南京工业大学高等数学B 试卷(A)卷(闭)
南京工业大学 高等数学 B 试卷（A ）卷（闭）
学院 班级 学号 姓名
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）
1、方程132=-'-''y y y 的一个特解为
2、设yoz 平面上曲线122
22=-c
z b y 绕z 轴旋转所得到的旋转面方程为 .
3、设a x x a y D ≤≤-≤
≤0,0:22，由二重积分的几何意义知??=--D
dxdy y x a 222 .
4、已知向量c r 与(1,1,1)a =r ,(2,1,3)b =-r 都垂直，且向量a r ，
b r ，
c r 构成右手系则c r
= . 5、曲面04x 8z xy 3x :2
=--+-∑在)2,3,
1(-P 处的切平面的法向量是 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）
1、下列微分方程中（ ）可以被称为是关于y 的贝努里微分方程
（A ）xy
y x dx dy 2
3+= （B ）
22y )1x (dx
dy
+= （C ）x e xy dx
dy
=- （D ）22
2x
y x dx dy += 2、设有直线22z 11y 11x :L 1-=-=--及4
1
z 52y 33x :L 2+=+=-则21L ,L 的位置关系为（ ）.
（A ）异面 （B ）平行 （C ）垂直 （D ）相交
3、对二元函数)y ,x (f
z =在点)y ,x (P 000处的下列叙述中正确的是（ ） （A ） 若在0P 处的偏导数)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则)y ,x (f
在0P 处连续 （B ） 若)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则+=dx )
y ,x (f dz 00x dy )y ,x (f 00y （C ） 若)y ,x (f 在0P 处不连续，，则在0P 处的偏导数必不存在 （Ｄ）若)y ,x (f
在0P 处的两个偏导数连续，则)y ,x (f 在0P 处必可微分
4、若区域D 为)1,1(，)1,1(--，)1,1(-三点围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，
则
dxdy y x D
2??
＝（ ）
)(A dxdy y x 21
D 2?? )(B dxdy y x 41
D 2?? )(C ０ )(D dxdy y x 1
D 2??
5、下列关于数项级数的叙述中正确的是( ).
)(A 若∑∞=1
n n u 收敛，则∑∞=+1
n 100n u 收敛 )(B 若∑∞=1
n n u 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛
)(C 若1u u lim
n
1
n n <ρ=+∞→，则∑∞=1n n u 收敛 )(D 若)u u (1n 1n n ∑∞=++收敛，则∑∞
=1n n u 收敛 三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）
1、（７分）求微分方程
5)1x (1
x y
2dx dy +=+-的通解。
2、（７分）设)y 2x cos(xy z -+=求y
x z
2???。
3、（７分）求过点)1,3,
1(M 0-并且与直线4
z
2y 3x =-=垂直的平面方程．
4、（７分）计算??
D
dxdy y
y
sin ，其中D 是由直线x y =与x y =所围成的闭区域。
5、（９分）求出幂级数∑∞
=++-0
n 1
n n
1n x )1(的收敛域及其和函数
６、（9分）设函数)y ,x (z
z =由方程0)x
z
y ,y z x (F =++确定，求dz
7、(9分)求方程2
x
1y x 2y +'
=''的通解
四、应用题（8分）
试求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积．
五（本题7分）要求用两种不同的方法计算二重积分??+
D 2
22
dxdy y
x x
，其中2
2
2a
y
x
:
D≤
+
)
a
(>（注意如果用一种方法正确解出可得4分）
南京工业大学 高等数学B 试卷（A ）(参考答案)
2011--2012学年 第 二 学期 使用班级 浦江学院11级
一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
1、31
y -= 2、1c z b y b x 222222=-+ 3、36
1a π 4、)3,1,
4(-- 5、)1,3,3(- 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
1、(A)
2、(A )
3、(D)
4、(A )
5、(A)
三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书） 1、(本题7分)解：
解：因1x 2)x (P +-=?积分因子?dx )x (P e
=2
dx 1x 2
)1x (1e +=?+- 方程两边乘2)1x (1+得到，2
1
2
252)1x ()
1x (1)1x ()y )1x (1(+=++='+， 两边积分： dx )1x (y )1x (1
2
12
+=
+?
= C )1x (3
2
23
++
通解为： ]C )1x (3
2[)1x (y 23
2+++=，-----------------------7分
2、解：
)y 2x sin(y x
z
--=?? y x z 2???=
)x
z
(x ????=)y 2x cos(21-+-------------------- 7分 3、解：平面法向量)4,2,3(n -=。由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为
0)1z (4)3y (2)1x (3=++---
?07z 4y 2x 3=++------------------------------------7分
4、解：原式=?
?y
y 10
2
dx y
y
sin dy
= =?-10dy )y sin y y (sin =?10ydy sin -?10ydy sin y
=1sin 1-------------------------------------------------------------------7分
5、解：因
)
x (u )
x (u lim n 1b n +∞→ =x x 1
n 1x 2n 1lim 1n 2n n =++++∞→
所以，当1x <，即1x 1<<-时，幂级数绝对收敛
当1x -=时，级数为
∑
∞
=+-0
n 1n 1，此时发散；当1x =时，级数为∑∞
=+-0
n n
1n 1)1(，此时收敛，所以收敛域为]1,
1(---------------------------------------------------------------4分 设∑∞
=++-=0
n 1
n n
1n x )1()x (s 1x 1≤<-，
)1n x ()1()x (s 0n 1n n
'+-='∑∞
=+=x 11
x )1(0
n n n +=-∑∞= 1x 1<<-，
所以
??+=
'x
0x
dx x 11
dx )x (s 1x 1≤<-
?)x 1ln()0(s )x (s
+=- ?)x 1ln()x (s +=-------------------5分
6、解：设
=)z ,y ,x (G )x
z
y ,y z x (F ++
则 )x
z
(F F G 2
21x -
+=，221y F )y z (F G +-=，x 1F y 1F G 21z += 所以
z x G G x z -=??=21221F x 1F y 1F x z
F +-
-，z y G G y z -=??=21212F x
1F y 1F F y z ++--
dz =dx F x
1
F y 1F x z
F 2
122
1+-
-
dy F x 1F y 1F F y z 21212++----------------------------------9分 （若用其他方法解，自己掌握）
7、解：令p y ='，则 dx dp y =
''，方程化为 2
x
1xp
2dx dp += 分离变量并两边积分得到 12
C ln )x 1ln(p ln ++= ?)x 1(C y 2
1+='---------------------------------------------------5分
23
1C )x 3
1x (C y ++
= ---------------------------------------9分 四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为z ,y ,x 则表面积为yz 2xz 2xy 2++，体积为xyz V =
设乘数函数： )a yz 2xz 2xy 2(xyz )z ,y ,x (F 2
-++λ+= 则 由
?
????
?
?=++=+λ+==+λ+==+λ+=2
z y x a yz 2xz
2xy 20)y x (2xy F 0)z x (2xz F 0)z y (2yz F ?唯一驻点6
a z y x =
==
由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为6
a 时，可使体积最大
五、（本题7分）
解法一：利用极坐标计算：令θ=θ=sin r y ,cos r x ，则
??
+D
222dxdy y x x =??θθD
222rdrd r cos r =??θθπa 0
2
20rdr cos d =
?
π
θθ+20
a
02d r 2
122cos 1=2a 2π---------------------------4分
解法二：利用对称性：
??
+D
222dxdy y x x =??+D 2
22
dxdy y
x y ，因此，
??
+D
222dxdy y x x =21【??+D 222dxdy y x x +??+D 2
22
dxdy y
x y 】 =
2
1
??
++D
2
22
2dxdy y
x y x =2a 2π-------------------------------3分