【七年级寒假班讲义】第4讲 实数复习(学生版)

1.实数的分类

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正整数自然数

整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法．

实数

实数的运算

数的开方 运算性质

分数指数幂 有理数指数幂 有理数 用数轴上的点表示实数

无理数

实数的分类

运算法则及运算性质

近似数及近似计算

实数的复习 知识结构

模块一 实数的分类与表示

知识精讲

- 2 - ★数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0；

4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数 即：ab =0；

6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数.有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________.

【例1】 填空：

这些数中：5

431610240.3313 1.532533253332

95

---。、、、、、、

有限小数有_________________________________________________； 无限小数有_________________________________________________； 有理数有________________________________________________； 无理数有_______________________________________________； 实数有_______________________________________________； 小数有______________________________________________． 【例2】 请你辨别：

如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形

图1

边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个． 【例3】 下列语句正确的是（

）

A ．3.78788788878888是无理数

B ．无理数分正无理数、零、负无理数

C ．无限小数不能化成分数

D ．无限不循环小数是无理数

【例4】 填空：

（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________； （2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；

（3）设实数a ≠0，则a 与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，

例题解析

三个数的积等于______．

【例5】 填空：

实数a ，b 在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a ___________0，a +b _______0， b a --________0，化简2a a b -+=________．

【例6】 比较下列各式的大小：

（1）3－2与－2

； （2）2与1.4．

【例7】 指出下列近似数分别精确到哪一位，并回答有几个有效数字?

（1）98.765；

（2）98.765万； （3）12.30亿； （4）21.230010?．

【例8】 当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地

球运行，已知第一宇宙速度的公式是v 1=gR (米/秒），第二宇宙速度的公式是v 2=2gR (米/秒)，其中g =9.8米/秒，R =6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度（结果保留两个有效数字）．

【例9】 a b c 、、三个数在数轴上的点如图所示，化简：a b a c c b ----+．

a 0 b

【例10】点A、B

在数轴上所对应的实数分别为

2

3

C也在数轴上，且CA为

AB的三分之一．求：B、C之间的距离?【例11】比较下列各式的大小：

（1

）

（2

（3

．

【例12】已知

a

，5的小数部分为b，求：

（1）a+b的值；（2）a b

-的值．

【例13】

当a=

．

- 4 -

【例14】 化简下列各式： （1）2535a -++； （2）34x x -+-．

1．平方根，2x a x a x ==若，则数叫做数的平方根记作_________； 2．立方根:若33x a x a x a ==，则数叫做数的立方根记作；

3．N 次方根: 实数a 的奇数方根有且只有一个，用n a 表示； ★实数a 的偶数方根有两个，为n a 、-n a ，其中a ＞0； 负数的偶次方根不存在； 零的n 次方根等于零，00n =；

4．n

m

n m

a a =(a ≥0)，

1

m

n

n

m

a

a

-

=(a ＞0)，其中m 、n 为正整数，n ＞1．

模块二：数的平方根、立方根及分数指数幂

知识精讲

- 6 -

【例15】 判断题：

（1）－0.01是0.1的平方根．（ ）

（2）－52的平方根为－5．（

）

（3）0和负数没有平方根．（ ）

（4）因为116的平方根是±14,所以116=±1

4

．（

） （5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数．（

）

【例16】 判断题：

（1）如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a ；（ ） （2）任何正数都有两个立方根，它们互为相反数；（ ）

（3）负数没有立方根；（

）

（4）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0．（

）

【例17】 若22(5)a =-，33(5)b =-，则a +b 的值为（

） A ．0

B ．±10

C ．0或10

D ．0或－10

【例18】 下列说法中，正确的是（ ）

A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数

C ．负数没有立方根

D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 【例19】 将下列式子化成分数指数幂的形式：

（1）1000；

（2）2

525(

)4

-； （3）23a b -；

（4）2

329[()]23

--； （5）3128-．

【例20】 （1）若21x +有意义，则x 范围是________；

（2）如果a ＜0，那么2a =________，(a -)2=________．

例题解析

【例21】 用“<”、“>”或“=”号填空：

（1）14 ____356；

（2）)3100 ____21； （3）－0.2 ____30.07-；

（4）－26 ____3128-．

【例22】 解答：

（1）31250x y x y +++--=，求x 和y 的值； （2）已知222100a b b ++-=，求a +b 的值．

【例23】 （1）已知2x +和x 分别是某整数的平方根，求这个整数；

（2）已知364a ++|b 3－27|=0，求(a －b )b 的立方根．

【例24】 解答：

（1） 已知：10404=102，x =0.102，求x 的值；

（2） 已知：318 2.621=，31.8 1.216=，30.180.565=，求318000000的值．

实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同一级运算应从左至右，按顺序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行.

模块三：混合运算

知识精讲

- 8 -

【例25】 计算：

（1）81832++； （2）271275-+； （3）1

23273

+-

．

【例26】 计算：

（1）2

12116

-+（）

； （2）

21

421642

36

-+； （3）

02483

(43)3

++-； （4）213(36)8++-+．

【例27】 计算：

（1）1

18|12|4-+-；

（2）231

3()|13|272

------+．

【例28】 计算：

（1）1

13

36927

1.5()27464

-?--?；

（2）311

24492

[()]()43

--?．

【例29】 计算：

（1）33369

36482736x x xy x y y ???； （2）32

111x x x x

---++（1x ≥）．

例题解析

【例30】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如2m n ±的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得 22()()a b m +=，a b n ?=，那么便有：

22()m n a b a b ±=±=±()a b > 例如：化简743+

解：首先把743+化为7212+，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312?= 即22(4)(3)7+=，4312?=

∴743+=7212+=2(43)23+=+ （1）由上述例题的方法化简：13242-； （2）化简：①1146-； ②59246+．

一、填空题： 【习题1】 判断正误：

（1）有理数包括整数、分数和零；（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数；（ ）

（3）不带根号的数都是有理数；（ ） （4）带根号的数都是无理数；（ ）

（5）无理数都是无限小数；（ ） （6） 无限小数都是无理数．（

）

【习题2】 m 是一个整数的平方数，那么和m 相邻且比它大的那个平方数是（

）

A ．m +2m +1

B ．m +1

C ．m 2+1

D ．以上都不对

【习题3】 下列各式中，无意义的是（

） A ．23-

B ．33(3)-

C ．2(3)-

D ．310-

随堂检测

【习题4】

|x－

）

A．±8B．8C．与x的值无关D．无法确定

【习题5】

15三个数的大小关系是（）

A．

B

C．

D

【习题6】（1

）若xy=

1

x y

-=-，则(1)(1)

x y

+-=______；

（2

与2

b+是互为相反数，则2

()

a b

-=______．

【习题7】计算：

（1）

）；（2

－

．

【习题8】一个正方体的体积是28360厘米3，试估算正方体的棱长(保留3个有效数字)；【习题9】计算：

（1

；（2

）210

(2)(1

-

--．

【习题10】（1）若x、y都是实数，且y

+8，求x+3y的立方根；

（2

- 10 -

【习题11】 解答：

（1）已知3x ，求329627x x x +++的平方根；

（2）已知221110a b -+-+=，求ab 的算术平方根．

【作业1】 写出下列数字精确到哪一位，有效数字有几个?分别是什么? 71.72310?

48.3110-?

20000 210.000

【作业2】 填空：

（1___________； （2_________ ；

（3___________；

（4） 64的4次方根是_____________；

（5）81的六次方根是____________； （6）50-的5次方根是_____________． 【作业3】 数轴中有3个点，其中点a 的算术平方根是3，点b 表示的是面积为10的正方形

的边长，点c 表示的是9.8的正平方根，将a 、b 、c 从小到大排列．

【作业4】 按要求写出下列数字：

（1）987654321 精确到百位； （2）0.0012345 保留四个有效数字． 【作业5】 将下列分数指数幂化成方根的形式： （1）152

2；

（2）2

31()2

-；

（3）2

2

33

1()22-；

（2）435

21(())2

．

【作业6】 计算：

（1）)

10

3

18+ （2）2

2

++．

- 12 - 【作业7】 a b ，

【作业8】 物体自由下落的高度h (米)和下落时间t (秒)的关系是：在地球上大约是h =4.9t 2,

在月球上大约是h =0.8t 2,当h =20米时，

（1）物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少？ （2）物体在哪里下落得快？

【作业9】

已知4a ，求(6)a a -的值．

【作业10】 （1

）已知2(20a a b c +-+，求abc 的平方；

（2

x = 求2500x -的立方根．

【作业11】 已知22a b c +=

，且a b ==，求2c 的平方根．

【作业12】 已知x y 、的绝对值相等，a b 、互为倒数，c 的绝对值等于2，4是z 的一个

立方根根，求22x y ab --+