邱关源《电路》第五版第11章-电路的频率响应

重点

1. 网络函数

2. 串、并联谐振的概念；

11.1 网络函数

当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。

● 频率特性：电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。

1. 网络函数H （j ω）的定义

在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。

)

()()(ωωωj E j R j H def ??= 2. 网络函数H (j ω)的物理意义

● 驱动点函数（同一点处的电压电流的函数关系）

激励是电流源，响应是电压

)

j ()j ()j (ωωωI U H &&= 策动点阻抗 激励是电压源，响应是电流

)

j ()j ()j (ωωωU I H &&= 策动点导纳 ● 转移函数(传递函数，不同点处的电流电压关系)

a. 激励是电压源

)j ()j ()j (1

2ωωωU I H &&= (转移导纳) )

j ()j ()j (12ωωωU U H &&= (转移电压比) b. 激励是电流源

)j ()j ()j (12ωωωI U H &&= (转移阻抗) )

j ()j ()j (12ωωωI I H &&= (转移电流比) 注意：

1. H(j ω)与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位置有关，与输入、输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。

2. H(j ω) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：

幅频特性：模与频率的关系 ωω|~)(j |H

相频特性：幅角与频率的关系 ωω?~)(j

3. 网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。

注意：

● 以网络函数中j ω的最高次方的次数定义网络函数的阶数。

● 由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有

)

j ()j ()j (ωωωE R H &&= → )j ()j ()j (ωωωE H R &&=

11.2 RLC 串联电路的谐振

谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。

1. 谐振的定义

含R 、L 、C 的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。用公式表示为：

R Z I U ==&& 2. 串联谐振的条件

X R X X R ωC

ωL R Z C L j )(j )1(j +=++=-+= （画图描述） 。 时，电路发生谐振当 1 0 00C

L ωX ω=?= LC

ω10=

称为谐振角频率，它是一个仅与电路参数有关的量。 LC

f π210=称为谐振频率 串联电路实现谐振的方式：

(1) LC 不变，改变ω

ω0由电路参数决定，一个RLC 串联电路只有一个对应的ω0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。

(2)电源频率不变，改变L 或C (常改变C )。

3. RLC 串联电路谐振时的特点

阻抗的频率特性：)(|)(|)1(j ωωZ C L R Z ?ωω∠=-+= 222222)()1(|)(|X R X X R C

L R ωZ C L +=++=-+=ωω （幅频特性）

R

X R X X R ωC ωL ωC L 111

tg tg 1tg ) (---=+=-=? （相频特性）

Z(j ω)频响曲线

Z(j ω)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：

. ).1(

同相与I U &&谐振时 入端阻抗为纯电阻，即Z=R ，阻抗值|Z|最小。

U 一定时，电流I 和电阻电压UR 达到最大值 I0=U/R 。

(2) LC 上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即：

相当于短路。LC U U C L ,0 =+?

? U U R &&= ，上电源电压全部加在电阻 U Q R U L I L U L &&&

j

j j 00 ===?

ωω U Q R U L C I U C &&&j j j 00 -=-=-=?

ωω QU U U C

L ==&& 品质因数： R C L R R L Q ρω===

1 0 C L =ρ称为电路的特性阻

抗

(3) 谐振时出现过电压

当 ρ＝ω0L =1/(ω0C )>>R 时，Q>>1，U L = U C =QU >>U

例：某收音机输入回路 L=0.3mH ，R=10Ω，为收到中央电台560kHz 信号，求：(1)调谐电容C 值；(2) 如输入电压为1.5μV,求谐振电流和此时的电容电压。 解：pF 269) 2(1 )1(2==L f C π A μ 15.010

5.1 )2(0===R U I V μ 5.1V μ 5.1580>>==C C X I U

(4) 谐振时的功率

P=UIcos ?＝UI ＝RI 02=U 2/R ，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。

0sin =+==C L Q Q UI Q ?

2002002001 , LI I C

ωQ LI ωQ C L ω-=-== 注意：电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

(5) 谐振时的能量关系

设：t U u 0m sin ω=；则：t I t R U i 0m 0m sin sin ωω==

t I C

L t C I u C 0m o 00m cos )90sin(ωωω-=-= t LI Cu w C C 022m 2cos 2

121ω== → 电场能量 t LI Li w L 022m 2sin 2

121ω== → 磁场能量 U R

L QU U o 0C r ω==

公式表明：

1. 电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WL m=WC m 。L 、

C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。

2. 总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。

222m 2m 2121U CQ CU LI w w w C C L ===+=总 电感、电容储能的总值与品质因数的关系：

耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的π2π202020202000=?=?==T RI LI RI LI R L

Q ωω

Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，Q 越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般在要求发生谐振的回路中希望尽可能提高Q 值。

例：一接收器的电路参数为：U=10V ，ω=5?103 rad/s, 调C 使电路中的电流最大，Imax=200mA ，测得电容电压为600V ，求R 、L 、C 及Q 。

解：Ω=?==-5010200103

0I U R 6010600===

?=U U Q QU U C C mH 601056050 30

=??==ωRQ L μF 67.61C 2 0 ==L ω

11.3 RLC 串联电路的频率响应

研究物理量与频率关系的图形（谐振曲线）可以加深对谐振现象的认识。

1. )j ()j ()j (S

R ωωωU U H &&=的频率响应

)1(j )j ()

j ()j (S R C

L R R U U H ωωωωω-+==&& 为比较不同谐振回路，令ηωωω=→0

相频特性 幅频特性

分析可见：

● 谐振电路具有选择性

在谐振点响应出现峰值，当ω 偏离ω0时，输出下降。即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应，对谐振信号最突出(响应最大)，而对远离谐振频率的信号具有抑制能力。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。

● 谐振电路的选择性与Q 成正比

Q 越大，谐振曲线越陡。电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力，所以选择性好。因此Q 是反映谐振电路性质的一个重要指标。

● 谐振电路的有效工作频段（如图所示）

半功率点：声学研究表明，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。

S (j )1(j )11(j )j()1j ()R R U R H U R L Q C ωηωωηωη

===+-+-&&1(j )arctan[()]Q φηηη=--|(j )|cos (j )R H ηφη=

通频带：12 ωω-3分贝频率 可以证明：.Δ1 012012ω

ω=-=-=ωωωηηQ 定义：H dB = 20log 10[U R （j η）/U S （j1）] 20lg0.707 = –3 dB 通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。

U R =U R /|Z| (μA)，U R0=10，U R2=0.346

%04.30R 1R =U U ，%46.30

R 2R =U U ∴收到北京台820kHz 的节目。

11.4 RLC 并联谐振电路

1. G 、C 、L 并联电路 )1(j ωL ωC G Y -+= 谐振角频率：LC

ω10= 谐振特点：

● 入端导纳为纯电导，导纳值|Y|最小，端电压达最大。

● LC 上的电流大小相等，相位相反，并联总电流为零，也称电流谐振，即

S S C I Q G

I C C U I &&&&j j j 00===ωω S S L I Q G

I C L U I &&&&j j j / 00-=-==ωω I L (w0) =I C (w0) =QI S

品质因数：L

C G GL ωG C ωQ 1100=== 谐振时的功率：G U UI P /2==

L U CU Q Q C L 02

2

0ωω===，0C =+Q Q L 谐振时的能量：

2. 电感线圈与电容器的并联谐振

实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：

（1）谐振条件

L

R C Y ωωj 1j ++= ))((j )(2222

L R L C L R R ωωωω+-++= B G j +=

22000S ()()()L C W W W LQ I ωωω=+=

0)(20200=+-L ωR L ωC ω →20)(1L

R LC ω-= 注意：

● 电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足： 可以发生谐振 时, 即C

L R L R LC <>- ,0)(1 2 ● 一般线圈电阻R<<ωL ，则等效导纳为

)1(j )

( ))((j )(22222L C L R L R L C L R R Y ωωωωωωω-+≈+-++= 谐振角频率：LC

ω10≈ 等效电路：R

L G R e e 2

0)(1ω≈= 品质因数：R

L R CL L R C G C ωQ 02302000)/(ωωωω==== （线圈的品质因数） （2）谐振特点

● 电路发生谐振时，输入阻抗很大；

RC L R

L ωR L ωR R ωZ =≈+==2

020200)()()( ● 电流一定时，端电压较高。RC

L I Z I U 0

00== ● 支路电流是总电流的Q 倍，设R<<ωL

C U L U I I C L 00ωω=≈≈ Q R

L RC L RC U L U I I I I C L =====000001)/(/ωωω 00I QI I I C L >>=≈

例1.

如图R=10Ω的线圈其Q L =100，与电容接成并联谐振电路，如再

并联上一个100k Ω的电阻，求电路的Q. 解：R L Q L 0 100ω== R RQ L L >>Ω==10000ω

Ω==≈k R L R e 10010

10)(6

20ω Ω==k R eq 50100//100

501000105030=?==L R Q eq

ω 例2. 如图R S =50k Ω，U S =100V ，ω0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，求L 、C 、R 及谐振时I0、U 和P 。

解：1000 ==R

L Q L ω Ω===k R R

L R S e 50)(2

0 ω （最大功率定理） LC

10 ≈ω ??

???==Ω=F μ 002.0mH

5.05C L R → V 502==S U U ，W 05.00==UI P ，mA 11050210023

0=??==S S R U I