北师版三角形的证明(全章节复习题)

等腰三角形（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；

2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．

3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC 为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两

弧

相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形；

(2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边

上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为

钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180

2

A

?-∠

.

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质

等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3. 含有30°角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关角度的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )．A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm

类型三、等腰三角形的性质及其运用

4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．

求证：∠ACB＞∠ABC

举一反三：

【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．

求证：DB=DE．

5、已知：如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形．

举一反三

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，点D、E在BC上，试说明

△ADE是等腰三角形．

类型三、含有30°角的直角三角形

6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.

举一反三：

【变式】如图，等边三角形ABC一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数．

类型四、反证法

7. 求证：在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°。

举一反三：

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞1，则a ＞1”是假命题的反例是（ ）

A . a= —2

B . a= —1

C . a=1 D. a=2

【巩固练习】

一.选择题

1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )

A ．16

B ．17

C ．16或17

D ．10或12 2. 用反证法证明命题：如果AB ⊥CD ，AB ⊥EF ，那么CD ∥EF ，证明的第一个步骤是（ ）

A. 假设CD ∥EF ;

B. 假设AB ∥EF

C. 假设CD 和EF 不平行

D. 假设AB 和EF 不平行

3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一

条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4. 已知实数x ，y 满足|x ?4|+(y ?8)2＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是

（ ）

A ．20或16

B ．20

C ．16

D ．以上答案均不对

5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ?沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，

若50B ∠=?，则BDF ∠度数是（ ）

A ．60° B．70° C．80° D．不确定

6. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=

（ ）

A ．31°

B ．46.5°

C ．56°

D ．62°

二.填空题

7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．

8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．

9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.

10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .

11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是_________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为

24，那么AD的长为 .

三.解答题

13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．

15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．

角的平分线的性质（基础）