考研数学高等数学强化习题-不定积分
考研数学高等数学强化习题-不定积分
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模块五 不定积分
Ⅰ经典习题
一.原函数与不定积分
1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?,1sin ,0
()0,0x x g x x
x ?
≠?=??=?下述命题成立的是( ) (A )()f x 在[1,1]-上存在原函数 (B )(0)g '存在
(C )()g x 在[1,1]-上存在原函数 (D )1()()x
F x f t dt -=?,则(0)F '存在
2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )
(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -
3、在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) ()()d
f x dx f x dx =? (B) ()()f x dx f x '=?
(C) ()()df x f x =? (D) ()()d f x dx f x =? 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数,则()
--=?x x e f e dx _____.
二.有理函数积分
5、计算下列不定积分
(1)32211
++-?x x dx x (2)()()2223
11x dx x x +-+? (3)2
5
613
x dx x x +-+? (4)2100
(1)-?x dx x (5)21(21)(1)++?
dx x x (6)21
(1)
-?dx x x
(7)()
7
7
11x dx x x -+? (8)226114(1)-+-?x x dx x x (9)()()
2
2
1
21---?
dx x
x x (10)()()
322
2
412+++++?
x x x
dx x
x x
(11)241x dx x -? (12)()
23
1
1x dx x x +-? (13)33156x dx x x ++-? (14)421
dx
x x ++?
三.可化为有理函数的积分
1.三角有理式
6、计算下列不定积分 (1)()1sin sin 1cos ++?
x
dx x x (2)3
sin cos ?dx x x
(3)3sin 2cos +?
x dx x (4)21
1cos +?dx x (5)sin 1sin +?x dx x (6)2222
1
sin cos +?dx a x b x
(7)()
()2
1
0sin cos ≠+?
dx ab a x b x (8)()1
2cos sin dx x x
+?
(9)64tan cos sin ?x x dx x
(10)41
sin ?dx x 2.指数有理式的积分
7、计算下列不定积分
(1)311++?x x
e dx e (2)21
1+?x dx e (3)1
x x dx e e --?
(4)()
211x dx e +? 四.根式的处理
8、计算下列不定积分 (1
) (2)
(3
)3
(4)?
(
5) (6)dx x
?
(7) (8
)
9、计算下列不定积分
(1)()0>a (
2)
(3)(
4)dx (
5) (6)
五.分部积分法的使用
10、计算下列不定积分 (1)2ln sin sin ?
x dx x (2)()
2ln 1-?x
dx x (3)2
sin ?x xdx (4)2
2
arctan 1+?x xdx x (5)()2ln 1+-?x x dx x (6)2arctan ?x
x
e dx e (7)()2
arcsin ?x dx (8)2
ln 1
-?x dx x
11、计算下列不定积分
(1)(2ln x dx
? (2)2xdx
(3)?
(4
)
(5)()
2
2arctan 1x x
dx x +?
(6
)? (7)2cos sin cos x
x x
e
dx x +? (8)22sec tan x x x dx x -? 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()'=?xf x dx ( ) (A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C (C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C
13、已知
sin x
x
是()f x 的原函数,求()3'?x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1
(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为
2ln(1)x x +,求()f x .
15、求积分()sin ln ?x dx .
16、已知()f x 有二阶连续导数,证明:
()()()1
21212124
x xf x dx f x f x C '''-=
---+?. 六.其他考查形式
17、设231,
0()1,012,1x f x x x x x ?
=+<≤??>?
求 ()f x dx ?.
18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =
Ⅱ参考答案
一.原函数与不定积分
1、【答案】:(C )
【解析】:()g x 在[1,1]-上连续,故存在原函数
(A )不正确,()f x 在点0x =处具有跳跃间断点,故在包含此点的区间内不存在原函数
2、【答案】:(B)
【解析】:由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得
()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+??, 其中C 为任意常数.
所以()f x 的原函数
12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++??,其中12,C C 为任意常数.
令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)
【解析】:由不定积分的概念和性质可知,
()()()()d
f x dx f x dx f x .dx
'==??
()()()f x dx df x f x C '==+??,C 为常数.
()()d f x dx f x dx.=?
故应选(A).
4、【答案】:
()
--+x F e C
【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数,故()()'=F x f x .令-=x u e ,则
()()()()()-----=-=-=-+=-+???
x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二.有理函数积分
5、(1)【答案】:()3
211ln
221
-++++x x x C x