人教历年中考数学易错题汇编-锐角三角函数练习题含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点

F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin

31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m.

【解析】

试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得

AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．

试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，

∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM= DF=，

∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．

考点：解直角三角形．

2．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O

于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

(1)求证：△PAC∽△PDF；

(2)若AB＝5，，求PD的长；

(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.

（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得

，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，

由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.

（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得

，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.

试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，

∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.

∵AB⊥CD，∴.

如图，连接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的长为.

（3）如图，连接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴与之间的函数关系式为.

考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2＝2CD?OE；

（3）若

314

cos,

53

BAD BE

∠==，求OE的长．

【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35

6

．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：

连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC?CD．

∴BC2=2CD?OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数

4．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，

AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

2

2

．动点P

在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线

A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：

①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ?cos∠CBF=5t?3

5

=3t．

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=1

2

PM?PE=

1

2

×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．

②当1＜t≤2时，如图2，

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．

S=1

2

PM?PE=

1

2

×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=16

7

．

当2＜t＜16

7

时，如图3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=1

2

PM?MQ=

1

2

×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

()

()

2

2

5t14t0

S{7t16t1

16

14t322

7

-+≤

=-+≤

??

-+ ?

??

．

（3）①当0＜t≤1时，

2

2

749

S5t14t5t

55

??

=-+=--+

?

??

，

∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7

5

，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．

∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．

②当1＜t≤2时，

2

2

864

S7t16t7t

77

??

=-+=--+

?

??

，

∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8

7

，

∴当t=8

7时，S有最大值，最大值为

64

7

．

③当2＜t＜16

7

时，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．

又∵当t=2时，S=4；当t=16

7

时，S=0，∴0＜S＜4．

综上所述，当t=8

7

时，S有最大值，最大值为

64

7

．

（4）t=20

9

或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

【解析】

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠

DAB=

2

，利用特殊三角函数值，得到

△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：

∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．

∵sin∠

，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．

设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

4k b0

{

b4

-+=

=

，解得：

k1

{

b4

=

=

．∴y=x+4．

∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；

③当2＜t＜16

7

时，如图3．

（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：

①如图4，点M在线段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，

由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=20

9

．

②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，

此时△QMN为等腰三角形，t=12

5

．

∴当t=20

9或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．

5．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且

将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结

（1）求证：

（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在，或

【解析】

（1）证明：∵四边形为正方形，∴

∵三角板是等腰直角三角形，∴

又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分

（2）存在.································· 4分

∵

∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，

又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分

∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和

此时，点分别在点和点，满足

·························· 7分

当切点在第二象限时，点在第一象限，

在直角三角形中，

∴∴

∴点的横坐标为： 点的纵坐标为：

∴点的坐标为

··························· 9分 当切点

在第一象限时，点

在第四象限，

同理可求：点

的坐标为

综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得

此时点的

坐标为

或

································ 11分

（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS 定理证明；

（2）由于△OEF 是等腰Rt △，若OE ∥CF ，那么CF 必与OF 垂直；在旋转过程中，E 、F 的轨迹是以O 为圆心，OE （或OF ）长为半径的圆，若CF ⊥OF ，那么CF 必为⊙O 的切线，且切点为F ；可过C 作⊙O 的切线，那么这两个切点都符合F 点的要求，因此对应的E 点也有两个；在Rt △OFC 中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E 点的坐标，由此得解．

6．如图，已知二次函数2

12

y x bx c =

++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ． （1）求这个二次函数解析式；

（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标；

（3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-

75，14

5）． 【解析】 【分析】

（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）利用S△ABC= 1

2

×AC×BH=

1

2

×BC×y A，求出

sinα=

22

2105

BH

AB

==，则tanα=

1

2

，在△PMD中，tanα=

MD

PM

=

1

2

22

x

=

+

，即可求解；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．

【详解】

（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：

9

633

2

1

2

b

b c

?

=-+

??

?

?=--+

??

，解得：

1

3

2

b

c

=-

?

?

?

=-

??

，

故：抛物线的表达式为：y=

1

2

x2-x-

3

2

，

令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-

3

2

，

故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；

（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，

设：∠DPC=∠BAC=α，

由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，

S△ABC=

1

2

×AC×BH=

1

2

×BC×y A，

解得：BH2

sinα=

BH

AB

22

210

=

5

，则tanα=

1

2

，

由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，

则MD=MC=x，

在△PMD中，tanα=

MD

PM22

x+

1

2

，

解得：x2CD2x=4，

故点P（7，0）；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），

过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，

直线AP表达式中的k值为：8

4

=-2，则直线A′N表达式中的k值为

1

2

，

设直线A′N的表达式为：y=1

2

x+b，

将点A′坐标代入上式并求解得：b=7

2

，

故直线A′N的表达式为：y=1

2

x+

7

2

…①，

当x=1时，y=4，

故点M（1，4），

同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，

联立①②两个方程并求解得：x=-7

5

，

故点N（-7

5

，

14

5

）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．

7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）

（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝

4

3

．理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．

（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，

ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：

则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，

∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，

EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．

（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：

由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，

结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴

EH FH FH

AB BE CH

==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝

84

63

FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43

． 【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．

8．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点

A 的坐标为（4，0），点D 在边A

B 上，且tan ∠AOD ＝

1

2

，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ． （1）求B ，D 两点的坐标；

（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；

（3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．

【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣

2，8﹣2）或（2，2）或42164216++??或16421642,77?-- ??

，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 1

2

得AD=

1

2

OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=1

2

OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=

1

2

EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；

（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得． 【详解】

解：（1）∵A （4，0）， ∴OA ＝4，

∵四边形OABC 为正方形， ∴AB ＝OA ＝4，∠OAB ＝90°， ∴B （4，4），

在Rt △OAD 中，∠OAD ＝90°， ∵tan ∠AOD ＝12

， ∴AD ＝

12OA ＝1

2

×4＝2， ∴D （4，2）；

（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°

∴tan∠GOF＝GF

OF ＝

1

2

，即GF＝

1

2

OF，

∵四边形OABC为正方形，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴OF＝EF，

∴GF＝1

2

EF，

∴G为EF的中点，

∵GH∥x轴交AE于H，

∴H为AE的中点，

∵B（4，4），D（4，2），

∴D为AB的中点，

∴DH是△ABE的中位线，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G与对角线OB相切，

如图2，当点E在线段OB上时，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，

∴GH＝1

2AF＝

1

2

×（4﹣22x）＝2﹣2x，

则x＝2﹣2x，

解得：x＝22﹣2，

∴E（8﹣42，8﹣42），

如图3，当点E在线段OB的延长线上时，

x＝2x﹣2，

解得：x＝2+2，

∴E（8+42，8+42）；

②若⊙G与对角线AC相切，

如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，

EG＝FG2，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，

∴GH为△AFE的中位线，

∴GH ＝

12AF ＝1

2

×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴422

7

x +=

， ∴42164216,77E ??++ ? ???

； 如图5，当点E 在线段OM 上时，

GQ ＝PM ＝22﹣3x ，则22﹣3x ＝2﹣2x ， 解得422

7

x -=

， ∴16421642,77E ??

-- ? ???

； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，

3x ﹣22x ﹣2， 解得：422

7

x =

（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或

42164216,??++ ? ???或16421642,??

-- ? ???

． 【点睛】

本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．

9．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线表达式；

（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作?CBPQ ，若点P 在直线BC 下方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且?CBPQ 的面积为30， ①求点P 坐标;

②过此二点的直线交y 轴于F, 此直线上一动点G,当GB+

2

GF 2

最小时,求点G 坐标. （3）如图2，⊙O1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值

【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313【解析】 【分析】

（1）把点A （1，-1），B （5，-1）代入抛物线y=ax 2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；

（2）①如图，连接PC ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于R ，可求得直线BC 的解析式为：y=-x+4，设点P （t ，t 2-6t+4），R （t ，-t+4），因为?CBPQ 的面积为30，所以S △PBC =

12

×(?t+4?t 2+6t?4)×5＝15，解得t 的值，即可得出点P 的坐标；②当点P 为（2，-4）时，求得直线QP 的解析式为：y=-x-2，得F （0，-2），∠GOR=45°，因为2 GF=GB+GR ，所以当G 于F 重合时，GB+GR 最小，即可得出点G 的坐标；当点P 为（3，-5）时，同理可求；

（3）先用面积法求出sin ∠ACB=

13

13

，tan ∠ACB=23，在Rt △ABE 中，求得圆的直径，

因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=

MB

BN ＝

2

3

，所以BN=

3

2

MB，当MB为

直径时，BN的长度最大．

【详解】

(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），

∴

14

12554

a b

a b

-++

?

?

-++

?

＝

，

＝

解得

1

6

a

b

?

?

-

?

＝

，

＝

∴抛物线表达式为y=x2﹣6x+4．

(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵B（5，-1），C（0，4），

∴

15

4

k m

m

-+

?

?

?

＝

＝

，解得

1

4

k

m

＝

，

＝

-

?

?

?

∴直线BC的解析式为：y=-x+4，

设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），

∵?CBPQ的面积为30，

∴S△PBC=1

2

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，

解得t=2或t=3，

当t=2时，y=-4

当t=3时，y=-5，

∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；

②当点P为（2，-4）时，

∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，

设直线QP的解析式为：y=-x+n，

将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，

∴直线QP的解析式为：y=-x-2，

∴F（0，-2），∠GOR=45°，

∴GB+2

2

GF=GB+GR

当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），