七年级数学全册单元测试卷测试卷(含答案解析)
七年级数学全册单元测试卷测试卷（含答案解析）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．
（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H
∴
∵
∴
∴
∴
即
（3）解：过点G作交BE于点H
∴
∵
∴
∴
∴
即
故的关系仍成立
（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°
【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H
∴∠DEC=∠EGH
∵
∴
∴∠HGF+∠BFG=180°
∵∠HGF=∠EGF-∠EGH
∴∠HGF=∠EGF-∠DEC
∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°
∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°
【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，
，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到
，因为，所以，得到，
即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．
2．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图①所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．
当A、B两点都不在原点时：
⑴如图②所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|
⑵如图③所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣(﹣a)＝a﹣b＝|a﹣b|
⑶如图④所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在点O的右侧，则AB＝OB+OA＝|b|+|a|＝a+(﹣b)＝|a﹣b|
回答下列问题：
（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝________．
（2）数轴上表示2和﹣4的两点A和B之间的距离AB＝________．
（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝________，如果AB＝2，则x的值为________．
（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为________．
【答案】（1）
（2）6
（3）；0或－4
（4）5
【解析】【解答】(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离 (2)数轴上表示2和－4的两点A和B之间的距离 (3)数轴上表示和－2的两点A和B之间的距离如果，则的值为或由题意可知：当x在?2与3之间时，此时，代数式|x+2|+|x?3|取最小值，最小值为
故答案为：（1）；（2）6；（3），0或－4；（4）5.
【分析】（1）发现规律：在数轴上两点之间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值，故可求解；
（2）根据（1），即可直接求出结果；
（3）先根据（1）即可表示出AB；当AB=2时，得到方程，解出x的值即可；
（4）|x+2|+|x-3|表示数轴上一点到-2与3两点的距离的和，当这点是-2或5或在它们之间时和最小，最小距离是-2与3之间的距离。
3．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射出去，若b镜反射出的光线n平行于m，且∠1=30 ，则∠2=________，∠3=________；
（2）在（1）中，若∠1=70 ，则∠3=________；若∠1=a，则∠3=________；
（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3=________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由.
（提示：三角形的内角和等于180 ）
【答案】（1）60°；90°
（2）90°；90°
（3）90°
【解析】【解答】(1)
∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠2，
根据邻补角的定义可得
根据m∥n,所以
所以
根据三角形内角和为所以
故答案为：
( 2 )
由(1)可得∠3的度数都是
( 3 )
理由：因为
所以
又由题意知∠1=∠4，∠5=∠2，
所以
由同旁内角互补,两直线平行,可知：m∥n.
【分析】（1）由入射角等于反射角可得∠1=∠4，∠5=∠2；由邻补角的定义可求得∠6的度数；于是由两直线平行，同旁内角互补可得∠6+∠7=则∠7的度数可求解，由图知∠5+∠7+∠2=所以∠5和∠2的度数可求解；再根据三角形的内角和等于
可求得∠3的度数；
（2）由（1）可知∠3=；
（3）由（1）和（2）可得∠3=
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD 平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠5=∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE垂直平分AD
（2）解：△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，
∴∠ABD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAM=60°，
∵AD平分∠CAM，
∴∠4= ∠CAM=30°，
∴∠ADB=∠4+∠C=60°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，
∴△ABD是等边三角形；
∵在Rt△BGM中，∠BGM=60°=∠AGE，
在Rt△ACM中，∠CAM=60°，
∴∠AEG=∠AGE=∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
【解析】【分析】（1）根据余角的性质即可得到∠5=∠C；由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．（2）根据∠5=∠C=30°，AM⊥BC，可得∠ABD=60°，∠CAM=60°，进而得到∠ADB=∠4+∠C=60°，∠BAD=60°，依据∠ABD=∠BDA=∠BAD，可得△ABD是等边三角形；根据∠AEG=∠AGE=∠GAE，即可得到△AEG是等边三角形．
5．如图，已知∠AOB=α°，∠COD在∠AOB内部且∠COD=β°.
（1）①若α，β满足|α-2β|+(β-60)2=0，则①α=________；
②试通过计算说明∠AOD与∠COB有何特殊关系________；
（2）在(1)的条件下，如果作OE平分∠BOC，请求出∠AOC与∠DOE的数量关系；
（3）若α°，β°互补，作∠AOC，∠DOB的平分线OM，ON，试判断OM与ON的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）120°；解：∵∠AOB=α°=120°，∠COD=β°=60°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=120°-∠DOB，∠COB=∠COB+∠DOB=60°+∠DOB，∴∠AOD+∠COB=180°，即∠AOD与∠COB互补
（2）解：设∠AOC=θ，则∠BOC=120°-θ．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE= ∠BOC= (120°-θ)=60°- θ，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°-60°+ θ= θ= ∠AOC；
（3）解：OM⊥ON．理由如下：
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠DOB，
∴∠COM= ∠AOC，
∴∠DON= ∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON
= ∠AOC+ ∠BOD+∠COD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB-∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD)
= (α°+β°)
∵α°，β°互补，
∴α°+β°=180°，
∴∠MON=90°，
∴OM⊥ON
【解析】【解答】(1)①由题意得：α-2β=0，β=60°，解得：α=120°；
【分析】（1）①由绝对值和偶次方的非负性可得α-2β=0，β-60°=0，解方程可求得α和β的度数；
②由①可知α和β的度数分别为：β=60°，α=120°；即所以∠AOB+∠COD=α+β=180°；而由图中角的构成可得∠AOD=∠AOB-∠BOD；∠COB=∠COD+∠BOD，所以∠∠AOD+∠COB=∠AOB-∠BOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°；
（2）由角平分线的定义可得∠COE=∠BOE= ∠BOC，由图中角的构成可得∠DOE=∠COD-∠EOC，代入整理结合（1）中求得的度数即可得解；
（3）由角平分线的定义可得∠COM= ∠AOC，∠DON= ∠BOD，由图中角的构成和已知条件可求得∠MON=90°；由垂线的定义即可判断OM⊥ON。
6．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.
（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；
（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；
（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.
【答案】（1）75
（2）解：如图2，
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；
∵∠BEC=140°，
∴∠BE1C=70°；
（3）
【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
故答案为：75；
（ 3 ）如图2，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；
…
以此类推，∠E n= ∠BEC，
∴当∠BEC=α度时，∠BE n C等于 °.
故答案为： .
【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和
∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+
∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C= ∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠E n= ∠BEC，最后求得∠BE n C的度数.
7．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝36°.
（1）若OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，如图（a)所示，求∠AOE的度数：
（2）若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝60°，如图(b）所示，求∠AOE的度数：
（3）若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝(n≥2，且n为正整数)，如图(c)所示，请用n含的代数式表示∠AOE的度数________(直接写出结果).
【答案】（1）解：∵∠BOC＝36°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝72°，
∵∠DOE＝90°，则∠AOE＝90°?72°＝18°；
故答案为：18°
（2）解：设∠AOD＝x，
则∠DOC＝2x，
∠BOC＝180°?3x＝36°，
解得：x＝48°，
∴∠AOE＝60°－x＝60°?48°＝12°
（3） .
【解析】【解答】（3）设∠AOD＝x，则∠DOC＝（n?1）x，∠BOC＝180°－nx＝36°，
解得：x＝，
∴∠AOE＝－＝．
【分析】（1）利用角平分线的性质得出∠AOD＝∠DOC＝72°，进而得出∠AOE的度数；（2）设∠AOD＝x，则∠DOC＝2x，∠BOC＝180°?3x＝36°，得出x的值，进而得出∠AOE
的度数；（3）利用（2）中作法，得出x与α的关系，进而得出答案．
8．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．
（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；
（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；
（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．
【答案】（1）解：结论：∠ECD＝90°+∠ABE．
理由：如图1中，延长BE交DC的于H．
∵AB∥CH，
∴∠ABE＝∠H，
∵BE⊥CE，
∴∠CEH＝90°，
∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，
∴∠ECD＝90°+∠ABE．
（2）解：如图2中，作EM∥CD，
∵EM∥CD，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∵EF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴∠FEM＝90°，
∴∠CEF与∠CEM互余，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEM与∠CEM互余，
∴∠CEF＝∠BEM，
∴∠CEF＝∠ABE
（3）解：如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．
∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，
∴∠ABE＝∠CEF＝2α，
∵AB∥CD∥EM，
∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED＝∠FED＝2α+β，
∴∠DEC＝β，
∵∠BEC＝90°，
∴2α+2β＝90°，
∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，
∵∠ABK＝180°，
∴∠ABE+∠DBE+∠KBD＝180°，
即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，
∴6α+（2α+2β）＝180°，
∴α＝15°，
【解析】【分析】（1）延长BE交DC的延长线于H，由AB∥CH，两直线平行内错角相等，得∠ABE＝∠H，由BE⊥CE，结合外角的性质得∠ECD等于90°+∠H，于是等量代换求得∠ECD＝90°+∠ABE；
（2）作EM∥CD，由平行线的传导性，得AB∥CD∥EM，两直线平行内错角相等，得∠BEM＝∠ABE，由同旁内角互补，得∠F+∠FEM＝180°，则∠F＝90°，∠FEM也等于90°，根据同角的余角相等，∠CEF＝∠BEM，所以等量代换，得∠CEF＝∠ABE；（3）设∠GEF＝α，∠EDF＝β ,根据平行线的性质定理和角平分线的定义，结合已知条件把相关角全部用含α和β的代数式表示；由∠BEC=90°和∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°分别列两个关于α和β的二元一次方程，解出α和β，则可求出∠BEG的度数。
9．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥G H；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角
的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．
10．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？请直接写出结论：直线 ________（平分或不平分） .
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________.（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转，请探究：当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.
【答案】（1）平分
（2）或49
（3）解：不变，设，
，，
【解析】【解答】（1）直线平分；（2）或
【分析】（1）根据图形得到直线ON平分∠AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求出t的值；（3）根据题意得到∠AON=50°?y，∠AOM?∠NOC=x?y=40°.
11．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数.
【答案】（1）证明:∵DC∥FP，
∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，
∴DC∥AB
（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°，
∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP，
又∵∠AGF=80°，
∴∠AGF=∠GFP=80°，
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH= ∠GFE=55°，
∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；
（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出，，根据角的和差，由
算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。
12．已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．
（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？
（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？
【答案】（1）解：如图1，过C作CP∥EF．
∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．
∵EF∥MN，∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．
∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．
∵CP∥MN，∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．
∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°
（2）解：∠GHB为定值50°．理由如下：
∵∠CBN是△CBG的外角，∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．
∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．
∵∠DBN是△HGB的外角，∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN ﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°．
【解析】【分析】（1）过C作CP∥EF，进而得到EF∥MN∥CP，根据平行线的性质，求出∠DBN的度数，进而求出∠MBC、∠EAC的度数；（2）根据∠CBN是△CBG的外角，
得到∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．根据角平分线的定义得到∠HGB∠AGB，∠DBN
∠CBN．由三角形外角的性质得到∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB
（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG，即可得出结论．
13．如图，三角形ABC，直线，CD、BD分别平分和．
（1）图中，，，求的度数，说明理由．
（2）图中，，直接写出 ________．
（3）图中，， ________．
【答案】（1）解：
，
，
如图1过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理
（2）
（3）
【解析】【解答】
如图2过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，