(教案)高中数学抛物线-高考经典例题

1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2

p OF OK ==

。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、

准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样

的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：

，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-==

4抛物线px y 22

=的图像和性质：

①焦点坐标是：??

??02，p ， ②准线方程是：2

p x -

=。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22

=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02

p PF x =+

， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222

p p

PQ x x x x p =+

++=++ ⑤抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2

=其中

5一般情况归纳：

抛物线的定义：

例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．

分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．

答案：y 2

=－16x

例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2

=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的

长．

分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到

准线距离的和．

解：如图8－3－1，y 2

=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．

由???+==1

42x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6．又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则

()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y 2

=10x ，求它的焦点坐标和准线方程；

(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；

(3) 已知抛物线方程为y =－mx 2

(m >0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；

分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P 值(注意p >0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：y m

x 12-

=，则m p 1

2=．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．

答案：(1) ??? ??025

，F ，25-

=x ．(2) x 2=12y (3) ??? ?

?-m F 410，，m y 41=

；(4) y 2=－x 或x 2

=－8y ．例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（－3，2）；

（2）焦点在直线x －2y －4=0上

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论

解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2），

∴4=－2p （－3）或9=2p ·2

∴p =

32或p =4

9 ∴所求的抛物线方程为y 2=－

34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－8

9 （2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）

当焦点为（4，0）时，

=4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ；

焦点为（0，－2）时，

=2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y

∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2 常用结论

① 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p

② 设A(x 1，y)， 1B(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上的两点，则AB 过F 的充要条件是y 1y 2＝－p 2

③ 设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点，则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p ，0)

例5：过抛物线y 2=2px (p >0)的顶点O 作弦OA ⊥OB ，与抛物线分别交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求证：y 1y 2=－4p 2

．

分析：由OA ⊥OB ，得到OA 、OB 斜率之积等于－1，从而得到x 1、x 2，y 1、y 2之间的关系．又A 、B 是抛物线上的点，故(x 1，y 1)、(x 2，y 2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y 1、y 2的值．

证：由OA ⊥OB ，得12211-=?=?x y x y K K OB

OA ，即y 1y 2=－x 1x 2，又p y x 2211=，p y x 2222=，所以：2

221214p

y y x x =，即2

221214p

y y y y -=．而y 1y 2≠0．所以y 1y 2=－4p 2

．弦的问题

例1 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB 经过一个定点

(3)作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,

∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,

由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)

(2)直线AB 的斜率k=

1212x x y y --=p

y p y y y 22212212--=2

12y y p

∴直线AB 的方程为y─y 1=2

12y y p

+(x─p y 221),

即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=2

12y y p

+(x─2p),

直线AB 过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=

12y y p

+(x─2p) (i),

又AB ⊥OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即

212y y p +·x

= ─1 (ii)

由(i),(ii)得x 2─2px+y 2=0 (x ≠0)

解法2: 由OM ⊥AB 知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出

例2 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标

解：如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=

1x x +, y=221y y +,

又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ，则|AF|=|AA /|=x 1+

41,|BF|=|BB /|=x 2+4

, ∴x=21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─214

等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x─

1) 由??

???

=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=2

1k +|x 1─x 2|=2

1k +×2

16k ?=22

k +=3, ∴k 2=1/2, 此时x=21

(x 1+x 2)=22

162)2(8k k ?+4

∴

M(45,22), N(4

5,─22) 例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22

+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC

上的点,且适合

CC BB PC BP =,求POA ?的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Q

λ===∴

111

y y CC BB PC BP , 212

1221

1021y y y y y y y y y y y +=+

=∴ 由???-=+=)

2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 4

12462220-=-?=∴k k

k k k y ①