2019-2020学年高中数学 第32课时 两角和与差的正弦导学案苏教版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 第32课时 两角和与差的正弦导学案苏教
版必修4
【学习目标】
1．能由余弦的和差公式推导出正弦的和差公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用．
2．能用正弦的和差公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
【问题情境】
1．情境：我们已学过两角和与差的余弦公式，给出了角和与差的余弦公式．
2．问题1 0sin15?=
3．问题2 sin()αβ+如何用α的三角函数和β的三角函数表示？怎样表示？
【合作探究】 例1.已知sin α=
32 α∈(2π, π), cos β=－53 β∈(π, 23π) , 求sin(α+β)的值.
例2.已知5cos()13αβ+=
, 4cos 5
β=,α、β均为锐角, 求sin α的值.
例3:已知αβ、都是锐角，且12cos 2sin 293
αβαβ-=--=（），（），求αβ+sin(）．
例4. 求函数y=21sinx+23cosx 的最大值.
变式1.求sin y x x =+的最值
变式2.求y=asinx+bcosx 的最值
【学以致用】
1.已知(
,),2παπ∈若3sin ,5α=则sin()3πα+=_____；若1sin(),43πα+=则sin α=___ 2.函数3sin 2cos 2y x x [,]42ππ上的值域为____________________
3.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是________________
4.已知3134(,
),sin ,(,2),cos ,2425
ππαπαβπβ∈=-∈=则αβ+为第________象限角。 5.已知33350,cos(),sin(),4445413ππππβααβ<<<<-=+= 求sin()αβ+的值。
6.已知函数()sin 2cos 2f x x x =-，求函数()f x 的周期、单调区间、最小值及取得最小值时x 的取值集合。
【同步训练】
1.sin cos cos sin αββαββ+-+（）（）= .
2.sin67cos83cos67sin83+= .
3.sin36cos24sin54cos114-= .
4.sin cos sin sin 63ππαααα????++- ? ????
?= . 5.sin cos cos αβαβαβ+--+（）（）（）
＝sin 2β． 6.53sin ,2132πααπ=-<<，则7sin 6πα??+ ???= . 7.2sin67.5cos67.5= .
8.函数 sin 22y x x =-最大值是___ ,单调递增区间是_________________________．
9.若412cos sin 513αβαβ+=-=（），（），且32,22
ππαβπαβπ<+<<-<，求sin 2β 的值．
10.设3sin sin(2),,()22k k k Z ππβαβαπαβπ=+≠+
+≠+∈，求证：tan()2tan αβα+=．
11.在ABC ?中，sin cos sin sin sin cos A B B C A C -=-，求证：ABC ?是直角三角形．
已知0x π≤≤，求下列函数()sin cos (sin cos )f x x x x x =-+的最值，并求出函数取最值时对应的x 的值．
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 学案(含答案)
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数学案（含答 案） 2.2两角和与差的正弦.余弦函数学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角 和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦.余弦公式进 行简单的三角函数的求值.化简.计算等.3.熟悉两角和与差的正弦.余弦公式的灵活运用，了解公式的正用.逆用以及角的变换的常用方法知识点一两角和的余弦用代换coscoscossinsin中的便可得到.公式coscoscossinsin简记符号C使用条件，都是任意角记忆口决“余余正正，符号相反”知识点二两角和与差的正弦sincoscoscoscossinsinsincoscossin.用代换，即可得sinsincoscossin.内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号SS公式形式sinsincoscossinsinsincoscossin记忆口诀“正余余正，符号相同”1不存在角，，使得coscoscossinsin.提示如0，coscos01，coscossinsin 1.2任意角，，都有sinsincoscossin.提示由两角和的正弦 公式知结论正确3存在角，，使sinsincoscossin.提示由两角差的正弦公式知不存在角，，使sinsincoscossin.4存在角，，使sinsincoscossin.提示如0时，sin0，sincoscossin0.题型一给 角求值例11已知角的终边经过点3,4，则sin的值为
A.B C.D考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案C解析因为角的终边经过点3,4，则sin，cos，所以sinsincoscossin.2计算sin14cos16sin76cos 74.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简求值解1原式 sin14cos16sin9014cos9016sin14cos16cos14sin16sin1416sin 30.反思感悟解决给角求值问题的策略1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟踪训练11sin20cos10cos160sin10等于A B.C D.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简求值答案D解析原式sin20cos10cos20sin10sin 30.2若cos，，则cos.考点两角和的余弦公式题点两角和的余弦公式答案解析因为cos，，所以sin，所以coscoscossinsin.题型二给值求值例2已知sin，cos，且0，求cos的值解0，，0.又sin，cos，cos，sin.cossinsinsincoscossin.反思感悟1 给值式求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式当“已知角”有一个时，
两角和与差的正弦、余弦和正切公式word版本
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 () A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是 () A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 () A. π 2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 () A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
两角和与差的正弦、余弦函数(答案)
课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，
∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°
3.1.2两角和与差的正弦公式教学设计
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦公式 三维目标 1.在学习两角和、差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2.通过两角和与差的正弦、余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力. 3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 重点难点 教学重点：两角和与差的正弦公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 教学过程 复习巩固 两角差的余弦公式______________________________________________ 两角和的余弦公式_______________________________________________ 练习： 合作探究 ①在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)= sin(α-β)= ().cos )cos(),2,23(,43cos ),23,(,32sin .1的值、求已知βαβαππββππαα-+∈=∈-=()()()() 25sin 110sin 335cos 70cos 215sin sin 15cos cos 1.2+---x x x x 求值：
结论1、 S (α+β) 、S (α-β) . ②公式S (α-β) 、S (α+β) 的结构特征如何 我们把前面四个公式分类比较可得C (α+β) 、S (α+β)) 叫和角公式；S (α-β) 、C (α-β)叫差角公式.归纳总结以上四个公式的推导过程，得出什么逻辑联系图 通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 精讲点拨 练习：的值。 、 求 已知? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ∈ - = 3 sin 3 sin , , 2 , 5 3 cos π θ π θ π π θ θ 的值。 是第四象限角，求 ， ：已知 例 ) 4 cos( , 4 sin ), 4 sin( 5 3 sin 1 α π α π α π α α + ? ? ? ? ? + - - =
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 2、能用公式进行简单的求值. 3、培养学生的创新意识与应用意识. 教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用. 教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系 2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体 教学过程： 一、 复习巩固 上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15o=cos(45o-30o) 之类问题，而cos75o=cos(45o+30o) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？ 二、 公式推导 借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα-- cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β. 思考途径二：把任意角β换成-β cos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即： 两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处. 2两角和、差余弦公式间的关系. 3公式中的角具有任意性. 4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？ 练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值 （1） cos75o （2） cos105o
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于() A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是() A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是() A. π 2B．πC．2πD．4π 4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是() A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例
【高中数学】必修4 专题3.1.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(原卷版)
第三章三角恒等变换 3.1.1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、选择题 1．cos π 12 的值为 A 62 + B 62 - C 62 + D3 2．已知cos（π 6 +θ）= 1 2 ，则sin（ 4 3 π–θ）的值为 A．1 2 B．– 1 2 C 3 D． 3 3．若α为锐角，sin（ π 6 α-）= 1 3 ，则cosα的值等于 A 261 - B 261 -- C 261 + D 261 -+ 4．若tanα=–1 2 ，tan（α–β）=– 2 5 ，则tanβ的值为 A．1 8 B．– 1 8 C．– 1 12 D． 1 12 5．若sinαsinβ=1，则cos（α–β）的值为 A．0 B．1 C．±1 D．–1 6．计算2sin14°?cos31°+sin17°等于
A ． 2 B ．– 2 C D ．7．若sin （π4θ+）=a ，则cos （π4 θ-）= A ．–a B ．a C ．1–a D ．1+a 8．cos54°–sin54°的化简结果是 A B ．cos9° C ．sin9° D ．? 二、填空题 9．计算 2sin40cos10sin10?-? =? ____________． 10．tan18tan42tan120tan18tan42?+?+??? =____________． 11．sin47°cos13°+sin167°sin43°=____________． 12．sin165°=____________． 13．sin347°cos148°+sin32°cos13°=____________． 三、解答题 14．计算：sin420°?cos750°+sin （–330°）?cos （–660°）． 15．化简求值：sin （π34x -）?cos （π3–3x ）–cos （π36x +）?sin （π 34 x -）．
1.1.2-两角和与差的正弦公式教案(高教版拓展模块)
1.1.2-两角和与差的正弦公式教案(高教版 拓展模块) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.1.2 两角和与差的正弦公式 一、教学目标 ⒈掌握两角和与差的正弦公式的推导过程； ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和与差的正弦公式的应用； 2. 教学难点：公式的的推导及逆用 三、教学设想： （一）复习式导入： 大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ （二）探讨过程： 我们根据两角差的余弦公式可以得到： cos()cos cos sin sin sin 222 πππ αααα-=+= 提示：我们可以利用上式实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦公式的推导. ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-???? 由此得到两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
两角和与差的正弦、余弦、正切 一、两角和与差的余弦 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 1、求值：（1）ο15cos （2）οοοο20802080sin sin cos cos + （3）οοοο1013010130sin sin cos cos + （4）cos105° （5）sin75° （6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105° （7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ． （ 8）οοοο29912991sin sin cos cos - 2. （1）求证：cos （2π －α） ＝sin α．
（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝ ，60°＜α＜150°，求cos α． 3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）． 4. 已知32= αsin ，??? ??∈ππα,2，53-=βcos ，??? ??∈23ππβ,，求)cos(βα+的值. 5.已知1312- =αcos ，??? ??∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。 6. 已知α，β都是锐角，3 1= αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。 7.在△ABC 中，已知sin A ＝5 3，cos B ＝135，求cos C 的值.
二、两角和与差的正弦 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- 1利用和差角公式计算下列各式的值 （1）sin 72cos 42cos 72sin 42??-?? （2）13cos sin 22x x - （3）3sin cos x x + （4） 22cos 2sin 2x x - 二、证明： )4 cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6 sin(cos 21sin 23)1(π π θθθπααα-=++=++=+x x x 3（1）已知3sin 5 α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳 一、基础知识 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan αtan β? ? ??α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反. 2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α. C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α?? ??α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α 2 的二倍角． 二、常用结论 (1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α 2 .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)? ????其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 考点一 三角函数公式的直接应用 [典例] (1)已知sin α＝35，α∈????π2，π，tan β＝－1 2，则tan(α－β)的值为( ) A ．－2 11 B.211 C.112 D ．－11 2 (2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π 2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－22 9 B ．－42 9 C.229 D.429 [解析] (1)因为sin α＝3 5，α∈????π2，π， 所以cos α＝－ 1－sin 2α＝－4 5 ， 所以tan α＝sin αcos α＝－3 4. 所以tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β＝－2 11. (2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π 2≤α≤π， 所以cos α＝－ 1－sin 2α＝－22 3 ， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×???? －223＝－429. [答案] (1)A (2)B [解题技法] 应用三角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．