高等数学 微分方程

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。

A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y

x 21-写成以

y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）

A.y

x 21dx

dy -=

B.y

x 21dy

dx -=

'=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

)

y ,x (P )

y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）

A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）

A. e y

=e 2x

+1 2

1

e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C

4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x

1y

y 2

，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )

A. 2π

B. π

C. 4

e π

4e

ππ

5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4

π

解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=

4π

得：2

2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2

y x cos y x 2

1cos dx

dy +=-+满足y(0)=π的特解。

解：由02y x cos 2y x cos dx dy =+--+得：2

x sin 2

sin

2dy -=，积分得：C 2

x cos 2x y cot 2y csc ln +=-

代入初始条件：y(0)=π，得C= -2 7、求微分方程02

2/

=++y x e

yy 满足y(0)=0的特解

解: 分离变量得dx e dy ye x y 22

=--

两边积分)2(2

1

)(21222??=--x d e y d e x y ，得C e e x y +=-22，将y (0)=0代入得C =0

特解：x y 22-=

§3 齐次方程

1 .(x 2+y 2)dx-xydy=0，其通解为（ ）

2=x 2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y 2=2x 2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.x

y y

x y +=', y|x=1=2，则特解为（ ）

A. y 2=2x 2(lnx+C)

2=2x 2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+2

3.0dy y x 1e 2dx e 21y x

y x =???? ??-+???

? ??+的通解为（ ）

A. x=2y+C

B. 2xye y

x =

C ye 2y

x

=+ D.以上都不对 4、求y 'x 2+xy=y 2满足y|x=1=1的特解。

解：u x

y ,x

y x y y 2

=-??? ??='令，则x dx )2u (u du =-解得：2x 1x 2y += 5、求微分方程(x 2+2xy-y 2)dx-(y 2+2xy-x 2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

解：x

y u ,

x

xy 2y y xy 2x dx dy 2

22

2=-+-+=令，可得1u 2u 1u u u dx du x 22

3------= 解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u 2)，即x(1+u 2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x 2+y 2=x+y

7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x 轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y '(X-x)

又y y x y x 22'-=+，得y

x

u ,dy dx

y x 1y x 2

=

-=+???

? ??令

整理得：2u 1dy

du

y

+=-，解得：()

C y ln u 1u ln 2=+++，得通解C y x x 22=++

§4 一阶线性微分方程

1、微分方程(y 2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是（ ） A.

?

?

? ??++=

C y 311y 1y 3

??? ??++=

C y 311y 1x 32

；C. ??

?

??++=C y 311x 1y 3

D.

??

? ??+=

32

y 311y 1x

2、微分方程xy '+2y=xlnx 满足y(1)=9

1

-的解为（ ） A. x 9

1x ln x 3

1y

+=， x 9

1x ln x 31y -=

， C. x ln x 3

1C y x 32+=，. x 9

1x ln 3

1y -=

3、y '+y=y 2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Ce x -sinx x -sinx C. Cye x -ysinx=C D.y=e x -sinx+C

4、求 通解 32.2

3

y x y dx dy x =+ 解：23

2

3

1x y 2

3dx dy xy

=+-

，令32

y z =得2x z 23dx dz 23x

=+，2x 32z x 1dx dz =+ ???

? ???+?=?-dx x 1

2dx x 1

e x 32C e z ，??? ??+?=C x 4132x 1y 332

，即x C x 61y 232+=，

5、求 通解 xdy-ydx=y 2e y dy

解：整理得y ye x y 1

dy dx -=-，C ye dy e ye C e x y dy y 1y dy y 1+-=???

? ???-+?=?---

9、已知连续函数f(x)满足方程x 2x 30

e dt 3t

f )x (f +??

?

??=?，求f(x)

解：原方程两边对x 求导数f '(x)=3f(x)+2e 2x

f '(x)-3f(x)=2e 2x 解得：f(x)=Ce 3x -2e 2x 又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e 3x -2e 2x

2、数?(x)具有二阶连续导数，且?(0)=?'(0)=0，并已知y ?(x)dx+(sinx-?'(x))dy=0

是一个全微分方程，则?(x)=( ) x B.2

x x 23- C.x 2e x D.x sin C x cos C x sin 2

x 21++

3、别下列方程的类型并求其通解 （1）(a 2-2xy-y 2)dx-(x+y)2dy=0

解：是全微分方程3222y 0

x 0

y 3

1xy y x x a dy )y ,x (Q dx )0,x (P )y ,x (u ---=+=??，

通解为: C y xy y x x a =---32223

1

（2）(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0

解：是全微分方程d(ρ+ρe 2θ)=0，通解为ρ+ρe 2θ=C

4、f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,0))(()(2=-+?L

dy x x f dx x yf ， 求?1

0dx )x (xf

解：对任意闭曲线L 有0dx )x )x (f (dx )x (yf L

2=-+?，知y

P x Q ??=??，由此得f '(x)-2x=f(x)

解得：f(x)=Ce x -2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3e x -2x-2，

3

4

dx )x (xf 1

=

? §6 可降阶的高阶微分方程

1、yy "+y '2=0满足初始条件y|x=0=1，y '|x=0=

2

1

的特解为（ ）

A. y 2=x+C 1x y += C. C 1x y ++= D. y 2=C 1x+C 2 2、方程xy "=y 'lny '的通解为（ ）

2x C 1

C e C 1y 1

+= B.2x c 1C e C y 1

+= ， C.x C e C y 2x C 11+= D.以上都不

对

3、 (1) 求y "=y '+x 的通解

解：令y '=p 得p '-p=x p=-x-1+C 1e x

22

x

1C x 2

x e C y +--=

(2) 求xy "+y '=0的通解

解：令y '=p ，则xp '+p=0，x

dx p

dp -= 得 x

C p 1= y=C 1lnx+C 2

§7 高阶线性微分方程

1、证明：x

5x 22x 1e 12

1e C e C y +

+=是方程y "-3y '+2y=e 5x 的通解 2、已知二阶线性非齐次方程y "+p(x)y '+q(x)y=f(x)的特解为y 1=x,y 2=e x ,y 3=e 2x ,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y '(0)=3的特解。

解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y "+p(x)y '+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y "+p(x)y '+q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：e x -x,e 2x -x ，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C 1(e x -x)+C 2(e 2x -x).

非齐次方程的通解是y=x+C 1(e x -x)+C 2(e 2x -x).由y(0)=1，y '(0)=3代入得：C 1= -1, C 2=2，所以特解为y=2e 2x -e x

§8 常系数齐次线性微分方程

1、设y=e x (C 1sinx+C 2cosx) (C 1,C 2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该方程为（ ）

A.y "+2y '+y=0 "-2y '+2y=0 C.y "-2y '=0 D.y "+y=0 2、设y 1=e x cos2x,y 2=e x sin2x 都是方程y "+py '+qy=0的解，则（ ）

A. p=2,q=5, C.p=-3,q=2 D.p=2,q=2 3、设常系数线性齐次方程特征方程根r 1,2= -1,r 3,4=±i ，则此方程通解为 （ ）

1+C 2x)e -x +C 3cosx+C 4sinx B.y=C 1e -x +C 2cosx+C 3sinx C. y=C 1e -x +C 2cosx+C 3xsinx D.C 1e -x +(C 2+x)cosx+C 3sinx 4、求下列微分方程的通解

(1) y "-4y '+13y=0。解：r 2-4r+13=0 ? r 1,2=2±3i ，y=e 2x (C 1cos3x+C 2sin3x) (2) y "+25y=0 解：r 2+25=0 ? r=±5i ， y=C 1cos5x+C 2sin5x

(3) 0s dt

ds

2dt s d 22

=++。解：r 2+2r+1=0 ? r 1,2=-1，y=(C 1+C 2t)e

-t (4) y (4)-2y '"+5y "=0。 解：r 4-2r 3+5r 2=0 ? r 1,2=0,r 3,4=1±2i ，y=C 1+C 2x+e x (C 3cos2x+C 4sin2x)

5、求下列初值问题的特解 y "+(λ1+λ2)y '+λ1λ2y=0 (λ1≠λ2且为实数)满足y(0)=0,y '(0)=1

解：r 2+(λ1+λ2)r+λ1λ2=0 ? r 1=λ1 r 2=λ2，通解为x 2x 121e C e C y λλ-+=由y(0)=0,y '(0)=1，得x x e e y 2`11

2211

1λλλλλλ---+-=

§ 9 常系数非齐次线性微分方程

1、方程y "+16y=sin(4x+a) (a 为常数）的特解形式为y*=( )

A.Acos4x+Bsin4x

；C. Acos4x-Bsin4x ;D.x 2(Acos4x-Bsin4x) 2、设函数y 1,y 2,y 3都是线性非齐次方程y "+p(x)y '+q(x)=f(x)的特解，则函数 y=(1- C 1-C 2)y 1+C 1y 2+C 2y 3( )（C 1,C 2为任意常数）

A. 是所给方程通解

B.不是方程的解

C. 是所给方程的特解

3、方程y "-2y '=xe 2x 的特解具有形式（ ）

A. y*=Axe 2x ;

B. y*=(Ax+B)e 2x ;

2x ; D. y*=x 2(Ax+B)e 2x 4. 求解微分方程y "+2y '+2y=e -x sinx

解：对应的齐次方程：y "+2y '+2y=0，特征方程r 2+2r+2=0 ? r 1,2= -1≠i ，齐次方程通解为：Y=e -x (C 1cosx+C 2sinx)

由于λ±ωi=-1±i 是特征方程的根，设y*=xe -x (Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=21-

,B=0，即y*=2

1

-xe -x cosx 原方程通解为y=Y+y*=e -x (C 1cosx+C 2sinx)2

1-

xe -x

cosx 5. 求解初值问题y "+9y=cosx ,0y y 2

x 2

x ='=π=π=

解：由y "+9y=0得：r 1,2=±3i ，所以齐次方程通解是：Y=C 1cos3x+C 2sin3x

由于λ±ωi=i 不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx 代入原方程得：A=8

1

, B=0，

即Y=8

1

cosx

通解为y=C 1cos3x+C 2sin3x+81

cosx ，由初始条件得特解x cos 8

1x 3cos 241y +=

6. 求特解：y "-y=4xe x ，y|x=0=0,y '|x=0=1

解：r 2-1=0 ? r 1,2=±1，所以y "-y=0的通解为Y=C 1e x +C 2e -x

因λ=1是特征方程的单根，设y*=xe x (Ax+B)是原方程的一个特解，代入原方程得： A=1,B=-1 即y*=e x (x 2-x)，原方程的通解为：y=C 1e x +C 2e -x +e x (x 2-x)

代入初始条件得：C 1=1,C 2=-1，所求特解为：y=e x (x 2-x+1)-e -x 7. 求y "-4y=e 2x 的通解

解：r 2-4=0 ? r 1,2=±2， 所以y "-4y=0的通解为Y=C 1e 2x +C 2e -2x

因λ=2是特征方程的单根，设y*=Axe 2x 是原方程的一个特解，代入原方程得： A=1/4, 即y*=1/4xe 2x ，原方程的通解为：y=C 1e 2x +C 2e -2x +1/4xe x

10、设dy x f ydx x f e du x )()].([//++=，其中f(x)有连续的二 阶导数，并且满足：3)0(,4)0(/==f f ，试求函数f(x) 解：由dy x f ydx x f e du x )()].([//++=,则

)()(x f x

O x f e y P x ''=??='+=??，即x e x f x f ='-'')()(得r 2-r=0 ? r 1=0，r 2=1 所以齐次方程的通解为Y=C 1+C 2e x

因λ=1是单根，设y*=Axe x 是原方程的一个特解， 代入原方程得：A=1, 即y*=xe 2x ，所以：f(x)=C 1+C 2e x +xe x 将3)0(,4)0(/==f f 代入得C 1=2,C 2=2, 故f(x)= x e x )2(2++

第十二章 自测题

一、选择题(3?6=18分)

1.方程(x+1)(y 2+1)dx+y 2x 2dy=0是( )

A.线性非齐次方程;

B.可分离变量方程；

C.线性齐次方程；

D.伯努利方程 2.微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为( )

A. y=x(C-e x ) ；

B.y=x(C+e x )；

C.x=y(C+e y ) ；

D.x=y(C-e y ) 3.由x 2-xy+y 2=C 确定的隐函数满足的微分方程是( )

A.(x-2y)y '=2x-y

B.(x-2y)y '=2x ，

C.-2yy '=2x-y

D.xy '=2x-y 4.微分方程y "-2y '=xe 2x

A. y*=(Ax+B)e 2x ;

B. y*=Axe 2x ，;

C. y*=Ax 2e 2x ;

D. y*=x(Ax+b)e 2x 5.已知y 1,y 2,y 3为方程y "+a 1(x)y '+a 2(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，C 1,C 2,C 3均为任意常数，则该方程的通解为：

A.C 1y 1+C 2y 2；

B.C 1y 1+C 2y 2+C 3y 3；

C. C 1y 1+C 2y 2+y 3 ；

D.C 1(y 1-y 2)+C 2(y 1-y 3)+y 2

6.函数y=y(x)的图形上(0,-2)的切线为2x-3y=0且y(x)使y "=6x ，则函数y(x)为( )

A.y=x 2-2

B.y=x 3+2

C.3y-3x 3+2x+6=0

D.3x-3y 2-2y-6=0 二、填空题(3?6=18分)

1. 1)x (f x 1)x (f -=+'的通解为???? ??+-=C 2x x 1)x (f 2

2. 方程y '+sin(2x-y)=sin(2x+y)满足初始条件2

y 2

x π

=

π=的特解 ln|cscy-coty|=sin2x 2

1-

3. 积分()???

?

??++'+B A

dx x 2sin y 23dy )x (f 4)x (f 与路径无关，且f '(0)=f(0)=0，则f(x)

为x 2sin 20

1

x 2cos 101e 40181

x 4---

- 4. 设常系数方程y "+by '+cy=0的基本组是y 1=e 2x cosx, y 2=e 2x sinx ，则b=_-4,C=5 5. 方程y '"-4y "+4y '=x 的通解为

)C ,C ,C (4

x

8x xe C e

C C y 3212x

23x

221为常数++++=

6. 已知连续函数f(x)满足x e dt t f 23x

03f(x)+??

? ??=?则f(x)= 3e 3x -2e 2x 三、求通解(5?4=20分) 1.（xlnx ）y '+y=ax(lnx+1) 解：原方程化为??

? ??

+=+

'x ln 11a y x ln x 1y x ln C ax e x ln 11a C e y dx x ln x 1

dx x ln x 1

+=???

? ?????? ??++?=?-

，x ln C ax y +=的通解。 2.

0y x xy dx

dy

33=-+ 解：令u=y -2，则3x 2xu 2dx du -=-，2

x

2xdx 23xdx 2Ce 1x dx e x 2C e u ++=??

? ???-+?=?- 通解2

x 22Ce 1x y ++=-，即(

)

1Ce 1x y 2

x 22=++

3.y "-ay '2=0, y(0)=0,y '(0)= -1 解：令y '=p,即p '=ap 2=0得1

C ax 1

p +-

=代入初始条件得

)1ax ln(a

1y +-= 4.y "+2y '+y=cosx ，y(0)=0,2y 0x 3='=，

解：r 2+2r+1=0 ? r 1,2= -1故Y=(C 1+C 2x)e -x ，λ+i ω=i 不时特征根，设y*=Acosx+Bsinx

是原方程的特解，代入方程得：A=0,B=

21 y*=2

1

sinx ，通解是y=(C 1+C 2x)e -x +21sinx ，代入初始条件得C 1=0,C 2=1,特解为y=xe -x +2

1

sinx

四（10分）设可导函数?(x).满足1x tdt sin )t (2x cos )x (x

+=?+??，求?(x).

解：求导得x

cos 1)x (x tan )x (=?+?'，x cos C x sin dx e x

cos 1C e )x (xdx tan xdx tan +=??

? ?

??+?=??

- 由题设?(0)=1 ? C=1，?(x)=sinx+cosx

五（10分）求(x+y 2)dx-2xydy=0满足y|x=1=2的特解。 解：设积分因子2

x

1)y ,x (u =，0dy x xy 2dx x y dx x 1222=???? ??-+，即0x y x ln d 2=???? ?

?-，C x y x ln 2

=-，代入初始条件得C=4，原方程的特解为4x

y x ln 2=-

六（12分）设f(x)具有二阶连续偏导数，f(x)=0,f '(0)=1，且

[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f '(x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解。 解：

x

Q y P ??=?? ? x 2+2xy-f(x)=f "(x)+2xy ，f "(x)+f(x)=x 2, f(0)=0, r 2+1=0 ? r 1,2=±i 齐次方程的通解为Y=C 1cosx+C 2sinx ，λ不是特征方程的根。设f*(x)=Ax 2+Bx+C,代入原方程A=1，B=0,C=-2，f(x)=x 2-2，

通解是f(x)=C 1cosx+C 2sinx+x 2-2，代入初始条件f(x)=0,f '(0)=1，得C 1=2, C 2=1，f(x)=2cosx+sinx+x 2-x

求得通解x-2ysinx+ycosx+2xy+

2

1x 2y 2

=C