高二下理科数学知识点整理(教师版)

高二理科数学

一、导数

1、导数定义：f （x ）在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；

2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度；

3、常见函数的导数公式:

①'

C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；

⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '

=

；⑧x

x 1)(ln '

= 。 ⑨211x x -='

??

?

??；⑩

()x x 21='

4、导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u v u v u v u uv v u v u '

-'=''+'=''±'='±

5、复合函数的导数：;

x u x u y y '?'=' 6、导数的应用：

（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数

（)(0x f k '=）；利用点斜式（)(00x x k y y -=-）求得切线方程。

注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？ （2）利用导数判断函数单调性：①)(0)(x f x f ?>'是增函数； ②)(0)(x f x f ?<'为减函数；③)(0)(x f x f ?≡'为常数； 反之，)(x f 是增函数?0)(≥'x f ，)(x f 是减函数?0)(≤'x f

（3）利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。

（4）利用导数最大值与最小值：

ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。 （5）求解实际优化问题：

①根据所求假设未知数x 和y ，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出x 的范围；②求导，令其为0，解得x 值，舍去不符合要求的值；

③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）； ④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论；

7、定积分

（1）定积分的定义：

)(lim )(1

i n

i b

a

n f n

a

b dx x f ξ∑

?

=∞

→-=（注意整体思想） （2）定积分的性质：①?

?=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()( （k 常数）

； ②???±=±b

a

b

a b a

dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；

③

??

?+=b

c

b

a

c a

dx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。

（分步累加） （3）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

?

-==b

a

b a a F b F x F dx x f )()(|)()(

（熟记'???

? ??+=+11n x x n n

（1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'???

? ??=a a a x

x ln ，()'=x x e e ） （4）定积分的应用： ①求曲边梯形的面积：dx x g x f S b

a ))()((?-=

（两曲线所围面积）

； 注意：若是单曲线)(x f y =与x 轴所围面积，位于x 轴下方的需在定积分式子前加“—”

②求变速直线运动的路程：?=b

a

dt t v S )(；

③求变力做功：?

=b

a

ds s F W )(。

二、复数 1．概念：

（1）z=a+bi ∈R ?b=0 （a ，b ∈R ）?z=z ? z 2≥0； （2）z=a+bi 是虚数?b ≠0（a ，b ∈R ）；

（3）z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0（a ，b ∈R ）?z ＋z ＝0（z ≠0）?z 2<0； （4）a+bi=c+di ?a=c 且c=d （a ，b ，c ，d ∈R ）；

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi ， z 2 = c + di （a ，b ，c ，d ∈R ），则： （1）z 1± z 2 = （a + b ） ± （c + d ）i ；（2） z 1.z 2 = （a+bi ）·（c+di ）＝（ac －bd ）+ （ad+bc ）i ；

（3）z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++ （z 2≠0） （分母实数化）；

3．几个重要的结论：

（1）i i 2)1(2±=±；

)2(;11;11i i i i i i -=+-=-+（3）i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1； （4）i 2

321±-

=ω 以3为周期，且1,,1320===ωωωω；21ωω++=0； （5）z

z z z z 111=?=?=。 4．复数的几何意义 （1）复平面、实轴、虚轴

（2）复数bi a z +=),(,Z b a OZ b a =??向量）（点 三、推理与证明 （一）．推理：

（1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

（2）演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般结论；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结 论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

（二）证明 ⒈直接证明 （1）综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

（2）分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明——反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

（三）数学归纳法

一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： （1）证明当n 取第一个值0n 是命题成立；

（2）假设当),(0*∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。 那么由（1）（2）就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、组合和二项式定理

（1）排列数公式:m n A =n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）=)!(!

m n n -（m ≤n ，m 、n ∈N*），当m=n 时为全排列n n A =n （n －1）（n －2）…3.2.1=n!，10=n A ；

（2）组合数公式：1

23)2()1()1()1(?????-?-?--???-?=

=

m m m m n n n A A C m m

m n m

n

（m ≤n ），10==n n n C C ；

（3）组合数性质：m n m n m n m n n m

n

C C C C C 11;+--=+=；

12122-?=+?++n n

n n n n nC C C ；

（4）二项式定理：

)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n

①通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T r

r n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别；

（5）二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等（m n n

m n C C -=）； ②若n 为偶数，中间一项（第2

n

＋1项）二项式系数（2n

n C ）最大；若n 为奇数，

中间两项（第21-n +1和2

1+n +1项）二项式系数（21-n n C ，21

+n n C ）最大；

③;2;213

120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

（6）求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用代入法（取1,0,1-=x ）。

五. 概率与统计

（1）随机变量的分布列：

（求解过程：直接假设随机变量，找其可能取值，求对应概率，列表） ①随机变量分布列的性质：10≤≤i p ，i=1，2，...； p 1+p 2+ (1)

期望：EX ＝x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n +… ；

方差：DX ＝???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ； 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++

=+；22)(EX EX DX -= ③两点分布（0期望：EX ＝p ；方差：DX ＝p （1－p ） ④超几何分布：

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

},,min{,,1,0,)(n M m m k

C C k X P n

k

n M

N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。 称分布列为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。 ⑤二项分布（n 次独立重复试验）：

若X ～B （n ，p ），则EX ＝np ， DX ＝np （1－ p ）；注：k n k k n p p C k X P --==)1()( 。

（2）条件概率：

)

()

()()()|(A P AB P A n AB n A B P ==

，称为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 注：①0≤P （B|A ）≤1；②P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）。 （3）独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）。 （4）正态总体的概率密度函数：,,21)(2

22)(R x e

x f x ∈=

--

σμσ

π式中σμ,（0>σ）

是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；

（5）正态曲线的性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值π

σ21

；④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑹?

=

≤

a

dx x f b X a P )()(，则),(~2σμN X

① 曲线的对称轴随μ的变化沿x 轴平移，μ变大，曲线右移；

②

曲线高矮由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”， 反之，曲线越“高瘦”；

（7）标准正态分布)1,0(~N X ，其中,,21)(22

R x e x f x ∈=-π

注：P )33(σμσμ+≤<-X =0.9974 （σ3原则）

（8）线性回归方程a x b y

???+=，其中∑∑====n

i i n i i y n y x n x 1

11,1，∑∑==--=n

i i

n

i i

i x n x

y

x n y

x b 1

2

2

1

?，

x b y a

??-=