高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析汇报)

专题复习 分类讨论思想

一、填空题：

例1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ?，则实数a 的取值围是________．

例2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +

=≥，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为_______

例3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值集合为________．

例4．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3

4

x ，则双曲线的离心率为 ．

例5．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值围是______．

例6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝9

2

，则a 1的值为________．

例7．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值围是__________．

例8．已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．

例9．若函数321111

()(1)3245

f x a x ax x -+-+=在其定义域有极值点，则a 的取值为 ．

例10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为2

a

，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a

＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值围是________．

例10

例11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和(π2,1)两点，且x ∈[0,π

2

]时，|f (x )|≤2恒成立，则实数a 的取值围是_______．

例12．函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值围是__________

例13．设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰好有3个，则实数a 的取值围是________

例14．数列{}n a 的通项222ππ

(cos sin )33

n n n a n -=，其前n 项和为S n ，则S n ＝_________．

二、解答题：

例15．设A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，且x ∈A }，C ＝{z |z ＝x 2，且x ∈A }，若C ?B ，数a 的取值围．

例16．已知函数2()

||f x x x a ，a ∈R ．

（1）当a ≤0时，求证函数()f x 在(－∞,＋∞)上是增函数； （2）当a ＝3时，求函数()f x 在区间[0,b ](b ＞0)上的最大值．

例17．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，116(,2)n n n a a a n n +-∈=+*N ≥，若数列{a n +1＋λa n }是等比数列．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）求证：当k 为奇数时，11114

3k k k a a +++<；

（3）求证：12

1111

()2

n n a a a +++

<∈*N ．

例18．已知12()|31|,()|39|(0),x x

f x f x a a x

R ,且1122

12(),()()

()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ?=?>?≤.

（1）当1a

时,求()f x 在1x 处的切线方程；

（2）当29a ≤时,设2()

()f x f x 所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[,]m n 的长

度定义为n

m )，试求l 的最大值；

（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时,2()()f x f x ?若存在,求出a 的取值围；若不

存在，请说明理由．

参考答案

例1解析：①当a ＜0时，B ＝?，符合题意；

②当a ≥0时，B ≠?，B ＝{x|3－a ≤x ≤3＋a }，由A B ?得34

34a a --??+?

≥≤，解得0≤a ≤1，

综上所述a ≤1．

例2解析：①a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1，则可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )＋2a ，解得a ＝－3

2，

与a ＞0矛盾，舍去；

②a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，则－(1－a )＋2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－3

4；

所以a ＝－3

4

．

例3解析：f (x )＝kx 2－2kx ＝k (x －1)2－k ，

①当k ＞0时，二次函数开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝3k ＝3，解得k ＝1； ②当k ＜0时，二次函数开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝－k ＝3，解得k ＝－3 ③当k ＝0时，显然不成立．∴综上所述{1，－3}

例4解析：当双曲线焦点，在x 轴上，b a ＝34，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝5

4

；

当双曲线焦点在y 轴上，b a ＝43，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝16

9

，

∴e 2＝259，∴e ＝53

．

例5解析：①当a ＞0时，需x －b 恒为非负数，即a ＞0，b ≤0， ②当a ＜0时，需x －b 恒为非正数． 又∵x ∈[0，＋∞)，∴不成立．

综上所述，由①②得a ＞0且b ≤0．

例6解析 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝3

2

；

当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q

＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝3

2q 2，代入上式，

得32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，即1q 2＋1q －2＝0，解得1q ＝－2或1

q

＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝3

2×(－12

)

2

＝6，

综上可得a 1＝3

2

或6.

例7解析 分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论，画出图象，

由图象知a 应满足的条件是???

0

?0＜a ＜1

2．

例8解析：①当斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，若直线与圆相切，则

221

k +=，解得k ＝3

4，所以切线方程是3x －4y ＋10＝0；

②当斜率不存在时，易得切线方程是x ＝2．

例9解析 即f (x )＝(a －1)x 2＋ax －1

4＝0有解，

①当a －1＝0时，满足题意；

②当a －1≠0时，只需Δ＝a 2－(a －1)＞0，解得

2525

a ---+<<

； 综上所述，a 的取值围是2525

a ---+<<

或a ＝1． 例10解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：

S 1＝2×12×4a ×3a ＋(3a ＋4a ＋5a )×4a

＝12a 2＋48；

再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积： 例10 图

①若AC ＝5a ，AB ＝4a ，BC ＝3a ，则四棱柱的全面积S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋4a )×2

a ＝24a 2＋28；

②若AC ＝4a ，AB ＝3a ，BC ＝5a ，则四棱柱的全面积S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋5a )×2

a ＝24a 2＋32；

③若AC ＝3a ，AB ＝5a ，BC ＝4a ，则四棱柱的全面积S 2＝2×4a ×3a ＋2(4a ＋5a )×2

a

＝24a 2＋36；

又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a 2＋28＜12a 2＋48?12a 2

＜20?0＜a ＜153． 综上所述，a 的取值围是?

???

0，153．

例11解析：由f (0)＝a ＋b ＝1，f (π

2

)＝a ＋c ＝1，得b ＝c ＝1－a ，f (x )＝a ＋(1－a )(sin x ＋cos x )

＝a ＋2(1－a )sin(x ＋

π4)

，∵ππ3ππ,sin()144424

x x +∴+≤≤≤， ①当a ≤1时，1≤f (x )≤a ＋2(1－a )，∵|f (x )|≤2，∴只要a ＋2(1－a )≤2解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1；②当a ＞1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1，∴只要a ＋2(1－a )≥－2，解得a ≤4＋32, ∴1＜a ≤4＋32，综合①,②知实数a 的取值围为[－2，4＋32]． 例12解析：①当m ＝0时，f (x )＝1－3x ，其图象与x 轴的交点为(1

3

,0)，满足题意；

②当m ＞0时，由题意得0,0302m m m >???

-?->??≥，解得0＜m ≤1；

③当m ＜0时，由题意得0,010m m

?

所以m 的取值围是m ≤1

例13解析：原不等式化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，易得不合题意； ②当a ＞1时，－b a －1＜x ＜b a ＋1，由题意0＜b

a ＋1＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，

则－3≤－b

a －1＜－2，整理得2a －2＜

b ≤3a －3，结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a ，

∴a ＜3，从而有1＜a ＜3．

例14解析：因为2

2ππ2πcos sin cos

333

n n n -=，所以{22ππ

cos sin 33n n -}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：

①当3()n k k ∈=*N ，时，312345632313()()()k k k k S a a a a a a a a a --++++++

+++=

22222222

21245(32)(31)(3)(6)((3))222k k k ++-+--++-+++-+=

1331185(94)

2222

k k k -++++==

； ②当31()n k k -∈=*N 时，3133(49)

2

k k k k k S S a ---==；

③当32()n k k -∈=*

N 时，2323131(49)(31)132122236k k k k k k k S S a k -------+--

====-

综上所述，1(32)36(1)(13)

(31)6(34)

(3)6n n n k n n S n k n n n k ?--=-??

+-?=-??

+?=??

=(k ∈*N )

例15解 ∵y ＝2x ＋3在[－2，a ]上是增函数，∴－1≤y ≤2a ＋3，即B ＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}．

作出z ＝x 2的图象，该函数定义域右端点x ＝a 有三种不同的位置情况如下：

①当－2≤a ＜0时，a 2≤z ≤4，即C ＝{z |a 2≤z ≤4}，要使C ?B ，由图1可知，则必须2a ＋

3≥4，得a ≥1

2

，这与－2≤a ＜0矛盾．

②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4，即C ＝{z |0≤z ≤4}，要使C ?B ，由图2可知，

必须?

????

2a ＋3≥4，0≤a ≤2，解得12≤a ≤2；

③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ＝{z |0≤z ≤a 2}，要使C ?B ，由图3可知，

必须且只需?

????

a 2≤2a ＋3，

a ＞2，解得2＜a ≤3；

④当a ＜－2时，A ＝?，此时B ＝C ＝?，则C ?B 成立．

综上所述，a 的取值围是(－∞，－2)∪[1

2

，3]．

例16解：（1）∵a ≤0，∴x 2－a ≥0，∴f (x )＝x (x 2－a )＝x 3－ax ，f '(x )＝3x 2－a ， ∵f '(x )≥0对x ∈R 成立，

∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． （2）解：当a ＝3

时，f (x )＝x |x 2－3|＝?

??

?

?3x －x 3，当－3＜x ＜3，x 3－3x ，当x ≤－3，或x ≥3．

（i ）当x ＜－3，或x ＞3时，f '(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)＞0． （ii ）当－3＜x ＜3时，f '(x )＝3－3x 2＝－3(x －1)(x ＋1)．

当－1＜x ＜1时，f '(x )＞0；

当－3＜x ＜－1，或1＜x ＜3时，f '(x )＜0．

所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－3]，[－1，1]，[3，＋∞)； f (x )的单调递减区间是[－3，－1]，[1，3]． 由区间的定义可知，b ＞0．

①若0＜b ≤1时，则[0，b ]?[－1，1]，因此函数f (x )在[0，b ]上是增函数， ∴当x ＝b 时，f (x )有最大值f (b ) ＝3b －b 3．

②若1＜b ≤3时，f (x )＝3x －x 3在[0，1]上单调递增，在[1，b ]上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f (1) ＝2，并且该极大值就是函数f (x )在区间[0，b ]上的最大值． ∴当x ＝1时，f (x )有最大值2．

③若b ＞3时，当x ∈[0，3]时，f (x )＝3x －x 3在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f (1)＝2，在x ∈[3，b ]时，f (x )＝x 3－3x 在[3，b ]上单调递增，