河北省张家口市宣化一中2019-2020学年高一上学期12月月考试题 数学【含解析】

河北省张家口市宣化一中2019-2020学年高一上学期12月月考试题

数学

一、选择题：本大题共有12小题,每小题4分,共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的

1.数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( )

A. 2

n a n = B. 2

(1)n n a n =-? C. 12

(1)n n a n +=-?

D. 2

(1)(1)n n a n =-?+

【答案】C 【解析】 【分析】

根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到．

【详解】因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以

12(1)n n a n +=-? ．

故选C ．

【点睛】对于根据数列前几项的值，求数列通项公式的题目，解题方法是根据前几项的值与该项序号的关系得到，属基础题．

2.已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(20B x x x =-+<,则A

B =（ ）

A. {}1,0-

B. {}0,1

C. {}1,0,1-

D. {}0,1,2

【答案】A 【解析】

【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，

因为21,01,2A =--｛，，｝，

所以{}1,0A B ?=-，故选A ． 【此处有视频，请去附件查看】

3.已知数列1,,,,2x y z --成等比数列，则xyz =( ) A. 22- B. 4± C. 4-

D. 3

【答案】A 【解析】 【分析】

由数列1,,,,2x y z --成等比数列可知y 和xz 的值，从而求出结果.

【详解】因为数列1,,,,2x y z --成等比数列，所以()()2

122==-?-=y xz ，且y 与首项1-同号，所以

2y =-，所以22=-xyz 故选：A

【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题. 4.()()35x a a =+-与()()24y a a =+-的

大小关系是（ ）

A. x y >

B. x y =

C. x y <

D. 不能确定

【答案】C 【解析】 【分析】

比较两个式子大小，只需将两式作差即可.

【详解】()()2

35=215=+---x a a a a ，()()2

2428=+-=--y a a a a 所以

222152870-=---++=-

故选：C

【点睛】本题主要考查不等关系，作差法比较两式大小.

5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -=（ ） A. -8 B. 22

C. 20

D. 24

【答案】D 【解析】 分析】

由等差数列性质可得出11582a a a +=，81092a a a +=，由18153120a a a ++=可求出8a 的值，从而可得出9102-a a 结果.

【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以11582a a a +=，又18153120a a a ++=，所以85120=a 即

824a =，所以810911008224=+-==-a a a a a a .

故选：D

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 6.在ABC ?中，6

A π

=，1a =，3b =，则B =（ ）

A.

3π B.

6

π C.

23

π D.

3π或23

π 【答案】D 【解析】 【分析】

由正弦定理可得sin sin b A

B a

=

，代入数据即可. 【详解】在中ABC ?由正弦定理可得

sin sin a b A B

=，由6A π=，1a =，3b =，所以

sin 3

sin 3sin 6π===

b A B a ，所以3B π=或23π. 故选：D

【点睛】本题主要考查正弦定理，属于基础题.

7.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若46815a a a ++=，则11S 的值为（ ） A. 55 B.

55

2

C. 165

D.

165

2

【答案】A 【解析】 【分析】

由等差数列性质知4862+=a a a ，再由46815a a a ++=求出65a =，再用前n 项和公式即可得出结果 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以4862+=a a a ，又46815a a a ++=，所以6315=a ，即65a =，所以()

1111161111115=552

+=

==?a a S a .

故选：A

【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，解题的关键时熟练应用等差数列前n 项和公式. 8.在

中，，，分别为角

，

，

所对边，若

，则此三角形一定是（ ）

A. 等腰直角三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰或直角三角形

【答案】C 【解析】

试题分析：由正弦定理得()sin 2sin cos ,sin 2sin cos A B C B C B C =+=,即()sin 0B C -=,所以b c =,三角形ABC 为等腰三角形.

考点：解三角形----正弦定理与余弦定理．

9.已知x ，y 满足约束条件0

{401

x y x y y -≥+-≤≥，则

的最大值是（ ）

A. -1

B. -2

C. -5

D. 1

【答案】A 【解析】

根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：

令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.

考点：本题主要考查了简单的线性规划. 10.若直线1(0,0)x y

a b a b

+=>>过点(1,1)，则+a b 的最小值等于（） A. 2 B. 3

C. 4

D. 5

【答案】C 【解析】

试题分析：∵直线

1x y

a b

+=（，）过点，∴．则

()11a b a b a b ??+=++ ???2224b a b a

a b a b

=++≥+?=，当且仅当

时取等号．故答案为C ．

考点：基本不等式.

【此处有视频，请去附件查看】

11.在?ABC 中，已知2AC ，∠B=30°，则∠A= ( ) A. 45° B. 15°

C. 45°或135°

D. 15°或105°

【答案】D 【解析】

试题分析：由正弦定理可解得sinC ，结合范围C∈（0，180°），可得C ，利用三角形内角和定理即可求A 的值．

2,30AB AC B =∠=?，∴由正弦定理sin AB AC sinC B

=，1

2222

AB sinB sinC AC AC ?

?∴===, ∴由0180C ∈?（，），可得：C=45°或135°．∴可得：A=180°-B-C=105°或15°．故选D ． 考点：正弦定理

12.已知△ABC 中，30A ?∠=，AB ,BC 3232－则△ABC 的面积等于 ( ) A.

3

2

B.

34

C.

3

2

3 D.

32

或34

【答案】D 【解析】 【分析】

由AB ,BC 3232－AB ,BC 的值，再由30A ?∠=用正弦定理可得出C ∠，从而得出B ，再由三角形面积公式及可求出面积. 【详解】由题可知233=32

AB ++-=

， (

)(

)

2

3312－=

+=BC ，由正弦定理可

知

sin sin BC AB A C =，又30A ?∠=，所以3

sin C =，所以60C ?∠=或120?，所以90?∠=C 或30?，由三角形面积公式可得1sin 2?=?ABC S AB BC B ，所以3

ABC S ?=或3ABC S ?=. 故选：D

【点睛】本题主要考查数列性质、正弦定理、三角形面积公式的综合应用，解题的关键是熟练应用数列性质、正弦定理、三角形面积公式.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.

13.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】

由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式． 【此处有视频，请去附件查看】

14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242,8S S ==,则6S 等于_______. 【答案】18 【解析】 【分析】

由等差数列前n 项和性质可知2S 、42S S -、64S S -也成等差数列，再由242,8S S ==，求出42S S -，再由等差数列性质求出6410-=S S ，从而得出6S 的值.

【详解】由等差数列前n 项和性质可知2S 、42S S -、64S S -也成等差数列，所以

()()422642-=+-S S S S S ，又242,8S S ==，所以426-=S S ，所以6410-=S S ，所以618S =.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，解体的关键是的等差数列前n 项和n S 、2-n n S S 、32n n S S -、

也成等差数列.

15.已知点(0,)A a 与点(1,2)B 在直线20x y +-=的同一侧，则a 的取值范围是______. 【答案】2a > 【解析】 【分析】

根据题意可知把点(0,)A a 与点(1,2)B 代入2+-x y 得到的符号形同，即

()()021220+-+->a ，求解即可.

【详解】因为点A ，B 在直线20x y +-=的同一侧，所以把点(0,)A a 与点(1,2)B 代入 2+-x y 得到的符号形同，所以()()021220+-+->a ，所以2a >.

【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域，属于基础题.

16.已知ABC ?内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1

cos ,34

B b ==，sin 2sin

C A =，则ABC ?的面积为___. 915

【解析】 【

分析】

由sin 2sin C A =可得2c a =，再根据余弦定理222

cos 2a c b B ac

+-=可得出32a =，3c =，由1cos 4=B 可

得15

sin =

B ，再代入三角形面积公式求解即可． 【详解】由sin 2sin

C A =可得2c a =，由余弦定理可知，222

cos 2a c b B ac

+-=，又1cos ,34B b ==，所

以222

14944+-=a a a ，解得32a =，所以3c =，由1cos 4=B 可得15

sin =B ，所以115

sin 216

?=

=

ABC S ac B ． 【点睛】本题主要考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题,共56分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.要制作一个容积为4m 3

，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价. 【答案】160元 【解析】 【分析】

先设出容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m （0x >），再由容积为4m 3

，高为1m 得长方体

的底面矩形的宽为

4

x

m ，根据题意建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值，即可得出所求 ． 【详解】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m （0x >）， 因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为

4

x

m ，

依题意得，

2444 204102802080202160

?

????

=?++=++≥+??=

? ?

????

y x x x

x x x

(当且仅当

4

x

x

=，即2

x=时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．

【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是用基本不等式求最值．

18.已知等差数列{a n}首项a1=1，公差为d，且数列是公比为4的等比数列，

（1）求d；

（2）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；

（3）求数列

1

1

n n

a a

+

??

??

?

??

的前n项和T n．

【答案】（1）2（2）a n=2n﹣1，（3）

21

n

n+

【解析】

试题分析：（1）利用数列{a n}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，即可求d；（2）利用等差数列的通项与求和公式，即可求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；

（3）利用裂项法求数列

1

1

n n

a a

+

??

??

?

??

的前n项和T n．

解：（1）∵数列{a n}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，

∴，求得d=2

（2）由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

（3）令()()

1

11111

212122121

n

n n

b

a a n n n n

+

??

===-

?

?-?+-+

??

则

=

考点：数列的求和；等比数列的通项公式．

19.在ABC

?中，,,

a b c分别是角,,

A B C的对边，若tan3

A=，

5

cos

5

C=．

（1）求角B 的大小； （2）若4,c =求ABC ?面积． 【答案】（1）4

B π

=；（2）6.

【解析】

本试题主要是考查了解三角形的运用．第一问中利用已知的条件中5

tan 3,cos A C ==C 的正弦值，然后得到C 的正切值，利用内角和定理，得到tanB 的值．从而得到角B

第二问中，由正弦定理可知得到b 的值，然后结合sinA=sin(B+C)得到A 的正弦值，结合三角形的面积公式得到． 解：（1）由525cos tan 2C sinC C =

== tan tan tan tan()11tan tan A C

B A

C A C

+=-+=-

=-；……………………4分

又04B B π

π<<∴=

；……………………6分

（2）由正弦定理sin sin b c B C =可得，sin 10sin c

b B C

==；……………………8分 由sin sin()sin()4

A B C C π

=+=+得，310

sin 10

A =

；……………………10分 所以?ABC 面积1

sin 62

ABC S bc A ?=

=；……………………12分 20.已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n a

n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【答案】(1) n a n =;(2) 1

(1)

222

n n n n S ++=-+

. 【解析】

试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2n a

n b n =+，求出数列n b 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n 项和公式的使用. 试题解析：

（1）设数列{}n a 公差为d

139,,a a a 成等比数列2

319a a a ∴=

()()2

12118d d ∴+=?+

0d ∴=（舍）或1d =

n a n ∴=.

（2）令22n a

n

n b n n =+=+

123n n S b b b b ∴=++++

()()()

()

1232122232n n =++++++

++

()

()

(

)()

1

2

3

222

2123212112

2

n n n n n =+++

+++++

+-+=

+-

()

1

12

22

n n n ++=-+

()11222

n n n n S ++∴=-+

.

【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2n a

n b n =+，求出数列n b 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n 项和公式的使用.

21.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ． （1）若2c =，3

C π

=

，且ABC ?3a ，b 的值；

（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC ?的形状． 【答案】（1） a ＝2，b ＝2 （2）等腰三角形或直角三角形 【解析】

【详解】试题分析：（1）根据余弦定理，得2224c a b ab =+-=，再由面积正弦定理得1

sin 32

ab C =两式联解可得到a ，b 的值；

（2）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin （A+B ），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA ，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论． 试题解析：（1） ∵c＝2，3

C π

=

，

∴由余弦定理c 2

＝a 2

＋b 2

－2abcosC 得a 2

＋b 2

－ab ＝4. 又∵△ABC 31

2

absinC 3，∴ab＝4. 联立方程组解得a ＝2，b ＝2.

（2）由sinC ＋sin （B －A ）＝sin2A ，得sin （A ＋B ）＋sin （B －A ）＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，

∴cosA·（sinA －sinB ）＝0，∴cosA＝0或sinA －sinB ＝0， 当cosA ＝0时，∵0

2

π

，△ABC 为直角三角形； 当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 考点：正弦定理；三角形的形状判断

22.已知数列{}n a 满足11a =，()()

*

112,n n na n a n n N -=-≥∈,数列{}n b 满足112

b =

,21

4b =,对任意

*n N ∈都有2

12n n n b b b ++=

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1122...n n n T a b a b a b =+++求证:

1

22

n T ≤<. 【答案】（1）n a n =，12n

n b ??= ???

；

（2）见解析

【解析】 【分析】

（1）当2n ≥时，，由1(1)-=-n n na n a ， 可得

11

n n a n

a n -=-( 2n ≥)，利用累乘求积即可得出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的通项公式即可求出{}n

b 的通项公式； （2）利用错位相减求出n T ，即可得出结果．

【详解】（1）当2n ≥时，由1(1)-=-n n na n a ， 可得

11

n n a n a n -=-( 2n ≥)， 132112211232

112321

n n n n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -----=

????????=?????????=---(2n ≥)， 又11a =也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =，

由2

12n n n b b b ++=?知数列

{}n b 是等比数列，其首项、公比均为1

2

， ∴数列{}n b 的通项公式12n

n b ??= ???

； （2）∵211111

2()(1)()()2222

n n n T n n -=

+?++-?+? ① 23111111

()2()(1)()()22222

n n n T n n +=+?++-+ ② 由①式减②式得231

1

11111

()()()]()2

222

22

n n n T n +=

++++-?1212n n ++=-1

111-1221212

n n n +??

?????=-? ???-，所以

222n n

n T +=-

，又2

2n n +>0，所以2222n n n T +=-<， 又1111322(2)(3)12222n n n n n n n n n n n T T +++++++-++-=-+==恒正，故{}n T 是递增数列，所以1

1

2

n T T ≥= ，所以 1

22

n T ≤<．

【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法，以及前n 项和求法，解题的关键是累乘法求通项公式，错位相减求数列前n 项和．