正弦定理和余弦定理的应用
第二节应用举例
题型一 测量距离问题
A 、
B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点
C ，测出
AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精
确到1.0m ）.
分析 所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根
据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB .
解答 根据正弦定理，得
ABC
AC
ACB AB ∠=
∠sin sin ABC
ACB
ABC ACB AC AB ∠∠=
∠∠=sin sin 55sin sin 76554
sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--=
(m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。
本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化
A
B
C
为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。
衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。（结果精确到小数点后1位）
解析 AB DB 2<
∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则
V
BE
AB DE 22+=
故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+=
得 3
5000
2=
x ，∴8.40≈x 答案 8.40
点拨 本题考查了测量距离问题。
衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A ,
两点间距离的方法。
分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，
再测
A
B
C
D α
β
A
γ
δ
出BCA ∠的大小，借助余弦定理可以计算出B A ,两点间距离。 解答 法一：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得,a CD = 并且在C 、D 两点分别测得.,,,δγβα=∠=∠=∠=∠BDA CDB ACD BCA 在ADC ?和BDC ?中，应用正弦定理得
)](180sin[)sin(δγβδγ++-+=
a AC )sin()
sin(δγβδγ+++=a
)](180sin[sin γβαγ++-=
a BC .)
sin(sin γβαγ
++=a 计算出AC 和BC 后，再在ABC ?中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离。
αcos 222BC AC BC AC AB ?-+=
αγβαγδγβδγγβαγδγβδγcos .)sin(sin .)sin()sin(2)(sin sin )(sin )(sin 222222+++++?-++++++=a a a a
)sin()sin(cos sin )sin(2)
(sin sin )(sin )(sin 2
222γβαδγβα
γδγγβαγδγβδγ+++++?-++++++=a 法二：本题也可以在河的这一岸选定C 、D ，测出,2a CD =取CD 中点E ,
因此要求AB ,构造AEB ?,需要求出BE 、AE 及AEB ∠所以要测出
,,,,γθβα=∠=∠=∠=∠AED BCE ADE BCE
再分别在BCE ?、AED ?中用余弦定理就可求出BE 、AE 求解过程如下：在BCE ?中，
)
sin(sin )sin(sin )](180sin[sin .θαα
θααθαα+=+=+-=
a CE CE BE
在AED ?中，
)sin(sin )
(180sin[sin γββ
γββ+=+-=
a ED AE
在AEB ?中，
)](180cos[222γθ+-?-+= BE AE BE AE AB
)
cos()sin(sin )sin(sin 2)(sin sin )(sin sin 222222γθθαα
γββθααγββ+?+?+?++++=a a a a
)sin()sin()
cos(sin sin 2)
(sin sin )(sin sin 2
222θαγβγθβαθααγββ+++?++++=a 点拨 求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题法一选择的是ADC ?和BDC ?. 衍生3★★★ 如图，隔河看两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千米的两点，并测得,45,75 =∠=∠BCD ACB ,30 =∠ADC
45=∠ADB (A 、B 、C 、D 在同一平面内)求两目标A 、B 之间的距
离。
分析 要求出A 、B 之间的距离,可在ABC ?(或)ADB ?中去找关系,但不管在哪个三角形中,)(BD AC 、)(AD BC 这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系,求出它们的值,剩下的只需解三角形了。 解答 在ACD ?中，,120,30 =∠=∠ACD ADC
∴.3,30==∴=∠CD AC CAD
在BDC ?中，,607545180 =--=∠CBD
A
B
C
D
由正弦定理，可得 .2
2
660
sin 75sin 3+==
BC 由余弦定理，可得BCA BC AC BC AC AB ∠??-+=cos 2222
.575cos )2
2
6(32)226(
)3(222=?+??-++=∴ AB 5=∴AB （千米），即两目标A 、B 之间的距离为5千米。
点拨 若首先解ACD ?求出AD ,再求BD ,最后解ABD ?,则其计算量就比上述解法要大，因此当问题有多种解决途径时，我们应该用价值的观念来审视每种解法，从而探索到最优解法。
在ABC ?中，若已知两角及任一边，一般用正弦定理求解，但要注意实际问题是否为一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.
题型二 测量高度问题
PO 的高度，但不能到达铁塔的底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公式。
分析 要测量铁塔的高度，只能在铁塔底部所在的平面上选取两点，量出两点间的距离，再测量有关角，从而构造三角形求解。 解答 测量方法1、如右图所示，
在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，且AB 不过点O ，测出AB 的长，)(θAOB ∠及B A ,对塔顶P 的仰角βα,，则可求出
铁塔PO 的高。
在POA Rt ?中，αcot ?=PO AO ，
B
A
O
α
βP
在POB Rt ?中，βcot ?=PO BO ，
在AOB ?中，由余弦定理得，222cos 2AB OB OA OB OA =??-+θ
θ
βαβαcos cot cot 2cot cot 2
2
??-+=
∴AB
PO
测量方法2、
在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，并使
O B A ,,三点在一条直线上，测出AB 的长和B A ,对塔顶P 的仰角βα,，
则可求出铁塔PO 的高。 计算方法如下：
如右图所示， 在PAB ?中，由正弦定理得
)
sin(sin sin )sin(βαβ
ββα-?=?-=
AB AB PA ，
在POA Rt ?中，αsin ?=PA PO ，
)
sin(sin sin βαβ
α-??=
∴AB PO
测量方法3、
在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB 的长，用经纬仪测出角γβ,和A 对塔顶P 的仰角α的大小，则可求出铁塔PO 的高。 计算方法如下： 如右图所示，
在ABO ?中，由正弦定理得
A
O
α
α
B
P
β
A
α
γ
P
β
O
B
)sin(sin )]
(180sin[sin γβγ
γβγ+?=+-?=
AB AB AO
在PAO Rt ?中，αtan ?=AO PO
)
sin(tan sin γβαγ+??=
∴AB PO
点拨 本题是个开放性的题目，灵活构造三角形解题是一大特点。
本题型的解题思路：（1）测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。（2）对于顶部不可到达
的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可。 衍生1 ★★ 如图，B A ,是水平面上的两个点，相距800m,在A 点测得山顶C 的仰角为 25 ， 110=∠BAD ,又在B 点测得 40=∠ABD ，其中D 是点C 在水平面上的垂足，则山高 CD 为 .（精确到1m ） 解析 在ABD ?中， 3040110180=--=∠ADB ,
由正弦定理，得
sin sin =∠?=
ADB B AB AD 在ACD Rt ?中,25tan ≈?= AD CD ∴山高约为480（m ）.
答案 480
点拨 测量高度问题常利用解一个直角三角形和一个斜三角形来解
决，解斜三角形一般用正弦定理。
衍生2 ★★★ 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进40m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高。 分析 依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高， 他沿CD 前进，40=CD 米，此时 45=∠DBF ， 从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的 距离最短时，仰角才最大，这是因为
BE
AB
AEB =
∠tan ，AB 为定值，BE 最小时， 仰角最大。要求出塔高AB 必须先求BE ，而要求BE 须先求BD 或（BC ）. 解答 在BCD ?中，,135,30,40 =∠=∠=DBC BCD CD 由正弦定理，得
BCD
BD
DBC CD ∠=
∠sin sin .220135sin 30sin 40==∴
BD
在BED Rt ?中，
1530135180=--=∠BDE )13(104
2
622015sin -=-?
==∴ DB BE 在ABE Rt ?中，,30 =∠AEB
)33(310
30tan -=
=∴ BE AB （米）. 故所求的塔高为)33(3
10
-米.
点拨 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念。仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角。当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角。
A
B F 0
45
D
C
E
030
060
衍生3 ★★★在某一山顶观测山下两村庄A 、B ，测得A 的俯角为 30，
B 的俯角为 40，
观测A 、B 两村庄的视角为 50，已知A 、B 在同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精确到1米)
分析 画出立体图形的直观图，由余弦定理列出方程，解方程可求得山高.
解答 设山顶为C ，山高 x CD =，由题意，得 .50,40,30 =∠=∠=∠ACB CBD CAD
在ADC Rt ?中， x CD
AC 230sin ==
， 在BDC Rt ?中， .40
sin 40sin
x
CD BC == 在ABC ?中，由余弦定理知
米）
(64340sin 1000,50cos 40
sin 440sin 41000cos 222222
2
222≈?=∴-+=∴∠?-+=
x x x x ACB BC AC BC AC AB 故山高约为643米.
点拨 把问题抽象概括为在空间解三角形问题，画出直观图是解题的关键，设出未知量可把已知量转移到同一个三角形中，由正、余弦定理列出方程可解决问题. 衍生4★★★★ 如图，
在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m
，
A
B
C
D
E
θ θ 2θθ
θ2
θ4
至点C 处测得顶端A 的仰角为θ2，再继续前进310m 至D 点，测得顶端A 的仰角为θ4，求θ的大小和建筑物AE 的高。
分析 本题可以从不同角度去分析，如正弦定理、方程思想、二倍角公式等，将会得到不同的解题方法，从而使思维更开阔，也能从中最佳的解题方法，本题用正弦定理解决更简单适用。 解答 解法一：（用正弦定理求解）： 由已知可得在ABC ?和ACD ?中，
30==BC AC m,==DC AD 310m,,4180θ-=∠ ADC .)
4180sin(30
2sin 310θθ-=∴
,2
3
2cos ,2cos 2sin 24sin =
∴=θθθθ 得.15.302 =∴=θθ ∴在ADE Rt ?中152
3
31060sin =?
== AD AE （m ）. 答： 所求角θ为,15 建筑物高度为15m. 解法二：（设方程来求解）： 设.,h AE x DE ==
在ACE Rt ?中，.30)310(222=++h x
在ADE Rt ?中，.)310(222=+h x 解得.15,35==h x ∴在ACE Rt ?中，.3
3
3102tan =
+=
x
h θ .15,302 ==∴θθ
答： 所求角θ为,15 建筑物高度为15m. 解法三：（用倍角公式求解）：
设建筑物高为,x AE =
由题意，得,2,θθ=∠=∠CAD BAC
30==BC AC m,310==CD AD m.
在ACE Rt ?中，.30
2sin x
=θ ① 在ADE Rt ?中，.3104sin x =θ ②
②÷①，得 ,15,302,2
32cos ===
θθθ1560sin == AD AE (m).
答： 所求角θ为,15 建筑物高度为15m.
点拨 这是一道测量高度的问题，在实际生活中是常见问题，平时注意观察和思考解决办法，知识才能累积起来。 题型三 测量角度问题
一艘海轮从A 出发，沿北偏东 75的方向航行5.67n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东 32的方向航行0.54n mile 后到达海岛C ，如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？ （角度精确到 1.0，距离精确到01.0nmile ）
,6820.0137sin ,7313.0137cos =-= 15.113427.12803,3255.019sin ==
分析 根据题意画出图形，选准三角形，利用正、余弦定理求解。
东
G
西
北
南
A
B
075
032
解答 在ABC ?中，,1373275180 =+-=∠ABC 根据余弦定理，
ABC BC AB BC AB AC ∠??-+=cos 222 137cos 0.545.6720.545.6722???-+= 15.113≈，
根据正弦定理，
ABC
AC
CAB BC ∠=
∠sin sin ， 15
.113137sin 0.54sin sin
=∠=∠AC ABC BC CAB 3255.0≈
所以 0.19=∠CAB , ∴ 0.5675=∠-CAB .
答 ：此船应该沿 0.56的方向航行，需要航行的距离是15.113n mile. 点拨 本题易出现由3255.0sin =∠CAB ,得 19=∠CAB 或 161=∠CAB 的错误结果。忽视了本题的实际意义。
解决测量角度问题的关键：首先应明确方位角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。
衍生 1 ★★如图，平面内三个力321,,F F F ，作用于同一个点且处于平衡状态，已知,,21F F 的大小分别为N 1,
N 2
2
6+，1F 与2F 的夹角为
45，求3F 的大小及3F 与1F 的夹角。
分析 根据物理知识并结合向量加法的三角形法则及解三角形的知识求解。
解答 设三个力作用于点O ,
1F 与 2F 的合力为 ，由共点力平衡，
得 ||||3F =,令.,,,321F F F ====
.135,45
=∠∴=∠CAO AOB
在OCA ?
135cos 2222??-+=AC OA AC OA OC ， 324+=
13+=∴OC 即.13||3+=F
又由正弦定理，得
150.30.
2
1
sin sin =∠∴=∠∴=∠?=∠AOD AOC OC CAO AC AOC 3F ∴的大小为 ,)13(N +与1F 的夹角为 150
点拨 用正弦定理、余弦定理及向量等知识可以解决物理中的矢量合成与分解等问题，这说明数学是物理及其他自然科学的辅助工具，在学习过程中，要加强学科间的联系，学以致用。
衍生2 ★★★★一海轮以20海里每时的速度向正东航行，它在A 点测得灯塔P 在船北偏东 60，2小时后到达B 地， 测得灯塔P 在船的北偏东 45，求
（1）船在B 点时与灯塔P 的距离；
(2)已知以点P 为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么这船继续向正东航行有无触礁的危险？
分析 根据题意，作出相应图形，问题归结为已知两角和一角对边的问题，故可考虑正弦定理求解。
解答（1）如图，在ABP ?中，依题意， 30=∠PAB ,
13545180=-=∠ABP ,
15=∠∴APB .40220=?=AB （海里）
由正弦定理得
15sin 30sin AB
BP =
，解得).26(20+=BP （2）过P 作AB PD ⊥，D 为垂足，在BPD Rt ?中，
.55203202
2
<+==
BP PD 故船在B 点时与灯塔相距)26(20+海里，继续向正东航行有触礁的危险。
点拨 测量角度问题的情境属于“根据需要，对某些物体定位”，测量数据越准确，定位精度越高.尽可能利用直角三角形.
衍生3 ★★★★ 外国船只除特许者外，不得进入离我海岸线d 海里以内的区域，设A 和B 是我们的两个观测站，A 与B 之间的距离为s 海里，海岸线是经过A 、B 的直线。一外国船只在P 点处，测得
,,βα=∠=∠ABP BAP ，问：βα,满足什么简单的三角函数不等式时，就
应当向未经过特许的外国船只发出警告？
060
045
A
B
D
P
分析 本题实质是找出βα,满足的三角函数式表示PD ，再由题意列出与PD 的d 不等式即可。
解答 法一 如图所示，作AB PD ⊥，垂足为D ， 在ABP ?中，)(180βα+-=∠ APB ,
)sin(sin βα+=∠∴APB .
由正弦定理得)
sin(sin ,)sin(sin βαα
βαβ+=+=s BP s AP
由面积关系得 )sin(2
1
21βα+?=?BP AP DP AB , 由)
sin(sin sin βαβ
α+=
≥s PD d ,知
当βα,满足
d s ≤+)
sin(sin sin βαβ
α时，就应向此未经特许的外国船只发出警告。
法二 在APD Rt ?中，α
tan 1
?=PD AD ， 在BPD Rt ?中，β
tan 1
?
=PD BD ， )tan 1
tan 1(
β
α+?=+=∴PD BD AD s . β
αβ
αβ
αtan tan tan tan tan 1
tan 1+??=
+
=
∴s s PD .
故当d PD ≤，即
d s ≤+??β
αβ
αtan tan tan tan 时，就应发出警告.
点拨 本题最后得到的结果是一个不等关系，但在得到这一不等式的过程中，首先要考虑如何建立以βα,为自变量，以PD 为因变量的函数关系式.
题型四 探求三角形的面积
A
B
D
P
α
β
ABC ?中，已知63,3
1cos ,3tan ===AC C B ，
求ABC ?的面积。
分析 在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要将三角形的有关知识与正弦定理、余弦定理结合使用，本题中根据条件利用两定理求出边和角。
解答 方法一： 设三边AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ， 由3tan =B 得 60=B ,23sin =
∴B . 又3
2
2cos 1sin ,3
1cos 2=-=∴=C C C . 由正弦定理得8sin sin ==
B
C
b c ,又由 6
2
233
22213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=
+=+=C B C B C B A , 所求三角形的面积为
38266
22386321sin 21+=+???==
A bc S . 方法二 : 同方法一可得8=c . 又由余弦定理
B ac c a b cos 2222-+=, 得,2
18264542??-+=a a 01082=+-∴a a , 得.64,6421-=+=a a