一维线性谐振子
一维线性谐振子
势能为
2
22
1)(x x U μω= 能量本征值 ω )2
1
(+=n E n
),2,1,0( =n 能量本征函数 221
2
( ) ,x n n n N e
H x αψα-=
2
2
()(1)e e ,n n n n
d H d ξ
ξξξ
-=- 2301231, H =2, H =4-2 , H =8-12 ,H ξξξξ=
, n N α=
=
（
递推公式
1111()2()2()0()2()2()0
n n n n n n H H nH H x xH x nH x ξξξξαααα+-+--+=?-+=
求导公式1
1()()
2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dx
ξαξααξ--=?=
2.1 利用Hermite 多项式的递推公式，证明谐振子波函数满足下
列递推关系：111()()()n n n x x x x a ψ-+?=+
??
22221()()(21)()()2n n n n x x x n x x a
ψψ-+?=
+++?并由此证明，在n ψ态下，0x =，2
n
E V =。
证：利用 11()2()2()0n n n H x xH x nH x αααα+--+= [
]22
2222
22
22
22
1
2
2
2
112
2
112
1
1
( )2xH (x)
2=2()()
21
= nH (x)+
H (x)
2
1
=()
1
+
x x n n n n n x n n n x x n n x n x N e xH x N e N
e nH x H x e
e
H x
αααα
ααψαα
αα
ααα
ααα
αα
α
--
--+-
-
-+-
-?=?=
?+????
?
??
22
2
1()
x n H x αα-
+?
???
111()()n n x x a -+?=+??
2
112221()()()1()()()()n n n n n n n x x x x x x a x x x x ψψψα-+-+?=+?
?
????
=+++???????2221()(21)()()2n n n x n x x a
ψ-+?=+++?
**1110n
n
n n x x dx dx ψψψα∞
-+-∞
?==?+=??
??
，
*
22*2
2
2111(21)2221()
11
2().222
n
n n n n V m x dx m n dx
n E n x m ψωψψωψα
ωω
∞
∞-∞-∞=??=??++=+==
?
?
或者 2.2 利用Hermite 多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下
列关系：11()()()n n n d x x x dx ψα-+?=-
??
22222()()(21)()()2
n n n n d x x n x x dx αψψ-+
?=-++
?证明：
Hermite 多项式的求导公式
11()()
2
()2()n
n n n dH dH x nH n H x d dx
ξαξααξ--=?=， 所以 22
22
2
2
2
12111111()[()()2()]
()()
()()()
()()x x n n n n n n n n n n n d x N x e H x e
n H x dx
x x x x x
x x x α
αψααααα
ψα
α-
-
---+-
-+=-+?=
-+?=
-++?
??
=-?
?
2222222()(21)2
n n n n n n n n d x dx n ψαψ-+-+=-??=---??
??
?=-++?
*
*
11()()02n
n n n n d n p i dx i dx dx ψψψαψ-+??=-=-?-=????
?
?
222
*22
2
2
2
*2211
(21)(21)()22422
2
n n n n
n p d
T dx m m dx
E n dx n n m
m ψψααψψω==-=
+=+=+=?
?
2.3 计算一维谐振子
12
2()x x x
???=-==?? 1
22()p
p p ???=-==??1
()2x p n ???=+， 对于基态， 2
x p ???=。
2.4 一维谐振子处在基态222
2
()x i t x αωψ-
-=，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ
22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。 （解法一）：
*
22*20
00022
01112221.422V m x dx m dx
E x m ψωψψωψα
ωω
∞
∞-∞-∞=??=??===??或者 222
*
00222
0221
442
p d T dx m m dx
E m ψψαω==-===?
（二 ）（1）?
∞
∞
--==
dx e x x U
x 2
2
22222121α
π
α
μωμω
μωμωαμωα
παπαμω ?==?=
2
2
222241212121221 ω 4
1
=
(2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122
*2ψψμ
μ ?∞∞----=dx e dx
d e x x
2
22
221
22
221
)(21αα
μπ
α ?∞
∞
---=
dx e x x 2
2)1(22222αααμ
πα ][22
22
22222??∞∞
--∞∞---=
dx e x dx e x x
ααααμ
πα ]2[23222απ
ααπαμ
πα?-=
μω
μαμαπαμπ
α?
===442222222 ω 4
1= 或
ωωω 4
14
12
1=-=-=U E T
(3) ?=dx x x p c p )()()(*
ψψ
21
2
2
21
?∞
∞
---=dx e
e Px i x
απ
απ
?
∞
∞
---=
dx e
e
Px i x
222
1
21απ
απ
?
∞
∞
--+-=
dx e
p ip x 2222222)(21 21
αααπ
απ
?
∞
∞
-+--
=
dx e
e ip x p 2222
22)(212 21
αααπ
απ
πα
π
α
πα2
212
222
p e -
=
2
2221
απ
αp e -
=
动量几率分布函数为
2
22
1
)()(2
απ
αωp e
p c p -
=
=
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
221
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
几率密度
2
22
22
3
222
112 24)()(x x
e
x e x x x αα
π
απ
α
αψω--?=
??
==
2
2]22[2 )(3231x e x x dx x d ααπ
αω--= 令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然
不是最大几率的位置。
222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
3222232
12x
x e x x e x x x x dx x d ααααπ
ααααπ
αω----=---=而 01
42
)(32
1212<-=±
=e dx x d x παω 可见 μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。
2.6：试证明)x 3x 2(e 3)x (33x
21
2
2ααπ
αψα
-=
-是线性谐振子的波函
数，并求此波函数对应的能量。 证：线性谐振子的S-方程为
)()(2
1
)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+-
① 把)(x ψ代入上式，有
)
3x 9x 2(e
3e )]3x 6()x 3x 2(x [3)]x 3x 2(e 3[dx d )x (dx d 2345x
21
x
21
2333233x 21
2
22
22
2αααπ
ααααααπ
αααπ
αψααα-+-=-+--=-=---
??
????-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2
345x 21
2
222αααπαψα ??
????+-+-+--=
--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe
3335x 2
12345x 2122222ααααααπ
α
αα