高一-暑期班第1讲集合与映射学生版

内容 基本要求

集合的含义 会使用符号“∈”或“?”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示

能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；

理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集

集合的基本运算

掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.

1. 集合的含义，会使用符号“∈”或“?”表示元素与集合之间的关系；

2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；

3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等；

4. 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；

5.

理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．

板块一：集合的含义与表示 （一） 知识内容

1.集合的相关定义

⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. ⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示.

⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作?.

知识精讲

高考要求

第1讲 集合与映射

2.元素与集合间关系：属于∈；不属于?.

3.集合表示法

⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法. 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}

例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>

方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}

（二）典例分析：

1.集合的性质

【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.

A. 中国古代四大发明

B. 地球上的小河流

C. 方程210x -=的实数解

D. 周长为10cm 的三角形

【例2】已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 .

2.集合与元素间的关系 【例3】用“∈”或“?”填空：

⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ； ⑵ 0___?； ⑶ 0___{0}．

【例4】用符号“∈”或“?”填空

⑴0______N ， 5______N ，16______N

⑵1

______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）

⑶2323-++________{}

|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q

3.集合的表示方法

【例5】用列举法表示下列集合

⑴ 方程2260x x +-=的根；

⑵ 不大于8且大于3的所有整数；

⑶ 函数32y x =+与1

y x

=的交点组成的集合．

【例6】下列命题正确的有（ ）

⑴很小的实数可以构成集合；

⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.524

2

-这些数组成的集合有5个元素；

⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

板块二：集合间的基本关系 （一） 知识内容

1.子集：

对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ?（或B A ?），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）. 规定：?是任意集合的子集. 2.真子集：

如果集合A B ?，但存在元素x B ∈，但x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集， 记作A

B （或B A ）.?是任意非空集合的真子集.

3.相等：

如果集合A 是集合B 的子集（A B ?），且集合B 是集合A 的子集（B A ?），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .

(二)典例分析

【例7】用适当的符号填空： ⑴ ___{0}? ⑵ 2___{(1,2)}

⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N

⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺

{(2,3)}___{(3,2)}

【例8】下列说法中，正确的是（ ）

A ．任何一个集合必有两个子集；

B ．若,A B =?则,A B 中至少有一个为?

C ．任何集合必有一个真子集；

D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==

【例9】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______

【例10】已知{25}

?，求m的取值范围．

=+≤≤-，B A

B x m x m

=-≤≤，{121}

A x x

【例11】若全集{}

A=，则集合A的真子集共有．

U=且{}2

0,1,2,3

U

A．3个B．5个C．7个D．8个

【例12】{,,}

a b c d e f，求满足条件的A的个数．

a b c A{,,,,,}

【例13】求集合{,}

a b的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}

的子集和真子集的个数．

板块三：集合的基本运算

（一）知识内容

1．相关概念：

⑴并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，

记作A B（读作“A并B”），即{|,

x B

∈．

A B x x A

=∈或}

⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，

记作A B（读作“A交B”），即{|,

x B

∈．

=∈且}

A B x x A

⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．

补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，

记作

U

A ，即

{|,U

A x x U =∈且}x A ?．

（二）典例分析

【例14】已知全集{1,2,3,

,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =

求：A

B ，A

B ，()U A B ，

U

A B ，()A B C

【例15】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．

【例16】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）

⑴若A B =?，则()()U U

A B U =

⑵若A

B U =，则()()U U A B =?

⑶若A B =?，则A B ==?

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【例17】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）

A ．?

B ．{1,3}-

C ．R

D ．[1,3]-

【例18】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．1或1-

D ．1或1-或0

【例19】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求

(

)

U

M N ．

【例20】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -?

?==??-??

，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ）

A ．?

B ．{(2,3)}

C ．(2,3)

D ．{2,3}

【例21】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},

{7,19}I

I

A

B A

B ==，且{2,17}I I

A

B =，求

集合,A B ．

【例22】已知全集I 中有15个元素，集合M

N 中有3个元素，I I

M

N 中有5个元素，

I

M

N 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

15

4

53

I

N

M

【例23】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，

2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．

板块四：映射的定义 （一）知识内容

1.一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．

记作“f ：A →B ” 说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

2.象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么集合A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。 注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．

（二）典例分析

【例24】以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？如果是映射，是不是一一映射．

⑴ 集合{|A P P =是数轴上的点}，集合R B =，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对

应；

⑵ 集合{|A P P =是平面直角坐标系中的点}，集合{(,)|,}B x y x y =∈∈R R ，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

⑶ 集合{|A x x =是三角形}，集合{|B x x =是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；

⑷ 集合{|A x x =是华星中学的班级}，集合{|B x x =是华星中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．

【例25】已知12{,}A a a =，12{,}B b b =，则从A 到B 的不同映射共有（ ）

A ．4个

B ． 3个

C ． 2个

D ． 1个

【例26】已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的

元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5

【例27】⑴若集合{1,0,1}A =-，{2,1,0,1,2}B =--，f ：A →B 表示A 到B 的一个映射，且满足对任意x A

∈都有()x f x +为偶数，则这样的映射有_______ 个．

⑵设:f A B →是从集合A 到B 的映射，{}(,),A B x y x y ==∈∈R R ，

:(,)(,)f x y kx y b →+，若B 中元素(6,2)在映射f 下的原象是(3,1)，

则k ，b 的值分别为________．

习题1. 用列举法表示集合：10,1M m

m m ?

?

=∈∈=??+?

?

Z Z

习题2. 若全集{}0,1,2,3U =且

{}2U

A =，则集合A 的真子集共有

．

A ．3个

B ．5个

C ．7个

D ．8个

习题3. 若{}{}

21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = ．

习题4. 某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音

乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人．

习题5. 已知集合{}04A x x =≤≤，{}02B y y =≤≤，下列从A 到B 的对应f 不是映射的是（ ）

A ．1:2f x y x →=

B ．1

:3f x y x →=

C ．2:3f x y x →=

D ．21

:8

f x y x →=

习题6. 已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求

R

()A

B ，R ()

A B

家庭作业

习题1. 若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）

A ．0X ?

B ．{}0X ∈

C ．X ?∈

D ．{}0X ?

习题2. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素

2n +n ，则在映射f 下，像20的原象是（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

习题3. 已知{}2|43,M y y x x x ==-+∈R ，{}2|28,N y y x x x ==-++∈R ，

则__________M

N =．

习题4. 设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)

12y M x y x ?

+?

==??-?

?

，{}(,)4N x y y x =≠-， 那么()()U U M N 等于________________．

月测备选