《杨辉三角》导学案1

《杨辉三角》导学案1

课前预习学案

一、预习目标

借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。

二、预习内容

1、二项式定理：________________________________________________；

二项式系数：______________________________________________；

2、( 1+x) n=________________________________________________；

练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

课内探究学案

一、学习目标

①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；

②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；二、学习重难点：

学习重点：二项式系数的性质及其应用；

学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、学习过程

（一）、杨辉三角的来历及规律

问题1：根据( a+b)

n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现

什么规律？

问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n}

问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

（二）二项式系数的重要性质

1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即m n C =m n n C -

分析：

2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。

提示：（1）讨论k n C 与1-k n

C 的大小关系。 （2）讨论k

k n )1(+-与1的大小关系。

3、各项二项式系数的和：( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n 分析：赋值法的应用。

四、典型例题（性质4）

试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

分析：奇数项的二项式系数的和为0n C +2n C +4n C +…，

偶数项的二项式系数的和为1n C +3n C +5

n C +…，

由于(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+n n C b n 中的a,b 可以取任意实数，因

此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和。

五、当堂检测

1、已知515C =a ，915C =b ，那么1016C =__________；

2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；

3、111C +311C +…+11

11C =________；

4、=+++++++++++++11211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C __________；

5、证明：0n C +2n C +4n C +…+

n n C =2n-1 (n 是偶数) ；