皖南八校2019届高三第三次联考数学试题(理)

1皖南八校2019届高三第三次联考

数 学 试 题（理）

考生注意：

1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

答无效。．．．．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．2

11i i +??= ?-??

（ ）

A ．i

B ．—i

C ．1

D ．—1

2．已知集合3

{|

0,}(1)

x M x x R x =≥∈-，2

{|31,}N y y x x R ==+∈，则M N =（ ）

A ．φ

B ．{|1}x x ≥ C.{|1}x x > D ．{|10}x x x ≥<或

3．“1

2

m =

”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2

，则椭圆22221x y a b +=的离心率为

（ ）

A ．

12

B C D 5．在OAB ?中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ?=（ ） A ．6

B ．—6

C ．12

D ．—12

6．已知ABC ?

中，已知45,2,A AB BC ∠=?=则C ∠= （ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．30°或150° 7．已知320

|1|,A x dx A =-=?

则

（ ）

A ．0

B ．6

C ．8

D ．

223

8．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为 （ ）

A ．

112

B ．

118

C ．

136

D ．

7108

9．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形， 则这个几何体的体积为 （ ）

A

．

(43π+

B

．(4π+

C

D

10．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤??

-+≥??≥≥?

，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值

为12，则

22

94

a b +的最小值为 （ ）

A ．

12

B ．

1325

C ．1

D ．2

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。 11．6

1()2x x

+

展开式中的常数项等于 。 12．如下图，运行一程序框图，则输出结果为 。

13．已知直线l

的参数方程是1122

x t y ?=+??

??=??（t 为参数），以原点O

为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为

2cos 4sin ρθθ=+，则直线l 被圆C 所截得的弦长等于 。

14．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项

活动最多安排4人，则不同的安排方法有 种。（用数学作答） 15．关于()y f x =，给出下列五个命题： ①若(1)(1),()f x f x y f x -+=+=则是周期函数； ②若(1)(1)f x f x -=-+，则()y f x =为奇函数；

③若函数(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则()y f x =为偶函数； ④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；

⑤若(1)(1)f x f x -=+，则()y f x =的图象关于点（1，0）对称。

填写所有正确命题的序号 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知直线2y =与函数2()2sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->的图像的

两个相邻交点之间的距离为π。

（I ）求()f x 的解析式，并求出()f x 的单调递增区间； （II ）将函数()f x 的图像向左平移

4

π

个单位得到函数()g x 的图像，求函数()g x 的最大值及()g x 取得最大值时x 的取值集合。

17．（本小题满分12分）

某种植企业同时培育甲、乙两个品种杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株利

润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元。统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%。假设每株幼苗是否培育成功相互独立。 （I ）求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；

（II ）记ξ为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求ξ的

分布列及其期望。

18．（本小题满分13分）

如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，点

F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE 。 （I ）求证：AE ⊥平面BCE ；

（II ）求二面角B —AC —E 的正弦值； （III ）求点D 到平面ACE 的距离。 19．（本小题满分13分） 已知数列{}n a 的前n 项和为2*431

,23log 0().22

n n n T n n a b n N =-++=∈且 （I ）求{}n b 的通项公式；

（II ）数列{}n n n n c c a b =?满足，求数列{}n c 的前n 项和n S ； （III ）若2

114

n c m m ≤

+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围。 20．（本小题满分12分）

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2P 在椭圆上。

（I ）求椭圆方程；

（II ）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222

x y b +=的切线

交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，

说明理由。

21．（本小题满分13分）

已知2

1

()31,().1

a f x x x g x x x -=++=

+- （I ）a=2时，求()y f x =和()y g x =的公共点个数；

（II ）a 为何值时，()()y f x y g x ==和的公共点个数恰为两个。

理科数学答案

1. D 2．C 3． B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A 9．.D 10．A 11．

25 12．11

10 13． 4 14． 50 15．①③ 16．（Ⅰ）

2()2sin cos 1

f x x x x ωωω=+-

1cos221x x ωω=--2sin(2)6

x π

ω=-----------------------------------3分

由题意可知函数的周期22T π

πω==，即1ω= 所以()2sin(2)6

f x x π

=---------------------------------------------------------4分

令222262k x k πππππ-≤-≤+其中k Z ∈，解得63

k x k ππ

ππ-≤≤+其中k Z ∈

即()f x 的递增区间为[,]63

k k ππ

ππ-+k Z ∈---------------------------------6分

（Ⅱ）()()2sin 2()2sin(2)4463g x f x x x π

πππ?

?=+

=+-=+ ??

?-----------------8分 则()g x 的最大值为2，---------------------------------------------------------9分 此时有2sin(2)23x π

+=，即sin(2)13

x π

+= 即223

2

x k π

π

π+

=+

，其中k Z ∈.解得12

x k π

π=+

（k Z ∈）---------------11分

所以当()g x 取得最大值时x 的取值集合为{,}12

x x k k Z π

π=+

∈----------12分

17．（Ⅰ）243.0)9.01(9.02

23=-??=C P --------------------------------------------------------------

4分

（Ⅱ）ξ的可能取值为230，130，30，-70

ξ的分布列

期望.E ξ=230×0.72+30×0.18+130×0.08+(-70)×0.02=180-----------------------------------------12分 18．（I ）

,,BF ACE BF AE ⊥∴⊥平面

D-AB-E 二面角为直二面角， ABCD ABE ∴⊥平面平面，

BC AB BC ABE BC ,AE ⊥∴⊥∴⊥又，平面，

BF BCE BF BC=B BCE AE ?∴⊥又平面，，平面。------------------------------------------------ 4分

（II ）连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，

∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AC ，∴AC ⊥平面AFG ∴FG ⊥AC ，∠FGB 为二面角B-AC-E 的平面角，由(I)可知，AE ⊥平面BCE ， ∴AE ⊥EB ，又AE=EB ，AB=2，

在直角三角形BCE 中，

BC BE BF CE ?=

=

==

在正方形ABCD 中，

BFG

中，

sin BF

FGB BG

∠=

==--------------9分 （III ）由（II ）可知，在正方形ABCD 中，BG=DG ，

D 到平面AC

E 的距离等于B 到平面ACE 的距离，B

F ⊥平面ACE ，

线段BF 的长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为D 到平面ACE 的距离. 故D

=

分

另法：用等体积法亦可。

解法二：（Ⅰ）同解法一. ------------------------------------------------------------------------ 4分 （Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为z 轴，AB 所在直线为x 轴，过O 点平行于AD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，如图. ⊥AE 面BCE ，BE ?面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=?的中点，

)0,2,1()1,0,0()

0,0,1(,1C E A OE -∴=)0,2,2()

1,0,1(==AC AE

设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =，

则???-=-=?

??=+=+????

?=?=?x y x z y x z x n AC n AE 解得即0220

00

令,1=x 得()1,1,1--=n 是平面AEC 的一个法向量.

又平面BAC 的一个法向量为，)1,0,0(=m 3

3

),cos(=

?=n

m n m n m

∴二面角B —AC —E 的正弦值为

3

6

------------------------------------------------------------------------9分 （III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=，)0,2,0(= ∴点D 到平面ACE 的距离

.33

2

32|

|,cos |||==

>=

19．解答：（1）由n n T n 2

1

232-=

易求:23-=n a n 代入

()*

40

log 32N n b a n n ∈=++得

)(41*N n b n

n ∈??

? ??=------------------------------------------------------------------------ 4分

（2）数列n n n n b a c c ?=满足}{ *)(,)4

1()23(N n n c n

n ∈?-=∴

,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ?-+(?-++?+?+?

=∴- 于是1

432)4

1()23()41)53()41(7)41(4)41(141+?-+(?-++?+?+?=n n n n n S

两式相减得1

32)4

1()23(])41()41()41[(34143+?--++++=n n n n S

.)4

1

()23(211+?+-=n n *)()4

1(3812321

N n n S n n ∈?+-=∴+

*)(4132332N n n S n

n ∈?

?

? ???+-=----------------------------------------------------------------------

-- 8分

（3）n n n n n n c c )41()23()4

1

()13(1

1?--?+=-++ *)(,)4

1

()1(91N n n n ∈?-=+

∴当n=1时，4

1

12==c c 当

2≥n 时,即,n n c c <+1,所以n c c c c c >>>>= (4321)

∴对一切正整数n ，n

c 取最大值是4

1 又恒成立对一切正整数n m m c n 1412-+≤

4

11412≥-+∴m m 即510542-≤≥≥-+m m m m 或得----------13分

20. （1） 右焦点为)0,1(2F ∴1=c 左焦点为)0,1(1-F ，点)2

3

,

1(P 在椭圆上 423)11(23)11(22

22221=??

?

??+-+??? ??++=+=PF PF a

2=∴a ，322=-=c a b 所以椭圆方程为13

42

2=+y

x -----------------4分

（2）设()),(,,2211y x Q y x P

()

21341

2

121≤=+x

y x ()()21212

12

1

2

12

2

)4(4

1

)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF

1122

1

2)4(21x x PF -=-=

∴------------------------------------------------------------------------.7分 连接OM ，OP ，由相切条件知：

1212121

21

2

1

2

2

2

2

1

413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=

22

1

212112=+-

=+∴x x PM PF -----.10分 同理可求22

1

212222=+-=+∴x x QM QF

所

以

22224F P F Q PQ ++=+= 为定值。

-----------------------------------------------------------.12分 21. (1) 联立()()y f x y g x =??

=?

得2

1

311x x x x ++=

+- 整理得3

2

20

(1)x x x x +--=≠即联立3

2

021y y x x x x =?

?

=+--≠?

求导得3

1,10123212

'=

-==-+=x x x x y 得 到极值点分别在-1和

1

3

，且极大值极小值都是负值。故交点只有一个。------------------------ 6分 (2)联立()()

y f x y g x =??

=?得2

1

311a x x x x -++=

+- 整理得3

2(1)a x x x

x =+-≠

即联立3

2

()1

y a y h x x x x

x =?

?

==+-≠?

如图：求导h(x)可以得到极值点分别在-1和

1

3

处，画出草图 1)1(=-h 27

5

)31(-=h

当1)1(=-=h a 时a y =与)(x h y =仅有一个公共点（因为（1，1）点不在)(x h y =曲线上） 故5

27

a =-时恰有两个公共点。---------------------------------------------------------------- 13分