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导数典型例题
导数作为考试内容的考查力度逐年增大
.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定
义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题)
、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多
样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点.
一、与导数概念有关的问题
【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为
2
A.0
B.100
C.200
D.100 !
解法一 “(0、_ .. f
(° tx) _f(o) ..
.-xC-x-DO-2V'^-100)-0
解法 f (0)_叽 L _叽
-
_
||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 !
???选 D.
.x _0
解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100)
_100 ! .
???选 D.
点评解法一是应用导数的定义直接求解，
函数在某点的导数就是函数在这点平均变化
率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解
111
【例2】已知函数f(x)_ c ；
c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 ，n € N *，则 2 k n f （2 42 连）_f （2—心） 顾0 - f （2 十2心）_f （2 —住）_c.. f （2 十2 心）—f （2）, 典 x _2| 叭 吳 + ? f / (2)_ 一 (2c ： ? 2它? 2k C ： ? 2n & ) _-[(1+2) n -1]_ - (3n - 1). 2 2 2 点评导数定义中的“增量A x ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 f(x0 s.x) _f (x o )，且其定义形式可以是|im f(X0 —mX)— f(X0 )，也可以是 即 - mx li I m -m x (令A x_x-X 0得到)，本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有 关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖 谢谢观赏 _2f / （2）+ f ' （2）_3 / （2）， （X ）_c ： . c ；x ?… k k 4 c n x 丄 n c n . f （x ） —f （X 。） X - X 【例3】 如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加，则圆半径 R=10 cm 时，圆面积增加的 速度是 _______________ . 解 T S= n R 2,而 R= R(t), R t =2 cm/s ，二 S t = ( n R 2 )t =2 n R ? R =4 n R , 2 --S t /R =10=4 n R/R =10= 40 n cm /s. 点评R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间 t 而言的(R 是中间变量)，此 题易岀现“T S=n R 2，S z =2 n R ，S z /R =IO =20 n cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义 及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率， 它是表示瞬时速度， 因速度是向量，故变化率可以为负值 .2004年高考湖北卷理科第 16题是一道与实际问题结 合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值 后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失 4分. 二、与曲线的切线有关的问题 【例4】以正弦曲线y=sinx 上一点P 为切点的切线为直线 围是 故选A. 点评函数y=f(x)在点X 。处的导数 "(x °)表示曲线，y=f(x)在点(X 0，f(x °))处的切线斜 率，即 k=tan a ( a 为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义 .本题若不同时考虑正切函数 的图像及直线倾斜角的范围，极易岀错 【例5】 曲线y=x 3-ax 2的切线通过点(0, 1 )，且过点(0, 1)的切线有两条，求实 数a 的值. 解???点(0, 1)不在曲线上，???可设切点为( m,m 3-am 2).而y z =3x 2-2 ax , ??? k 切=3m 3-2 am ，则切线方程为 y=(3 m 3-2 am)x-2m 3-am 2. T 切线过(0, 1), ? 2m 3- am 2+i=0.(*) 设(*)式左边为f(m) ,? f(m)=0，由过(0, 1)点的切线有 2条，可知f(m)=0有两个 实数解，其等价于“ f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于 0，且a ^ 0” . 由 f(m)=2 m - am +i ，得 f /(m)= 6m - am =2 m(3m- a)，令 f / (m)=0，得 m=0 , m=—, 3 a 1 3 ? a ^ 0, f(0) ? f( )=0，即 a 工 0, - a 3+1=0, ? a=3. 3 27 点评本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”， 谢谢观 赏 l ，则直线 l 的倾斜角的范 n | 3n I 0, U , n 「4」1 4，」 A. B. 0, n 1 C. y=sinx 上点P 的切线斜率角为 n 3n a ，由题意知, ■/ cosx € ［- 1， 1］， /? tan a € ［- 1， 1］，又 a € 0,n ， -冗 D. Q 4 tan a =y / =cosx. 3n a € 0, U , n . 即数形结合，然后把三次方程( *)有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等 价于“极大值大于0,且极小值小于0” .另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上. 三、与函数的单调性、最(极)值有关的问题 【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 ① ② ③ ④ A.①、② B.①、③ C.③、④ D.①、④ 解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0,原函数在该区间为增函数； 导函数的值小于0,原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选 C. 点评f/ (x)>0 (或<0 )只是函数f/ (x)在该区间单递增(或递减)的充分条件，可导函数f/ (x)在(a，b)上单调递增(或递减)的充要条件是：对任意x€ (a，b)，都有f z(x) > 0(或w 0)且f/ (x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决 “已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的 单调性可谓新颖别致. 【例7】函数y=f(x)定义在区间(-3，7)上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间(-3，7)上极小值的个数是_______________ 个. 解如图，A、0、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5 个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点 是极小值点，故在区间(-3，7)上函数y=f(x)的极小值个数是2个. 点评导数f/(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点， 如使f/ (x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点， 其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函 数的极值可以称得上是匠 心独运. 【例8】设函数f(x)与数列｛a.｝满足关系：①a i>a，其中a是方程f(x)=x的实数根； ②a n+i=f(a n)，n € N* :③ f(x)的导数 f / (x) €( 0，1). (1)证明：a n>a，n€ N* ； 谢谢观赏 投入比率： 一x 一 € Q,tl ,其中t 为常数，且t € 0,2 1. 2(a -x) (2)判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论 . (1) 证明：(数学归纳法) 当n=1时，由题意知 a i > a ，二原式成立. 假设当n = k 时，a k > a ，成立. ??? f / (x)>0 ,??? f(x)是单调递增函数. 二 a k+i = f(a k )> f( a )= a ， (T a 是方程 f(x)= X 的实数根) 即当n =k+1时，原式成立. 故对于任意自然数 N *，原式均成立. (2) 解：g(x)=x-f(x),x > a ,? g / (x)=1 - f / (x)，又T 0< f / (x)<1 ,? g / (x)>0. ? g / (x)在a 垃)上是单调递增函数. 而 g / ( a )= a - f( a )=0， ? g / (x)>g( a ) (x> a )，即 X>f(x). 又由(1 )知，a n > a ， ? a n >f(a n )=a n+1. 点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归 纳法，令人耳目一新. 四、与不等式有关的冋题 x 【例9】 设x > 0，比较 A=xe -x ，B=lg(1+ x)，C= -------------- 的大小 J 1 十X x 解 令 f(x)=C-B= ------------ l g(1+ x)，则 f / (x)= +x ? f(x)为 0,= 上的增函数，? f(x) > f(0)=0，? C > B. 1 _ e j(1 _ X 2 ) 令 g(x)=B-A=lg(1+ x)-xe -x ，则当 x > 0 时，g / (x)= > 0， 1 + x ? g(x)为 0, ?：：上的增函数，? g(x) > g(0)=0，? B > A. 因此，C > B > A ( x=0时等号成立). 点评运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如 五、与实际应用问题有关的问题 【例10】 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该 生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值 y 万元与技术改造 投入x 万兀之间满足：① y 与(a-x)和x 2的乘积成正比；②当 a 3 x 时，y=a .并且技术改造 (亦乂 >0， 2(1 x) \ 1 x 明当x>a 时，有f(a)= $ (a)，则只要设辅助函数 递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次, 知识点. F(x)= f(a)- $ (a)，然后证明 F(x)在 x>a 单调 2004年全国卷H 的压轴题就考查了此 f(a)= $ (a)，要证 (1) 求y=f(x)的解析式及定义域； (2) 求岀产品的增加值 y 的最大值及相应的 x 值. 解：(1)由已知，设 y=f(x)=k(a-x)x 2, 点评f /(X o )=0 ,只是函数f(x)在x o 处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立 一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目 标函数f(x)确有最大或最小值， 并且一定在定义区间内取得，这时 f(x)在定义区间内部又只 有一个使f / (X o )=o 的点x o ,那么就不必判断 X 。是否为极值点，取什么极值，可断定 f(X o ) 就是所求的最大或最小值 . y= ?/ 0< < t , 2(a - x) a 3，即卩 a 3=k ? — ? 2 2a t 解得Ovx < 2t +1 2 a ——，??? k=8，贝U f(x)=8- (a- x)x 2 函数f(x)的定义域为Ovx W 丝 2t +1 2 (2)T f / (x)= -24x +16ax=x(-24x+16a), 令 / (x)=0，贝U x=0 (舍去)，x 2a 当 0 3 2a 竺)上单调递增; 3 2a 当x> 时，f / (x)<0，此时f(x)是单调递减 3 ...当 _2a￡》2a 2t 1 时，即 1 W t < 2 时，y max =f( - )= 3— a ； 3 27 2a 当 < 时，即0 2t 1 3 y max =f( 2at 2t 1 )= 32a 3t 2 (2t 1)3 综上，当1 w t w 2时，投入 2a 万元，最大增加值是 3 32 a 3 ，当 0 27 2t 1 万兀，最大增加值是 3, 2 32a t (2t 1)3