《数学建模》实验四
《数学建模》实验报告
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
建模与仿真
第1章建模与仿真的基本概念 参照P8例子，列举一个你相对熟悉的简单实际系统为例，采用非形式描述出来。 第2章建模方法论 1、什么是数学建模形式化的表示？试列举一例说明形式化表示与非形式化表示的区别。 模型的非形式描述是说明实际系统的本质，但不是详尽描述。是对模型进行深入研究的基础。主要由模型的实体、包括参变量的描述变量、实体间的相互关系及有必要阐述的假设组成。模型的非形式描述主要说明实体、描述变量、实体间的相互关系及假设等。 例子：环形罗宾服务模型的非形式描述： 实体 CPU，USR1，…，USR5 描述变量 CPU:Who,Now(现在是谁)----范围{1,2,…,5}; Who.Now=i表示USRi由CPU服务。 USR：Completion.State（完成情况）----范围[0，1]；它表示USR完成整个程序任务的比例。参变量 X-----范围[0，1]；它表示USRi每次完成程序的比率。 i 实体相互关系 （1）CPU 以固定速度依次为用户服务，即Who.Now为1，2，3，4，5，1，2…..循环运行。 X工作。假设：CPU对USR的服务时间固定，不（2）当Who.Now=I,CPU完成USRi余下的 i X决定。 依赖于USR的程序；USRi的进程是由各自的参变量 i 2、何谓“黑盒”“白盒”“灰盒”系统？ “黑盒”系统是指系统内部结构和特性不清楚的系统。对于“黑盒”系统，如果允许直接进行实验测量并通过实验对假设模型加以验证和修正。对属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。 对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。 3、模型有效性和模型可信性相同吗？有何不同？ 模型的有效性可用实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度来度量。它分三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效。不同级别的模型有效，存在不同的行为水平、状态结构水平和分解结构水平的系统描述。 模型的可信度指模型的真实程度。一个模型的可信度可分为： 在行为水平上的可信性，即模型是否重现真实系统的行为。 在状态结构水平上可信性，即模型能否与真实系统在状态上互相对应，通过这样的模型可以对未来的行为进行唯一的预测。 在分解结构水平上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是惟一表示出来。 不论对于哪一个可信性水平，可信性的考虑贯穿在整个建模阶段及以后各阶段，必须考虑以下几个方面： 1在演绎中的可信性。2在归纳中的可信性。3在目的方面的可信性。 4、基于计算机建模方法论与一般建模方法论有何不同？（P32） 经典的建模与仿真的主要研究思路，首先界定研究对象-实际系统的边界和建模目标，利用已有的数学建模工具和成果，建立相应的数学模型，并用计算装置进行仿真。这种经典的建
数学建模习题
数学建模与数学实验课程练习 练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06 /12 625 .05 .04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似 值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游 1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。 如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取 水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0) P x
31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程
数学建模实验报告
数学建模实验报告
一、实验目的 1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握 数学建模分析和解决的基本过程。 2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新 能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。 二、实验题目 （一）题目一 1、题目：电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个 乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直 到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 2、问题分析 （1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模拟的 方法，求得近似结果。 （2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。 3、模型建立 建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每 个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。而每行中1的个数 代表在该楼层下的乘客的人数。 再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。 例如： 给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为： m = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 c = 1 1 0 1 0 1 1 1 4、解决方法（MATLAB程序代码）：
n=10;r=10;d=1000; a=0; for l=1:d m=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r)); c=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:r if m(i,j)==1 c(j)=1; break; end continue; end end s=0; for x=1:n if c(x)==1 s=s+1; end continue; end a=a+s; end a/d 5、实验结果 ans = 6.5150 那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。 （二）题目二 1、问题：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6 千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千 克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人 150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何 安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨 论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2、问题分析 （1）题目中共有3个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮料产量的限制。 （2）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用MATLAB时要转换
十大经典数学模型
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。 1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： 构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 例：蒲丰氏问题 为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：
数学建模与数学实验习题
数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结 第一章 1.简述数学建模的一般步骤。 2.简述数学建模的分类方法。 3.简述数学模型与建模过程的特点。 第二章 4.抢渡长江模型的前3问。 5.补充的输油管道优化设计。 6.非线性方程（组）求近似根方法。 第三章 7.层次结构模型的构造。 8.成对比较矩阵的一致性分析。 第五章 9.曲线拟合法与最小二乘法。 10 分段插值法。 第六章 11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。 12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。 13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。 14 一阶差分方程求解。 15 养老保险模型。
16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦 1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 31/52a b P c d e f ?? ??=?????? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求 P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。 2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。 6. 布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是 3 (m r s 单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。 7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？ 8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去
最经典的数学模型
最经典的数学模型 怎样得到最好的女孩子的数学模型 【关键词】怎样得到最好女孩子数学模型 由于老天爷在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。 人们常常希望能够获得一个最可爱的人作为自己的伴侣。但是，由于老天爷在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。也许你很早就结婚了，但是结婚之后却又不断发现还有不少更好更适合结婚的异性，这就是结婚太早的机会成本。那么，是不是晚一点结婚就可以避免这个问题呢？不是的！当结婚太晚，你错过最好的异性的可能性也就更大。那么，一个人究竟应采取什么样的策略才能最大可能地遇到最适合的异性，从而使结为伴侣的机会成本最低呢？我们不妨建立一个模型来考察。 假设你是一个男孩子，而老天爷在你20岁到30最之间安排了20位适合你的女孩子。这些女孩子都愿意作为你的伴侣，但是你只能选择其中的一位。对于你来说，这20位女孩子的质量是可以排序的，也就是说事后你可以对她们的质量排名，质量排第一的对你来说就是最好的，排第20的对你来说就是最差的。可惜的是，由于20位女孩不是同时出现在你的生命中，而是按时间先后出现，每出现一个你都要决定是否留下她或拒绝她。如果留下她则她成为你的伴侣，你将再没有权利选择后面的女孩子；如果拒绝她，则你还可以选择后面的女孩子，但是对前面已经拒绝的女孩子将没有机会从头再来。 20个女孩子的排名虽然可以在事后决定，但是在观察完20个女孩子之前，你并不知道全部女孩子的排名，你只知道已经观察过的女孩子谁比谁会更好。而且，上帝是完全随机地安排每个时间段出现的女孩子的，也就是说出现时间的先后与女孩子的质量是完全没有关系的。那么，你应该在什么时候决定接受一个女孩子，并且使得被接受那个女孩子属于最好女孩的概率最大呢？ 当然，你完全可以在碰到第一个女孩子时就接受她。她确有可能刚好就是最好的，但也有可能是最差的。当你接触到第二个女孩子，你可以知道她和第一个女孩子谁更好，但却不知道她们与剩下的18个女孩比又如何——前两个分别是最差的、次差的概率当然有，但前两个刚好是最好的、次好的可能性也是存在的，其他的概率情况也是有的。看来，你要尽可能挑到最好的女孩做伴侣还真是费神哦。 现在让我们来设计几种挑选策略，以便在不确定性中尽可能找到最好的女孩子。 策略1：事先抽签，抽到第几个就第几个。比如，抽到第10位，那么第10个在你生命中出现的女孩就事前被确定为你的伴侣。而她刚好是最好的女孩之概率是多少呢？答案是1/20=0.05。这种策略使你有5%的可能性获得最好的女孩。这样的概率显然太小，很难发生。 策略2：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩子，就立马接受。这是一种等一等、看一看的策略。这样的策略中，你得到最好的女孩子的概率是
数学建模实验
数学建模课程实验报告 专题实验7 班级数财系1班学号2011040123 丛文 实验题目常微分方程数值解 实验目的 1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。 实验容 (包括分 析过程、 方法、和 代码，结 果) 1. 用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值 解，画出解的图形，对结果进行分析比较 解；M文件 function f=f(x,y) f=y+2*x; 程序； clc;clear; a=0;b=1; %求解区间 [x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值 解； %% 以下利用Euler方法求解 y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N; x=a:h:b;
for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); end figure(1) plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图 title('数值解与真解图'); legend('RK4','Euler','真解'); xlabel('x');ylabel('y'); figure(2)
plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差 title('龙格库塔方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error'); figure(3) plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler方法的误差 title('Euler方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error');
数学建模与数学实验课后习题答案
P59 4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。 解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。 首先，我们先按比例分配委员席位。 A 宿舍为:A n = 365.21002 10237=? B 宿舍为:B n =323.31002 10333=? C 宿舍为:C n =311.4100210432=? 现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。 5.93613 22372 =?=A Q 7.92404 33332 =?=B Q 2.93315 44322 =?=C Q 经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。 所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
商人们怎样安全过河
由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。 解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。 如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9步。
P60 液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式 解：物理量之间的关系写为为()?=?,,,,,μρ?l v d p 。 各个物理量的量纲分别为 []32-=?MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，Δ是一个无量纲量。 ???? ??????-----=?0310100011110010021113173A 其中0=Ay 解得 ()T y 00012111---=， ()T y 00101102--=， ()T y 01003103--=， ()T y 10000004= 所以 l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ?=--313ρπ，?=4π 因为()0,,,,,,=??p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为： ()213,ππψρv p =?
数学建模实验三--Lorenz模型与食饵模型
数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型 一、实验目的 1、学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析； 2、学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。 二、实验材料 2.1问题 图3.3.1是著名的洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT ）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环 ；4)极限环面。除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。事实上这种想法是非常错误的。1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。例如，数据加密中。我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢？ 图3.3.1 洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子 假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x 为兔子数量,y 表狐狸数量。假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为0.02。而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为0.001。建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。 2.2预备知识 1、求解常微分方程的Euler 折线法 求初值问题 ? ??=='00)(),,(y x y y x f y （12.1）
数学建模与实验
? 1.1.3 初识MATLAB 例1-1 绘制正弦曲线和余弦曲线。 x=[0:0.5:360]*pi/180; plot(x,sin(x),x,cos(x)); ?例1-2 求方程 3x4+7x3 +9x2-23=0的全部根。 p=[3,7,9,0,-23]; %建立多项式系数向量 x=roots(p) %求根 ?例1-3 求积分 quad('x.*log(1+x)',0,1) ?例1-4 求解线性方程组。 a=[2,-3,1;8,3,2;45,1,-9]; b=[4;2;17]; x=inv(a)*b ? 1.2.1 MATLAB的运行环境 硬件环境： (1) CPU (2) 内存 (3) 硬盘 (4) CD-ROM驱动器和鼠标。 软件环境： (1) Windows 98/NT/2000 或Windows XP (2) 其他软件根据需要选用 ? 1.3.1 启动与退出MATLAB集成环境 1．MATLAB系统的启动 与一般的Windows程序一样，启动MATLAB系统有3种常见方法： (1)使用Windows“开始”菜单。 (2)运行MATLAB系统启动程序matlab.exe。 (3) 利用快捷方式。 ?启动MATLAB后，将进入MATLAB 6.5集成环境。MATLAB 6.5集成环境包括MATLAB 主窗口、命令窗口(Command Window)、工作空间窗口(Workspace)、命令历史窗口(Command History)、当前目录窗口(Current Directory)和启动平台窗口(Launch Pad)。 ?2．MATLAB系统的退出 要退出MATLAB系统，也有3种常见方法： (1) 在MATLAB主窗口File菜单中选择Exit MATLAB命令。 (2) 在MATLAB命令窗口输入Exit或Quit命令。 (3) 单击MATLAB主窗口的“关闭”按钮。 ? 1.3.2 主窗口 MATLAB主窗口是MATLAB的主要工作界面。主窗口除了嵌入一些子窗口外，还主要包括菜单栏和工具栏。 1．菜单栏 在MATLAB 6.5主窗口的菜单栏，共包含File、Edit、View、Web、Window和Help 6个菜单项。
数学建模实验报告
内江师范学院 中学数学建模 实验报告册 编制数学建模组审定牟廉明 专业: 班级:级班 学号: 姓名: 数学与信息科学学院 2016年3月 说明 1.学生在做实验之前必须要准备实验,主要包括预习与本次实验相关的理论知识,熟练与本次实验相关的软件操作,收集整理相关的实验参考资料,要求学生在做实验时能带上充足的参考资料;若准备不充分,则学生不得参加本次实验,不得书写实验报告; 2.要求学生要认真做实验,主要就是指不得迟到、早退与旷课,在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度,认真完成实验内容,极积主动地向实验教师提问等;若学生无故旷课,则本次实验成绩不合格; 3.学生要认真工整地书写实验报告,实验报告的内容要紧扣实验的要求与目的,不得抄袭她人的实验报告; 4.实验成绩评定分为优秀、合格、不合格,实验只就是对学生的动手能力进
行考核,跟据所做的的情况酌情给分。根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定。
实验名称:数学规划模型(实验一)指导教师: 实验时数: 4 实验设备:安装了VC++、mathematica、matlab的计算机 实验日期:年月日实验地点: 实验目的: 掌握优化问题的建模思想与方法,熟悉优化问题的软件实现。 实验准备: 1.在开始本实验之前,请回顾教科书的相关内容; 2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统与装有数学软件的计算机。 实验内容及要求 原料钢管每根17米,客户需求4米50根,6米20根,8米15根,如何下料最节省？若客户增加需求:5米10根,由于采用不同切割模式太多,会增加生产与管理成本,规定切割模式不能超过3种,如何下料最节省？ 实验过程: 摘要:生活中我们常常遇到对原材料进行加工、切割、裁剪的问题,将原材料加工成所需大小的过程,称为原料下料问题。按工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大就是典型的优化问题。以此次钢管下料问题我们采用数学中的线性规划模型、对模型进行了合理的理论证明与推导,然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11、0对题目所提供的数据进行计算从而得出最优解。 关键词:钢管下料、线性规划、最优解 问题一 一、问题分析: (1)我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少; (2)我们要去确定应该怎样去切割才就是比较合理的,我们切割时要保证使用原料的较少 的前提下又能保证浪费得比较少; (3)由题意我们易得一根长为17米的原料钢管可以分别切割成如下6种情况(如表一): 表一:切割模式表 模式 4m钢管根数 6m钢管根数8m钢管根数余料/m 1 4 0 0 1 2 1 2 0 1 3 2 0 1 1 4 2 1 0 3 5 0 1 1 3 6 0 0 2 1
数学建模与数学实验报告
数学建模与数学实验报告 指导教师__郑克龙___ 成绩____________ 组员1：班级______________ 姓名______________ 学号_____________ 组员2：班级______________ 姓名______________ 学号______________ 实验1.(1)绘制函数cos(tan())y x π=的图像，将其程序及图形粘贴在此。 >> x=-pi:0.01:pi; >> y=cos(tan(pi*x)); >> plot(x,y) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 1 （2）用surf,mesh 命令绘制曲面2 2 2z x y =+，将其程序及图形粘贴在此。（注：图形注意拖放，不要太大）（20分） >> [x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]); >> z=2*x.^2+y.^2; >> surf(x,y,z)
-2 2 >> mesh(x,y,z) -2 2 实验2. 1、某校60名学生的一次考试成绩如下:
93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数. （20分） 1） >> a=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]; >> pjz=mean(a) pjz = 80.1000 >> bzhc=std(a) bzhc = 9.7106 >> jc=max(a)-min(a) jc = 44 >> bar(a)
数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型
数学建模实验三Lorenz模型与食饵模型 一、实验目的 1、学习用Mathematica求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析； 2、学习用MATLAB求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。 二、实验材料 2.1问题 图3.3.1是著名的洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环；4)极限环面。除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。事实上这种想法是非常错误的。1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。例如，数据加密中。我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢？ 图3.3.1 洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子 假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x为兔子数量,y表狐狸数量。假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为0.02。而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为0.001。建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。 2.2预备知识 1、求解常微分方程的Euler折线法 求初值问题
数学建模与数学实验
数学建模与数学实验 实验报告 班级: 数学师范153 姓名:付爽 学号:1502012060 实验名称: 数列极限与函数极限 基础实验 基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读
一、实验目的 从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义;理解数列收敛的准则;理解函数极限与数列极限的关系。 二、实验使用软件 Mathematic 5、0 三.实验的基本理论即方法 1割圆术 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积;其次,当将边数屡次加倍时,正多边形的面积增大,边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 “割之弥细,所失弥少。割之又割以至不可割,则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。 以n S 表示单位圆的圆内接正1 23-?n 多边形面积,则其极限为 圆周率π。用下列Mathematica 程序可以从量与形两个角度考察数列{n S }的收敛情况: m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆
内接正1 23-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1 23-?n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图) 2裴波那奇数列与黄金分割 由2110;1; 0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。 如果令n n n F F R 11 --=,由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ,]251251[511 1 ++??? ? ??--??? ? ??+=n n n F ; 2 15lim lim 1 -==+∞ →∞ →n n n n n F F R 。 用下列Mathematica 程序可以从量与形两个角度考察数列{n R }的收敛情况: n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
数学建模的经典模板
一、摘要 内容： （1）用1、2句话说明原问题中要解决的问题； （2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点；（3）算法思想（求解思路），特色； （4）主要结果（数值结果，结论）；（回答题目的全部“问题”） （5）模型优点，结果检验；模型检验，灵敏度分析，有无改进，推广 要求 （1）特色和创新之处必须在这里强调； （2）长度 （3）要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点； 二、问题的提出 内容： 用自己的语言阐述背景，条件，要求；重点列出‘问题’也即要求； 要求： （1）不是题目的完整拷贝 （2）根据自己的理解，用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求； 三、条件假设 内容 （1）根据题目中的条件做出假设 （2）根据题目中的要求做出假设； 要求 （1）合理性最重要； （2）假设合理且全面，但不欣赏罗列大量的无关假设，关键性假设不能缺； （3）合理假设作用： 简化问题，明确问题，限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1．名词解释 2．问题的背景分析 3．问题分析 六、模型建立 抽象要求
（1）模型的主要类别：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、优化模型、决策模型、图论模型等 （2）几种常见的建模目的：（对应相对（1）的方法） 描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理型分析方法，探索研究对象的内在规律性； 预测感兴趣的时间爱你是否会发生，或者事物的房展趋势，常采用数理统计或模拟的方法； 优化管理、决策或者控制事物，需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法； （3）建模过程常见的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式； （4）模型的要求： 明确、合理、简洁、具有一般性； 例如：有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用凑得方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是建模的正确思路；（（与第三点对应））（5）鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 （6）避免出现罗列一系列的模型，又不做评价的现象； 具体要求： （1）基本模型：首先要有数学模型：数学公式、方案等；基本模型，要求完整，正确，简明 （2）简化模型：要明确说明，简化思想，依据；简化后的模型尽可能给出； 七、模型求解 每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求： 1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出 8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式 ▲求解方案，用图示更好 10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确
数学建模实践一实验列表
数学建模实践(一)实验项目列表 一、Well-mix类（10分）： 1-1、实验编号：1720800— 实验名称：Penna模型 实验学时:8学时 内容简介： 相关文献资料：T.J.P. Penna, A bit-string model for biological aging, Journal of Statistical Physics, 78 (1995) 1629-1633. 1-2、实验编号：1720800— 实验名称：少数者博弈模型 实验学时: 8学时 内容简介： 相关文献资料：D. Challet, Y.C. Zhang, Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game, Physica A, 246 (1997) 407-418. 1-3、实验编号：1720800— 实验名称：财富交换模型 实验学时: 8学时 内容简介： 相关文献资料：A. Dragulescu, V.M. Yakovenko, Statistical mechanics of money, European Physical Journal B, 17 (2000) 723-729. 1-4、实验编号：1720800— 实验名称：人类行为动力学模型 实验学时: 8学时 内容简介： 相关文献资料：A.-L. Barabasi, The origin of bursts and heavy tails in human dynamics, Nature, 435 (2005) 207-211. 1-5、实验编号：1720800— 实验名称：命名博弈模型 实验学时: 8学时 内容简介： 相关文献资料：A. Baronchelli, M. Felici, V. Loreto, E. Caglioti, L. Steels, Sharp transition towards shared vocabularies in multi-agent systems, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2006 (2006) P06014. 1-6、实验编号：1720800— 实验名称：鼓掌同步模型 实验学时: 8学时 内容简介： 相关文献资料：[1] Z. Neda, E. Ravasz, Y. Brechet, T. Vicsek, A.L. Barabasi, The sound of many hands clapping - Tumultuous applause can transform itself into waves of synchronized clapping, Nature, 403 (2000) 849-850. [2]、Z. Neda, E. Ravasz, T. Vicsek, Y. Brechet, A.L. Barabasi, Physics of the rhythmic applause, Physical Review E, 61 (2000) 6987-6992. 1-7、实验编号：1720800— 实验名称：行人流的社会力模型