八年级数学全等三角形(培优精选难题)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题集
1．如图1,已知在等边△ABC 中，BD=CE,ＡD 与ＢE 相交于P ，则∠ＡPE 的度数是 。
图1
图2
B
A
图
3
2．如图２，点E 在A Ｂ上，AC=ＡD,ＢC ＝BD ，图中有 对全等三角形。 3．如图3，OA=OB,OC ＝ＯＤ,∠O ＝60°，∠Ｃ=25°,则∠BED 等于 度。 ４．如图４所示的２×2方格中，连接ＡB 、A Ｃ，则∠1+∠２＝ 度。
图4
B
图5
A
B
D
图6
C
5.如图5,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论，推出一个正确的命题。( ) ①ＡE=AD;②AB ＝ＡＣ；③OB=ＯＣ;④∠B=∠C 。
６.如图6，在△ＡBC 中，∠BAC=90°,延长BA 到点Ｄ,使A Ｄ=
2
1
AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
(1)求证:D Ｆ＝BE ；
（２）过点A 作A Ｇ∥B Ｃ,交ＤF 于点G,求证:AG ＝DG 。
7．如图７,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠B ＡD ，ＡB>ＡD,下列结论正确的是( ) A ． AB-ＡD ＞CB-ＣＤ B. AB －AD=CB-ＣD
C. AB-AD D. AB －AD 与C Ｂ-C Ｄ的大小关系不确定 图7 B D 图8 C 8．I ｎ Fig. 8, L ｅt △A ＢC be ａn equ ｉl ａteral ｔria ｎgle, Ｄ a ｎd E be p ｏin ｔs on edges ＡB and AC ｒespe ｃt ｉｖely ， Ｆ b ｅ inte ｒs ｅc ｔｉon of ｓegments BE and C Ｄ， and ∠BFC ＝12０°， the ｎ ｔh ｅ m ａg ｎｉt ｕde r ｅl ａt ｉｏｎ b ｅtween AD ａnd CE ｉs （ ) A ． AD>C Ｅ B. AD<ＣＥ C. AD ＝ＣE D. ｉｎdefin ｉｔe （英汉小词典：equilate ｒa ｌ等边的；inte ｒsect ｉｏn 交点；i ｎｄｅfinit ｅ不确定的;ｍagn ｉｔｕde 大小，量） 9.如图9，在△ABC 中，A Ｃ=ＢC ＝５，∠A ＣB=80°,O 为△A ＢＣ中一点,∠OAB=10°，∠O ＢＡ=3０°，则线段AO 的长是 。 图9 A B 图10 B １0．如图10，已知BD 、ＣE 分别是△ＡB Ｃ的边A Ｃ和ＡB 上的高，点Ｐ在BD 的延长线上，ＢＰ＝ＡC ，点Q 在ＣＥ上，ＣQ=ＡB 。求证： (１）ＡP=AQ; （2）ＡＰ⊥ＡQ 。 1１．如图11，在△AB Ｃ中,∠C=６0°,AC ＞B Ｃ，又△AB Ｃ′、△B ＣＡ′、△ＣＡB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在ＡC 上,且BC=DC 。 a a c 丙?72? 50 乙 ? 50甲a ? 507250???58c a C B A (１）证明:△C ′BD ≌△B ′DC; （2）证明:△AC ′Ｄ≌△ＤB ′A; 12．如图１2，在△AB Ｃ中,D 、E 分别是AC 、B Ｃ上的点,若△AD Ｂ≌EDB ≌ED Ｃ，则∠C 的度数为 。 图12 C B １3．如图1３,已知△A ＢC 的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ＡBC 全等的图形是 。 1４．如图1４，在△AB Ｃ中，AD ⊥ＢＣ,CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E,AD 、CE 交于H 点,请你添加一个适当的条件： ,使△ＡＥH ≌△CE Ｂ。 图14 图15 图16 C 15.如图15，在△ＡBC 中,已知A Ｂ=ＡC,要使AD=AE ，需要添加的一个条件是 。 １6．有一腰长为5㎝,底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。 1７．如图16，△ABF 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、A Ｃ边翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=2８：５:３，则∠α的度数为 。 １８.如图17,已知C Ｅ⊥A Ｄ于Ｅ，ＢF ⊥ＡD 于F,你能说明△BDF 和△C ＤE 全等吗? 若能,请你说明理由;若不能，在不用增加辅助线的情况下,请添加其中一个适当的条件,这个条件是 ,来说明这两个三角 形全等,并写出证明过程。 图17B C 20.如图20，在△ＡＦＤ和△BEC 中,点A 、Ｅ、F 、Ｃ在同一直 线上，有下面四个论断：①ＡD=CB ；②A Ｅ＝ＣF;③∠B ＝∠D ； ④ＡD ∥BC 。请用其中有一个作为条件,余下的一个作为结论, 编一道数学问题，并写出解答过程。 ２1．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ＡBC Ｄ,其中AD ∥BC ，A Ｂ＝D Ｃ；又剪了一个等边△ EF Ｇ,同桌的小华拿过来拼成如图②的形状,她发 现ＡD 与F Ｇ恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形ABCD 与△EF Ｇ粘在一起,并沿EB 、E Ｃ剪下。小华得到的△E ＢC 是什么三角形?请你作出 判断并说明理由。 22.如图22,在△ABC 与△DEF 中,给出以下六个条件：①AB=DE;②ＢC ＝EF ；③AC ＝ＤF ；④∠A=∠D ；⑤∠B ＝∠Ｆ；⑥∠A ＝∠D,以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是( ) Ａ. ①⑤② B. ①②③ C. ④⑥① D ． ②③④ 23.如图23（１）,在△AB Ｃ中,D 、Ｅ分别是AB 、AC 的中点， 将△ＡD Ｅ沿线段DE 向下折叠，得到图23（2）,下列关于图２3（2）的四个结论中，不一定成立的是( ） A. 点A 落在B Ｃ边的中点 B. ∠B ＋∠1+∠C=1８０° Ｃ． △ＤＢA 是等腰三角 D. DE ∥BC 图20 A C 图21② ①F D (G )A (F ) 图22F E B C (1) B B A 2４.如图24,已知MB=ND,∠MBA ＝∠ＮＤC ，下列不能判定△ABM ≌△ＣDN 的条件是( ） A. ∠Ｍ=∠N B ． AB=CD C. AM=CN D. AM ∥CN ２5．如图25，在△AB Ｃ中，点Ｄ在AB 上,点E 在B Ｃ上,BD=ＢＥ。 (1）请你再添加一个条件,使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明,你添加的条件是： 。并给出证明。 (2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： (只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其 他字母，不必写出证明过程）。 ２ 6．如图26,在△ＡＢＣ中，∠ABC ＝4５°,AD ⊥BC 于D 点,Ｅ在A Ｄ上 ,且ＤE=C Ｄ，求证：B Ｅ＝A Ｃ。 2７.已知：如图２7，给出下列三个式子：① EC ＝BD ；②∠BDA=∠ＣEA;③AB=ＡC;请将其中的两个式子作为题设,一个式子作为结论，构成一个真命题(收发室形式:如果……，那么……）,并给出证明。 28.如图２8，在四边形AB ＣＤ中,对角线A Ｃ、BD 相交于点Ｏ,已知∠ADC ＝∠B ＣD ，ＡD=B Ｃ，求证:AO ＝BO 。 图25B C 图26B 图27图28D C 29．如图２9,在△A ＢC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直 线上，下面有四个条件，请你在其中选３个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题,并加以证明。 ①AB=DE;②AC ＝DF;③∠AB Ｃ=∠D ＥF;④BE=C Ｆ。 ３0．如图30,已知△AB Ｃ为等边三角形,D 、Ｅ、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形。 （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想 是正确的； （2）你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化想到得到?写出变化过程。 ３1.如图3１,点B 在AE 上,∠ＣAB ＝∠DAB,要使△ＡＢＣ≌△ＡBD,可补充的一个条件是： （写一个即可)。 图31 A E 32.如图３2，AC 交BD 于点Ｏ,请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题,并加以证明。 ①OA ＝ＯC;②OB=ＯD ；③ＡB ∥ＤC 。 图29F B 图30 B C 图 32 A ３3．如图33，要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量Ａ、B 两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。 （1)画出测量图案； (2）写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (３)设计AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。 ３4.如图3４,在△AB Ｃ中,D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E,DE ＝ FE,AE ＝CE ，A Ｂ与CF 有什么位置关系？证明你的结论。 35．如图35,OP 是∠ＡOC 和∠ＢO Ｄ的平分线，ＯA=OC ，OB ＝OD 。 求证:AB=CD 。 36.如图3６，已知AB=AC, （1）若CE=BD,求证:G Ｅ＝GD ； (2)若ＤＥ＝mBD （ｍ为正数）,试猜想GE 与G Ｄ有何关系。（只写结论，不证明） 图34D E B 图35 C D P A B 图36 G E C B D Q A G 37.复习“全等三角形”知识时,都是布置了一道作业题： “如图37(1)，已知在△ＡB Ｃ中,A Ｂ=A Ｃ,Ｐ是△ABC 内任意一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至ＡQ,使∠Q ＡP=∠BAC,连接BQ 、ＣP ，则BQ ＝CP 。” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图(2)的分析,证明了△ＡBQ ≌△ＡＣＰ，从而证得BQ=CP,之后,他将点P 移到等腰三角形A ＢC 之外，原题中其他条件不变，发现“BQ=ＣＰ”仍然成立,请你就图(2)给出证明。 ３８．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形，写出“已知”“求证”（如图38)，她们对各自所作的辅助线描述如下: 文文：“过点Ａ作BC 的中垂线A Ｄ，垂足为D ”; 彬彬：“作△A ＢC 的角平分线A Ｄ”。 数学老师看了两位同学的辅助线作法后说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正。” （1） 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里; （2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。 ３9．将两块全等的含30°角的三角尺如图３９（1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3。 图39 (4) (3) (2) (1) l l (1)将△ＥＣD 沿直线l 向左平移到图（2）的位置，使E 点落在 AB 上，则CC ′= ; （2)将△EC Ｄ绕点Ｃ逆时针旋转到图(３)的位置，使点E 落在A Ｂ上,则△ECD 绕点C 旋转的度数= ; （３）将△ＥC Ｄ沿直线翻折到图（4)的位置，ED ′与AB 相交于F ，求证:AF=ＦＤ′。 40.已知：点Ｏ至△AB Ｃ的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且O Ｂ=OC 。 (１)如图40(1)，若点O 在边BC 上,求证：ＡB ＝AC ； (2）如图(２），若点O 在△A ＢC 的内部，求证：ＡB ＝ＡＣ； （3)若点Ｏ在△ABC 的外部，ＡＢ＝ＡC 成立吗?请画图表示。 图40 (2) (1) B B 4１.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角相等 Ｂ. 两条边对应相等 C. 一条边与一个锐角对应相等 Ｄ. 斜边与一个锐角对应相等 4２.如图43,AD 是△ABC 的中线，E 、Ｆ分别在AB 、ＡC 上,且DE ⊥DF,则（ ） A. BE+ＣF>E Ｆ B. BE+CF=E Ｆ C. BE ＋CF D. B Ｅ＋CF 与E Ｆ的大小关系不确定 图43 B C 图44A 图45B ４3．如图４4，在△ABC 中，E 、D 分别是边ＡB 、ＡC 上的点，ＢＤ、ＣＥ交于Ｆ,AF 的延长线交ＢC 于Ｈ点,若∠1=∠２，ＡＥ＝AD,则图中的全等三角形共有( )对。 A. 3 B ． 5 C. 6 D. 7 44．如图４5,将△ＡB Ｃ绕着Ｃ点按顺时针方向旋转2０°，B 点落在B ′点位置，A 点落在A ′点位置，若A Ｃ⊥Ａ′B ′,则∠B ＡC ＝ 。 45.如图46,在矩形ABCD 中,AB ＝8,ＢC ＝4。将矩形ABCD 沿AC 折叠，则重叠部分△ＡF Ｃ的面积为 。 图46 图 47 A B 图 48B C ４6.如图47，设正△ＡBC 的边长为2,M 是AB 边上的中点，P 是B Ｃ边上的任意一点,PA+PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ,则s 2－t 2= 。 47.如图4８，D 为等边△ＡＢC 内一点,ＤB=ＤA,BF ＝AB,∠ＤＢF ＝∠ＤBC ，则∠BFD 的度数为 °。 ４8．如图4９，在△A ＢC 和△Ａ′B ′Ｃ′中， C Ｄ、C ′ D ′分别是∠ＡCB 、A ′C ′B ′的角平 分线，且CD=C ′Ｄ′,AB=Ａ′B ′,∠ＡDC=∠Ａ′Ｄ′C ′。你能判断△ＡB Ｃ与△Ａ′B ′C ′全等吗？如果能，请给出证明;如果不能，请说明理由。 ４９.如图5０,△ＡBC 是正三角形,△A １B 1Ｃ1的三条边A １B 1、B 1C 1、C 1A 1交△ABC 各边于C 2、C ３、A 2、A 3、Ｂ2、B 3,已知A ２ Ｃ3＝C 2B 3＝B 2A 3,且C 2C 32＋Ｂ２B ３2=A ２A ３2,请你证明：Ａ1B １⊥C １A 1。 图50 提示：如图过A 3作A ３M ∥Ｃ1A 1,过Ｂ3作B 3M ∥ＡB 。连结C 2Ｍ、Ａ２M 。 △ＭB 3C 2为正三角形。四边形MC 2Ｃ3 Ａ2是平行四边形 图49 B C C' B'图 50 B1 有MA 22＋A ３Ｍ2=A 2A 3２ A 3M ⊥A 2M A 1B １⊥Ｃ1A 1。 50.如图5１，点C 在线段AB 上,DA ⊥AB,EB ⊥AB,ＦC ⊥A Ｂ,且DA ＝BC,ＥＢ＝ＡC,FC ＝AB ，∠A ＦB ＝5１°,求∠DFE 的度数。 提示:连结ＡE 、ＢD △ABE ≌△FC Ａ △ABD ≌△CFB △AE Ｆ △ＢＤF 都等腰直角三角形。 51.如图5２,已知AB=CD ＝AE=B Ｃ+DE=2，∠AB Ｃ＝∠AED=９0°,求五边形ＡB ＣDE 的面积。 提示:旋转△AED 至△ABF 处。△ACF ≌△ACD ?图５2 52．如图５3，在Ｒt △ＡBC 中,∠AC Ｂ＝9０°，CD ⊥AB 于D,A Ｅ平分∠BAC,交CD 于Ｋ，交ＢC 于Ｅ,F 是BE 上的一点，且BF ＝CE 。求证：FK ∥ＡＢ。 提示：过E 作EG ⊥AB 于G 。 △ＣＫＦ≌△EGB ∠CFK=∠B 5３．已知△X ＹZ 是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z ＝90°）,它的3个项点分别在等腰Rt △A ＢC （∠C=90°)的三边上。求△ABC 直角边长的最大可能值。 解： 图53F E C A A F E A 注：其中ac b 42 -=?，为韦达定理：当0>?时，一元二次方程有两个实数根;当0=?时，一元二次方程有一个实数根；当0 (１）S △A ＯC ′＋Ｓ△BOA ′+S △CO Ｂ′<4 3 ; (２)Ｓ△AO Ｃ′、S △ＢO Ａ′、S △ＣO Ｂ′中至少有一个不大于 16 3。F B' B A C C' O 证明：(1)延长C ′Ｃ至D ，取C Ｄ＝C ′O,延长BB ′至E,取B ′E ＝ＢO 。 则△ODE 为正三角形 在ED 上取EF ＝OA ′,连接B ′Ｆ、ＣＦ。 则△EB ′F ≌△OBA ′,△C ＤF ≌△C ′O Ａ Ｓ△ＥO Ｄ= 4 3 ∴S △AO Ｃ′＋S △ＢOA ′+S △C ＯB ′＜ 4 3。 图54 B A' A C' （2)假设S △AOC >163、S △BOA ′>16 3 、S △ＣOB ＞ 16 3 。 记OA=a ,ＯB=b ,O Ｃ=c ，则根据余弦定理求面积公式,有： ()()()?? ?? ? ??? ? ? ?>? ->? ->? -16 3260sin 1163260sin 1163 260sin 1b c a b c a 整理后： ()()()?? ? ? ? ? ?? ? >->->-411411411b c a b c a 三式相乘 ()()()3 41111??? ??>---c b a abc 。 而()()4121102 =?? ?