人教版高中数学-必修三学案 3.2.1古典概型(1)
.§3.2 古典概型
3.2.1 古典概型(一)
【明目标、知重点】
1．了解基本事件的特点；
2．理解古典概型的概念及特点；
3．会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
【填要点、记疑点】
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型的概念
如果某概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等；
那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
. 【探要点、究所然】
[情境导学] 香港著名电影演员周润发在影片《赌神》中演技高超，他扮演的赌神在一次聚
赌中，曾连续十次抛掷骰子都出现6点，那么如果是你随机地来抛掷骰子，连续3次、4次、…、10次都是6点的概率有多大？本节我们就来探究这个问题．
探究点一 基本事件
思考1 抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有
哪几种可能结果？
答 (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；(正，正，正)，(正，正，反), (正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).
思考2 上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试
验中，任何两个基本事件是什么关系？
答 由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系．
思考3在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？
答(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)；(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
例1从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
解所求的基本事件有6个，A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};
“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.
反思与感悟基本事件有如下两个特点：
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
跟踪训练1做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”．
解(1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，
(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．
探究点二古典概型
思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能性相等吗？
答基本事件有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．
思考2抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
答这个试验的基本事件有6个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．
思考3上述试验的共同特点是什么？
答(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2) 每个基本事件出现的可能性相等．
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
例2某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.
反思与感悟判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．跟踪训练2从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
解不是，因为有无数个基本事件.
探究点三古典概型概率公式
问题在古典概型下，每一基本事件的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？
思考1在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？
答出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．
由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，
因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝1
2
，
即P(出现正面朝上)＝1
2
＝“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数
基本事件的总数.
思考2在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？
答出现各个点的概率相等，即P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)，反复利用概率的加法公式，我们有P(“1点”)＋P(“2
点”)＋P (“3点”)＋P (“4点”)＋P (“5点”)＋P (“6点”)＝P (必然事件)＝1.
所以P (“1点”)＝P (“2点”)＝P (“3点”)＝P (“4点”)＝P (“5点”)＝P (“6点”)＝16
. 进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，
P (“出现偶数点”)＝P (“2点”)＋P (“4点”)＋P (“6点”)＝16＋16＋16＝12
. 即P (“出现偶数点”)＝“出现偶数点”所包含基本事件的个数”/基本事件的总数； P (“出现不小于2点”)＝“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数”/基本事件的总数．
P (A )＝事件A 所包含的基本事件的个数/基本事件的总数.
思考3 从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n 个基本事件组成全集
U ，事件A 包含的m 个基本事件组成子集A ，那么事件A 发生的概率P (A )等于什么？特别地，当A ＝U ，A ＝?时，P (A )等于什么？
答 P (A )＝m n
；当A ＝U 时，P (A )＝1；当A ＝?时，P (A )＝0. 例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确
答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？
解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A ，B ，C ，D 哪一个选项都有可能，因 此基本事件总数为4，设答对为随机事件A ，由于正确答案是唯一的，所以事件A
只包含一个基本事件，所以P (A )＝14
. 反思与感悟 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．
跟踪训练3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱
中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
解 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况， 1听不合格和2听都不合格.1听不合格：A 1＝{第一次抽出不合格产品}，A 2＝{第二次抽出不合格产品}
2听都不合格：A 12＝{两次抽出不合格产品} .而A 1、A 2、A 12是互斥事件，用A 表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”，则A ＝A 1∪A 2∪A 12，从而P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)，因为A 1中的基本事件的个数为8，A 2中的基本事件的个数为8，A 12中的基本事件的个
数为2，全部基本事件的总数为30，所以P (A )＝830＋830＋230
＝0.6. 【当堂测、查疑缺】
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，
则基本事件共有
( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案 C
解析 该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}、{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．
2．下列不是古典概型的是 ( ) A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C ．近三天中有一天降雨的概率
D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案 C
解析 A 、B 、D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C 不适合等可能性，故不为古典概型．
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A.16
B.12
C.13
D.23
答案 C
解析 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站
在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P ＝26＝13
. 4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是________．
答案 13
解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其
中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为13
. 5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．
解 (1)记甲被选中为事件A ，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6
个，事件A 包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P (A )＝36＝12
. (2)记丁被选中为事件B ，由(1)同理可得P (B )＝12
，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为B ，
则P (B )＝1－P (B )＝1－12＝12
. 【呈重点、现规律】
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中
经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在
应用公式P (A )＝m n
时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n . 2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法
(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．