圆锥曲线与方程单元测试卷答案

圆锥曲线与方程单元测试

卷答案

Newly compiled on November 23, 2020

《圆锥曲线与方程》单元测试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）

1.方程132-=y x 所表示的曲线是

（ ）

（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分

2.平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的

轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ）

（A ）甲是乙成立的充分不必要条件

（B ）甲是乙成立的必要不充分条件 （C ）甲是乙成立的充要条件 （D ）甲是乙成立的非充分非必要条件

3.椭圆14222=+a y x 与双曲线12

2

2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12

（D ）1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为

（ ） （A ）x 2=–28y （B ）y 2=28x （C ）y 2=–28x

（D ）x 2＝28y 5．已知椭圆19

252

2=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （A ）2

（B ） 4

（C ） 8 （D ） 23 （ ） 6.顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6，此点到焦点的距离等于10，则抛物线焦点到准线的距离等于 （ ）

（A ） 4 （B ）8 （C ）16 （D ）32

7.21F F 为双曲线2214

x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则21PF F ?的面积是

（A ） 2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 （ ）

8.过点P （4，4）与双曲线22

1169

x y -=只有一个公共点的直线有几条 （ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ）3 （D ）4

9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为3

2-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）1432

2=-y x （B ）13

422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 10.若椭圆22221x y a b

+=，A A '为长轴，B B '为短轴，F 为靠近A 点的焦点，若'B F AB ⊥，则此椭圆的离心率为 （ ）

（A ）

（B

（C ） 12

（D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。)

11.已知P 是椭圆x 225 + y 29 = 1 上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P 的横坐标是 。

12.2y kx =-交抛物线28y x =于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标是2,则AB = .

13.经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为 .

14.圆心在抛物线22(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是 .

三、解答题：（本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，或演算步骤）

15.求与双曲线22

193

x y -=

有共同的渐近线，并且经过点4)-的双曲线方程. (8') 解:由题意可设所求双曲线方程为：()22

093x y λλ-=≠

双曲线经过点4)-

∴2(4)53λ-==- ∴所求双曲线方程为：22

11545y x -=

16. 已知椭圆116

2522=+y x ,P 为该椭圆上一点. (01') (1)若P 到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；

(2)如果F 1为左焦点,F 2为右焦点,并且221=-PF PF ,求12tan F PF ∠的值.

解:(1)由方程知,a =5,b=4,则c=3,e =5

3. P 到左焦点的距离为3,则P 到左准线的距离为511==e

PF d , 又两准线间距离为35022

=c a ,∴P 到右准线的距离为3

355350=-. (2)由椭圆定义得10221==+a PF PF …①; 又221=-PF PF …②,

由①,②联立可解得2

9,21121==PF PF ;在21PF F ? 中,6221==c F F , ∴99

292cos 2122

1222121=-+=∠PF PF F F PF PF PF F , ∵21PF F ∠为锐角

,12sin F PF ∠,

∴12tan F PF ∠ 17.已知圆锥曲线1C 的一个焦点为F （1，0），对应这个焦点的准线方程为1x =-，又曲线

过(P ，AB 是过F 的此圆锥曲线的弦；圆锥曲线2C 中心在原点，其离心率3

3=e ，一条准线的方程是1y e

=.(21') （1）求圆锥曲线1C 和2C 的方程。

（2）当AB 不超过8，且此弦所在的直线与圆锥曲线2C 有公共点时，求直线AB 的倾斜角θ的取值范围。

解：⑴过P 作直线x=-1的垂线段PN.4,PN PF ==∴曲线1C 是以(1,0)F 为焦点，x=-1为准线的抛物线,且2p =.∴曲线21:4C y x =；

依题意知圆锥曲线2C

为椭圆，2c a a c =

=221,3

a c

b ===.又其焦点在y 轴上，∴圆锥曲线2C ：2

2312

x y += （2）设直线AB ：1()x my m R =+∈,1122(,),(,)A x y B x y .由抛物线定义得：122AB x x =++， 又由221312

x my x y =++=?????得22(32)610m y my +++=，其22480m =-≥时，122632m x x m +=-+。 依题意有222480602832

m m m -

≥<-+≤+?????

即3m ≥≤m -3

，则1()00AB AB AB k k k m =<≤≤< ∴直线AB 的倾斜角2(0,][,)33

ππθπ∈?。 18. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. (21')

（1）求这三条曲线的方程；

（2）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，

1222a MF MF =+=

+

(

222222

2

11321a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）

对于双曲线，1222a MF MF '=-=

22222

2

1

32

1a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴-= 双曲线方程为：………………………………（6分）

（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H

令()11113,,,22x y A x y +??∴ ???

C ………………………………………………（7分）