2

i －n x

2

y －b x y ＝a ＋bx (x ，

y )

【做一做2－1】 ? ??

??

32，4 线性回归方程一定过点(x ，y )，

又x ＝14×(0＋1＋2＋3)＝3

2

，

y ＝1

4

×(1＋3＋5＋7)＝4，

∴线性回归方程必过点? ??

??32，4.

【做一做2－2】 分析：样本点共有三个，可以直接计算．

解：由所给数据可得：x ＝7，y ＝18，

∑i ＝1

3

x i y i ＝434，∑=3

1

2i i

x

＝179，进而可以求得b

＝

∑i ＝1

3

x i y i －3x

y

∑i ＝1

3

x 2

i －3x

2

＝434－3×7×18179－3×49

＝1.75，

a ＝y －

b x ＝18－1.75×7＝5.75.

∴线性回归方程为y ＝5.75＋1.75x . 4．(1)画散点图 (2)计算线性相关系数

5.

∑

i＝1

n

x i y i－n x y

∑

i＝1

n

x2i－n x2∑

i＝1

n

y2i－n y2

【做一做3】A

1．求线性回归方程的一般步骤

剖析：(1)作散点图：

对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，在坐标系内作出散点图，并观察各样本点是否呈条状分布，是否都分布在一条直线的两侧．若是，则可设其线性回归方程为y＝a ＋bx.

(2)列表：

对于所给出的数据x，y列成相应的表格.

(3)计算：

x＝1

n

∑n

i＝1

x i，y＝

1

n

∑n

i＝1

y i，b＝

∑

∑

=

=

-

-

n

i

i

n

i

i

i

x n

x

y

x n

y

x

1

2

2

1，a＝y－b x.

(4)写出回归方程：y＝a＋bx.

2．样本的选取是否影响两个变量的线性回归方程

剖析：会影响．这是因为我们所采集的样本只是两个变量之间的部分数据的关系，而且它们的散点图分布在某一条直线的附近，不一定就在直线上，所以不能用某个一次函数y＝a＋bx来准确地表达它们之间的关系，我们只能近似地看作两个变量之间满足线性关系，符合一个一次函数y＝a＋bx，而将x＝x i代入时，得到y的值与所测得的y i之间存在着一定的误差，误差为y i－y＝y i－(a＋bx i)＝y i－a－bx i(i＝1,2，…，n)，那么，我们要想用y＝a ＋bx拟合得好一点，就要使误差小一点．但不能把这些误差直接相加，这是因为它们有正有负，相加可能抵消一部分，为了不使误差之和正负抵消，我们可设全部误差的平方和为Q(a，b)，即Q(a，b)＝∑n

i＝1

(y i－a－bx i)2，用Q的大小来度量总的误差大小，Q是a，b

的二元函数．当b＝∑n

i＝1

x i y i－n x y

∑n i＝1x2i－n x2

时，Q(a，b)最小，此时a＝y－b x.由此看来，所

取的样本点不同，有可能得到的线性回归方程不同．

题型一求线性回归方程

【例题1】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下表所示：

(1)求y对x的线性回归方程；

(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？

反思：计算线性回归方程比较麻烦，对于样本点较少的情况可直接代入公式计算求值．实际问题中的数据都不好算，一般要借助计算器来完成．

题型二计算线性相关系数

【例题2】某工厂有一大型机器设备，其使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

请问维修费用y与使用年限x之间是否具有线性相关关系？如果具有，请求出线性回归

方程．

分析：本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的题型，可通过计算线性相关系数来加以判断，因为数据比较多，可列表分项计算．

反思：对于数量比较多的数据判断它们相应的变量是否线性相关，可通过计算线性相关系数来判断．

题型三利用回归分析进行有效预测

【例题3】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：

(1)试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm时，女儿的身高为多少？

(2)求相关系数r，并分析模型的拟合效果．

分析：通过观察两变量对应的数据，可判断x与y之间存在线性相关关系，通过列表计算，求出回归方程，并通过计算线性相关系数来判断两变量的线性相关程度．反思：一个模型拟合得好不好，可通过计算线性相关系数r来判断，|r|的值越接近于1，变量之间的线性相关程度越高，拟合得越好．

答案：【例题1】解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算.