线性代数第四版答案

第一章行列式

1利用对角线法则计算下列三阶行列式

（1)

解

2(4）30(1)（1)118

0132（1）81（4)(1)

2481644

（2）

解

acb bac cba bbb aaa ccc

3abc a3b3c3

(3）

解

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

（a b)(b c）(c a）

(4）

解

x(x y)y yx（x y）（x y)yx y3（x y)3x3

3xy(x y）y33x2y x3y3x3

2(x3y3）

2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数

(1）1 2 3 4

解逆序数为0

(2)4 1 3 2

解逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1， 2 1

（4）2 4 1 3

解逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5）1 3 （2n1） 2 4 （2n）

解逆序数为

3 2 （1个）

5 2 5 4(2个）

7 2 7 4 7 6(3个）

(2n1)2（2n1）4(2n1)6

（2n1）(2n2) (n1个）

(6)1 3 (2n1） (2n) （2n2）2

解逆序数为n(n1）

3 2(1个）

5 2 5 4 (2个)

(2n1)2 (2n1）4（2n1）6

（2n1)（2n2) （n1个)

4 2（1个）

6 2 6 4(2个）

(2n)2(2n)4（2n)6（2n)（2n2) （n1个）

3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解含因子a11a23的项的一般形式为

(1)t a11a23a3r a4s

其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42

所以含因子a11a23的项分别是

（1）t a11a23a32a44(1）1a11a23a32a44a11a23a32a44

（1)t a11a23a34a42（1)2a11a23a34a42a11a23a34a42

4计算下列各行列式

(1)

解

(2)

解

(3)

解

(4）

解

abcd ab cd ad1

5证明：

(1)（a b）3;

证明

（a b)3

(2）;

证明

（3);证明

(c4c3c3c2

c2c1得)

(c4c3c3c2得）

（4)

（a b)（a c)（a d）（b c)(b d）（c d)(a b c d）;

证明

=（a b)(a c)（a d)(b c)（b d）(c d)(a b c d)

（5）x n a1x n1

a n1x a n

证明用数学归纳法证明

当n2时命题成立

假设对于(n1）阶行列式命题成立即

D n1x n1a1x n2a n2x a n1

则D n按第一列展开有

xD n1a n x n a1x n1a n1x a n 因此对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式D det(a ij）, 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得

证明D3D

证明因为D det(a ij）所以

同理可证

7计算下列各行列式(D k为k阶行列式)

（1)，其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0

解

(按第n行展开)

a n a n2a n2(a21)

（2)；

解将第一行乘（1）分别加到其余各行得

再将各列都加到第一列上得

［x （n1)a]（x a)n1

(3)；

解根据第6题结果有