九年级数学：二次函数的应用练习题(含解析)

九年级数学：二次函数的应用练习题（含解析）

一、精心选一选

1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x cm.当x＝3时,y＝8,那么当成本为72元时,边长为（）

A.6cm

B.12cm

C.24cm

D.36cm

2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价（）

A.5元

B.10元

C.15元

D.20元

3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式

是h＝－5

t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间

为（）

A.3s

B.4s

C.5s

D.6s

4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线,建立如图所示的

平面直角坐标系,其函数关系式为y＝－1

x2,当水面离桥拱的高度DO

是4m时,这时水面宽度AB为（）

A.－20m

B.10m

C.20m

D.－10m

5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x,y2＝2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润是（）

A.30万元

B.40万元

C.45万元

D.46万元

6﹒如图,假设篱笆（虚线部分）的长度为16m,则所围成

矩形ABCD的最大面积是（）

A.60m2

B.63m2

C.64m2

D.66m2

7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费

10元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是（）

A.14元

B.15元

C.16元

D.18元

8﹒某建筑物,从10m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水呈抛

物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直）,如图所示,如果抛物线

的最高点M离墙1m,离地面40

m,则水流落地点B离墙的距离

OB是（）

A.2m

B.3m

C.4m

D.5m 9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－

1 4x2+

x+1的一部分,如图所示（单位：m）,则下列说法不正确的

是（）

A.出球点A离地面点O的距离是1m

B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m

C.此次羽毛球最高可达到25 16

D.当羽毛球横向飞出3

m时,可达到最高点

10.图2是图1拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB

为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y＝

400

(x－80)2+16,桥拱与桥墩AC

的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴,若OA＝10米,则桥面离水面的高度AC为（）

A.169

米 B.

米 C.16

米 D.

米

图1 图2

二、细心填一填

11.某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均

每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为______元时,该服装店平均每天的销售利润最大.

12.一个足球被从地面上踢出,它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t,已知足球被踢出后经过4s落地,则足球距地面的最大高度是_____________m.

13.某种商品每件进价为20元,调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30,且x 为整数）出售,可卖出（30－x）件.若使利润最大,每件的售价应为________元.

14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t －5t2,当遇到紧急情况时,司机急刹车,但由于惯性汽车要滑行

__________m才能停下来.

15.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长）,中间有一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为________m2.

16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为4

米时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米,水面下降1米时,水

面宽度为________米.

三、解答题

17.九年级数学兴趣小组经市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价

100 110 120 130 …

（元/件）

200 180 160 140 …

月销量

（件）

已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少？

18.某商场有A,B两种商品,若买2件A商品和1件B商品,共需80元；若买3件A商品和2件B商品,共需135元.

（1）设A,B两种商品每件售价分别为a元、b元,求a、b的值；

（2）B商品每件的成本是20元,根据市场调查：按（1）中求出的单价销售,该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元,B商品每天的销售量就减少5件.

①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是多少？

19.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.

（1）求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时,y有最大值？最大值是多少？

20.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上）,足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.

（1）足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系

x＝10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？

21.如图,正方形ABCD的边长为3a,两动点E,F分别从顶点B,C同时开始以相同速度沿边BC,CD运动,与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF,对应边EG＝

BC,B,E,C,G在一条直线上.

（1）若BE＝a,求DH的长；

（2）当E点在BC边上的什么位置时,△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.

21.4 二次函数的应用课时练习题参考答案

一、精心选一选

题号1 2 3 4 5 6 7 8 9

答

案

A A

D C C B B B

1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x cm.当x＝3时,y＝8,那么当成本为72元时,边长为（）

A.6cm

B.12cm

C.24cm

D.36cm

解答：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2,由题意,得

18＝9k,

解得：k＝2,

∴y＝2x2,

当y＝72时,72＝2x2,

∴x＝6．

故选：A．

A.5元

B.10元

C.15元

D.20元

解答：设应降价x元,

则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625,

∵﹣1＜0

∴当x＝5元时,二次函数有最大值．

∴为了获得最大利润,则应降价5元．

故选：A．

3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式

是h＝－5

t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间

为（）

A.3s

B.4s

C.5s

D.6s

解答：∵h＝﹣5

t2+20t+1,

∴h＝﹣5

(t﹣4)2+41,

∴当t＝4秒时,礼炮达到最高点爆炸．

故选：B．

4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线,建立如图所示的

平面直角坐标系,其函数关系式为y＝－1

x2,当水面离桥拱的高度DO

是4m时,这时水面宽度AB为（）A.－20m B.10m

C.20m

D.－10m

解答：根据题意B的纵坐标为﹣4,

把y＝﹣4代入y＝﹣1

x2,

得x＝±10,

∴A（﹣10,﹣4）,B（10,﹣4）,

∴AB＝20m．

即水面宽度AB为20m．

故选：C．

A.30万元

B.40万元

C.45万元

D.46万元

解答：设在甲地销售x辆,则在乙地销售（15﹣x）辆,根据题意得出：

W＝y

+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30,

∴最大利润为：

ac b

＝

4(1)308

4(1)

?-?-

＝46（万元）,

故选：D．

6﹒如图,假设篱笆（虚线部分）的长度为16m,则所围成

矩形ABCD 的最大面积是（）

A.60m 2

B.63m 2

C.64m 2

D.66m 2

解答：设BC ＝x m,则AB ＝(16﹣x )m,矩形ABCD 面积为y m 2, 根据题意得：y ＝(16﹣x )x ＝﹣x 2+16x ＝﹣(x ﹣8)2+64, 当x ＝8m 时,y 最大值＝64m 2,

则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故选：C ．

7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是（）

A.14元

B.15元

C.16元

D.18元解答：设每张床位提高x 个2元,每天收入为y 元．则有y ＝(10+2x )(100﹣10x ) ＝﹣20x 2+100x +1000．当x ＝﹣

＝2.5时,可使y 有最大值．又x 为整数,则x ＝2时,y ＝1120；

x ＝3时,y ＝1120；

则为使租出的床位少且租金高,每张床收费＝10+3×2＝16（元）．故选：C ．

8﹒某建筑物,从10m 高的窗口A ,用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线

状（抛物线所在的平面与墙面垂直）,如图所示,如果抛物线

的最高点M 离墙1m,离地面

m,则水流落地点B 离墙的距离

OB 是（）

A.2m

B.3m

C.4m

D.5m 解答：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+

403

, 把点A （0,10）代入a (x ﹣1)2+

,得a (0﹣1)2+ ＝10,

解得a＝﹣10

因此抛物线解析式为y＝﹣10

(x﹣1)2+

当y＝0时,解得x1＝3,x2＝﹣1（不合题意,舍去）；即OB＝3米．

故选：B．

9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－1

x2+

x+1的一部分,如图所示（单位：m）,

则下列说法不正确的是（）

A.出球点A离地面点O的距离是1m

B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m

C.此次羽毛球最高可达到25 16

D.当羽毛球横向飞出3

m时,可达到最高点

解答：A.当x＝0时,y＝1,

则出球点A离地面点O的距离是1m,故A正确；

B.当y＝0时,﹣1

x2+

x+1＝0,

解得：x1＝﹣1（舍去）,x2＝4≠3．故B错误；

C.∵y＝﹣1

x2+ x+1,∴y＝﹣

(x﹣

)2+

∴此次羽毛球最高可达到25

m,故C正确；

D.∵y＝﹣1

(x﹣

)2+

,∴当羽毛球横向飞出

m时,可达到最高点．故D正确．

∴只有B是错误的．

故选：B．

10.图2是图中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB

为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y＝

400

(x－80)2+16,桥拱与桥墩AC

的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴,若OA＝10米,则桥面离水面的高度AC为（）

A.169

米 B.

米 C.16

米 D.

米

图1 图2 解答：∵AC⊥x轴,OA＝10米,

∴点C的横坐标为﹣10,

当x＝﹣10时,y＝

400

(x－80)2+16＝

400

(－10－80)2+16＝﹣

∴C（﹣10,﹣17

）,

∴桥面离水面的高度AC为17

m．

故选：B．

二、细心填一填

11. 22； 12. 19.6； 13. 25；

14. 20； 15. 75；6．

11.某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为______元时,该服装店平均每天的销售利润最大.

解答：设定价为x元,

根据题意得：y＝(x﹣15)[8+2(25﹣x)]

＝﹣2x2+88x﹣870

∴y＝﹣2x2+88x﹣870,

＝﹣2(x﹣22)2+98

∵a＝﹣2＜0,

∴抛物线开口向下,

∴当x＝22时,y最大值＝98．故答案为：22．

解答：由题意得：t＝4时,h＝0, 因此16a+19.6×4＝0,

解得：a＝﹣4.9,

∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t,

足球距地面的最大高度是：

4( 4.9)019.6

4( 4.9)

?-?-

＝19.6（m）,

故答案为：19.6．

13.某种商品每件进价为20元,调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30,且x为整数）出售,可卖出（30－x）件.若使利润最大,每件的售价应为________元.解答：设最大利润为w元,

则w＝(x﹣20)(30﹣x)＝﹣(x﹣25)2+25,

∵20≤x≤30,

∴当x＝25时,二次函数有最大值25,

故答案是：25．

14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t －5t2,当遇到紧急情况时,司机急刹车,但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.

解答：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5(t﹣2)2+20,

当t＝2时,汽车停下来,滑行了20m．

故惯性汽车要滑行20米．故答案为：20.15.某农场拟建两间矩

形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长）,中间有一道墙隔开,并在如图

所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）

总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为________m2.

解答：设垂直于墙的材料长为x米,

则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x,

则总面积S＝x(30﹣3x)＝﹣3x2+30x＝﹣3(x﹣5)2+75,

故饲养室的最大面积为75平方米,

故答案为：75．

16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为4米时,拱

顶（拱桥洞的最高点）离水面2米,水面下降1米时,水面宽度为

________米.

解答：建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,

抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C 坐标为（0,2）,

通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2,其中a可通过代入A点坐标（﹣2,0）,

到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5,所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2,

当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,

可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2,

解得：x6,

所以水面宽度增加到6米,

故答案为：6．

三、解答题

17.九年级数学兴趣小组经市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价

（元/件）

100 110 120 130 …

月销量

（件）

200 180 160 140 …

已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少？

解答：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；

②设月销量W与x的关系式为w＝kx+b,

由题意得,

100200

110180

k b

,解得：

400

∴W＝﹣2x+400；

（2）由题意得,y＝(x﹣60)(﹣2x+400)

＝﹣2x2+520x﹣24000

＝﹣2(x﹣130)2+9800,

∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元．

18.某商场有A,B两种商品,若买2件A商品和1件B商品,共需80元；若买3件A商品和2件B商品,共需135元.

（1）设A,B两种商品每件售价分别为a元、b元,求a、b的值；

（2）B商品每件的成本是20元,根据市场调查：按（1）中求出的单价销售,该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元,B商品每天的销售量就减少5件.

①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是多少？

解答：（1）根据题意得：

280 32135

a b

解得：

；

（2）①由题意得：y＝(x﹣20)[100﹣5(x﹣30)]

∴y＝﹣5x2+350x﹣5000,

②∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5(x﹣35)2+1125,

∴当x＝35时,y最大＝1125,

∴销售单价为35元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是1125元．

19.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块

矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.

（1）求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时,y有最大值？最大值是多少？

解答：（1）∵三块矩形区域的面积相等,

∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍,

∴AE＝2BE,

设BE＝a,则AE＝2a,

∴8a+2x＝80,

∴a＝﹣1

x+10,2a＝﹣

x+20,

∴y＝(﹣1

x+20)x+(﹣

x+10)x＝﹣

x2+30x,

∵a＝﹣1

x+10＞0,

∴x＜40,

则y＝﹣3

x2+30x（0＜x＜40）；

（2）∵y＝﹣3

x2+30x＝﹣

(x﹣20)2+300（0＜x＜40）,且二次项系数为﹣

＜0,

∴当x＝20时,y有最大值,最大值为300平方米．

（1）足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？

解答：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0,0.5）（0.8,3.5）,

∴20.50.85

0.8 3.5

c a c =??+?+=?, 解得：2516

a c ?=-????=??,

∴抛物线的解析式为：y ＝﹣

2516t 2+5t +1

, ∴当t ＝8

时,y 最大＝4.5；

（2）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8, ∴当t ＝2.8时,y ＝－

2516×2.82+5×2.8+1

＝2.25＜2.44, ∴他能将球直接射入球门．

21.如图,正方形ABCD 的边长为3a ,两动点E ,F 分别从顶点B ,C 同时开始以相同速度沿边

BC ,CD 运动,与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ,对应边EG ＝BC ,B ,E ,C ,G 在一条直线上.

（1）若BE ＝a ,求DH 的长；

（2）当E 点在BC 边上的什么位置时,△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.

解答：（1）连接FH , ∵△EGH ≌△BCF , ∴HG ＝FC ,∠G ＝∠BCF , ∴HG ∥FC ,

∴四边开FCGH 是平行四边形, ∴FH ∥CG ,且FH ＝CG , 又∵EG ＝BC ,

∴EG －EC ＝BC －EC ,即CG ＝BE ,

∴FH＝BE,

∵FH∥CG,

∴∠DFH＝∠DCG＝90°,

由题意可知：CF＝BE＝a,

在Rt△DFH中,DF＝3a－a＝2a,FH＝a,

∴DH；

（2）设BE＝x,△DHE的面积为y,根据题意得：

y＝S

△CDE +S

梯形CDHG

－S

△EGH

＝

×3a(3a－x)+

(3a+x)x－

×3a×x,

∴y＝1

x2－

ax+

a2＝

(x－

a)2+

a2,

∴当x＝3

a,即E为BC的中点时,y取得最小值,即△DHE的面积取得最小值,最小值是

a2.