苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷中考真题汇编[解析版]

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷中考真题汇编[解析版]

一、压轴题

1．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．

（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______； （2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；

（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，

9n =，如图2②，③；…… ①用n 表示t 的內数；

②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）

2．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．

（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．

（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ?和等腰直角ABE ?，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求

出其值；若不是，说明理由．

3．如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD．

（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

4．阅读下列材料，并按要求解答．

（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．

（模型应用）

应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求线段BD的长．

应用2：如图③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方．

（1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；

（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析

式．

5．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．

（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC

（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）

6．如图，A ，B 是直线y =x +4与坐标轴的交点，直线y =-2x +b 过点B ，与x 轴交于点C ．

（1）求A ，B ，C 三点的坐标； （2）点D 是折线A —B —C 上一动点．

①当点D 是AB 的中点时，在x 轴上找一点E ，使ED +EB 的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E 点的坐标．

②是否存在点D ，使△ACD 为直角三角形，若存在，直接写出D 点的坐标；若不存在，请说明理由

7．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

8．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．

（1）求OAB ∠的度数；

（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=?，求点D 的坐标．

9．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=?，点D 是AB 的中点，连结CD ．

（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；

（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段

DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并

直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．

10．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；

（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．

11．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．

（1）求证：AE＝BD；

（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；

（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：22，CD＝36

+，求线段AB 的长．

12．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．

（1）求证：∠ACN=∠AMC；

（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：1

2

S AC

S AB

=；

（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）2，7，4；（2）8

3

x ≥

；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±． 【解析】 【分析】

（1）根据内数的定义即可求解；

（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；

（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，

9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数

为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解． 【详解】

解：（1）22311=?+，所以1的内数是2； 232017?+>，所以20的内数是7； 23614?+>，所以6的内数是4；

（2）∵3是x 的內数， ∴2331x ≤+， 解得83

x ≥

； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =； 当4t =时，即t 的内数为3时，9n =， 当5t =时，即t 的内数为4时，16n =， ……

∴t 的内数=

②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个； 当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个， 当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个， ……

即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；

∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个， 由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1， ∴此时最大实心正方形的边长为8，

离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±． 【点睛】

本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．

2．（1）5y x =+；（2）3）PB 的长为定值

52

【解析】 【分析】

（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；

（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ???，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ???，求BG 再证

BFP GEP ???，可确定BP 的定值即可．

【详解】

（1）对于直线:5L y mx m =+． 当0y =时，5x =-． 当0x =时，5y m =．

()5,0A ∴-，()0,5B m ．

OA OB =．

55m ∴=． 解得1m =．

∴直线L 的解析式为5y x =+．

（2）5OA =

，AM =

∴由勾股定理，

OM ==．

180AOM AOB BON ∠+∠+∠=?． 90AOB ∠=?．

90AOM BON ∴∠+∠=?． 90AOM OAM ∠+∠=?． BON OAM ∴∠=∠． 在AMO ?与OBN ?中， 90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠??

∠=∠=???=?

． ()AMO OBN AAS ∴???．

BN OM ∴==．．

（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．

AEB ?为等腰直角三角形，

AB EB ∴=

90ABO EBG ∠+∠=?． EG BG ⊥，

90GEB EBG ∴∠+∠=?． ABO GEB ∴∠=∠． AOB EBG ∴???．

5BG AO ∴==，OB EG =

OBF ?为等腰直角三角形，

OB BF ∴=

BF EG ∴=．

BFP GEP ∴???．

15

22

BP GP BG ∴===．

【点睛】

本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ???，构造 AOB EBG ???，求BG ，再证

BFP GEP ???．

3．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为

12

5

cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇． 【解析】 【分析】

（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；

②由全等三角形的性质可得BP=PC=1

2

BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解． 【详解】

解：（1）①△BPD 与△CQP 全等， 理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ， ∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ，

∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ， ∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ， 在△BPD 和△CQP 中，

BD CP B C BP CQ =??

∠=∠??=?

， ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），

②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∴BP ≠CQ ，

∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ， ∴BP =PC =1

2

BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =

52

， ∴点Q 的运动速度=612552

=

cm /s ，

∴当点Q 的运动速度为

12

5

cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，

由题意可得：

12

5

x ﹣2x =36， 解得：x =90，

点P 沿△ABC 跑一圈需要181810

232

++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），

∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．

4．模型建立：见解析；应用1：

2：（1）Q (1，3)，交点坐标为(5

2

，0)；（2）y ＝﹣x+4 【解析】 【分析】

根据AAS 证明△BEC ≌△CDA ，即可；

应用1：连接AC ，过点B 作BH ⊥DC ，交DC 的延长线于点H ，易证△ADC ≌△CHB ，结合勾股定理，即可求解；

应用2：（1）过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QK ⊥y 轴于点K ，直线KQ 和直线NP

相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出

Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．

【详解】

如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

∵AC＝BC，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，

∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，

∴AC＝10，

∵BC＝10，AB2＝200，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠CBH，

∵AC＝BC＝10，

∴△ADC≌△CHB（AAS），

∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，

∴DH=6+8=14，

∵BH⊥DC，

∴BD＝

应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，

由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），

设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，

又∵OK＝y，

∴6﹣y＝y，y＝3，

∴Q(1，3)，

∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，

∴点M是OP的中点，

∵P(4，2)，

∴M(2，1)，

设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，

把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：

21

3

k b

k b

+=

?

?

+=

?

，解得：

2

5

k

b

=-

?

?

=

?

∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，

∴该直线l与x轴的交点坐标为(5

2

，0)；

（2）∵△OKQ≌△QHP，

∴QK＝PH，OK＝HQ，

设Q(x，y)，

∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，

∴x+y＝KQ+HQ＝4，

∴y＝﹣x+4，

∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4，

故答案为：y＝﹣x+4．

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．

5．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3AD+BD

【解析】

【分析】

（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；

（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；

（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3

，由AD＝AE，

AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】

证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）CD2AD+BD，

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

∴BD＝CE，

∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，

∵CD＝DE+CE，

∴CD＝2AD+BD；

（3）作AH⊥CD于H．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，

∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，

∴AH＝1

2 AD，

∴DH22

AD AH

-3

，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，

故答案为：CD3+BD．

【点睛】

本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.

6．（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E的位置见解析，E（

4

3

-，0）；②D点

的坐标为（-1，3）或（4

5

，

12

5

）

【解析】

【分析】

（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A、B的坐标；然后把B点坐标代入

y=?2x＋b求出b的值，确定此函数解析式，然后再求C点坐标；

（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E的位置，由待定系数法确定直线DB1的解析式

为y=?3x?4，易得点E 的坐标；

②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（?1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为

122y x =

+，与y=?2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45

，12

5）．

【详解】 （1）在y=x +4中， 令x =0，得y=4， 令y =0，得x=-4， ∴A(-4，0) ，B(0，4)

把B(0，4)代入y=-2x+b ，得b =4， ∴直线BC 为：y=-2x+4 在y=-2x +4中， 令y =0，得x=2， ∴C 点的坐标为(2，0)； （2）①如图

∵点D 是AB 的中点 ∴D （-2，2）

点B 关于x 轴的对称点B 1的坐标为（0，-4）， 设直线DB 1的解析式为y kx b =+， 把D （-2，2），B 1（0，-4）代入，得22

4

k b b -+=??=-?，

解得k=-3，b=-4， ∴该直线为：y=-3x-4， 令y=0，得x=43

-

， ∴E 点的坐标为（4

3

-

，0）． ②存在，D 点的坐标为（-1，3）或（45

，12

5）． 当点D 在AB 上时，

∵OA=OB=4，

∴∠BAC=45°，

∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，

∴点D的横坐标为

42

1

2

，

当x=-1时，y=x+4=3，

∴D点的坐标为（-1，3）；

当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．

∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，

∴∠FAO=∠CBO，

又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，

∴△AOF≌△BOC（ASA）

∴OF=OC=2，

∴点F的坐标为（0，2），

设直线AD的解析式为y mx n

=+，

将A（-4，0）与F（0，2）代入得

40

2

m n

n

-+=

?

?

=

?

，

解得

1

,2

2

m n

==，

∴

1

2

2

y x

=+，

联立

1

2

2

24

y x

y x

?

=+

?

?

?=-+

?

，解得：

4

5

12

5

x

y

?

=

??

?

?=

??

，

∴D的坐标为（

4

5

，

12

5

）．

综上所述：D点的坐标为（-1，3）或（

4

5

，

12

5

）

【点睛】

本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．

7．（1）90°；（2）证明见解析；（3

）变化，24l +≤<． 【解析】 【分析】

（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；

（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；

（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围． 【详解】

解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD=DE

∴∠DAE=∠DEA=30°，

∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°， 故答案为：90°； （2）∵AD=DE=DF ，

∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ， ∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°， ∴∠DEA+∠DFA=60°， ∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°， ∴∠EDB=∠DFA ，

∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°， ∴∠CDF=∠DEA ， 在△BDE 和△CFD 中

∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△BDE ≌△CFD （ASA ） （3）∵△BDE ≌△CFD ， ∴BE=CD ，

∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ， 当D 点在C 或B 点时， AD=AC=AB=2,

此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4； 当D 点在BC 的中点时， ∵AB=AC ， ∴BD=

1

12

BC =

，AD ==

此时22l AD =+=

综上可知24l +≤<． 【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．

8．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）

D(8-，0)． 【解析】 【分析】

（1

）根据A

，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；

（3）证明△POB ≌△DPA ，得到

PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标． 【详解】

（1

）A

，(0,B ， ∴

OA=OB= ∵∠AOB=90°，

∴△AOB 为等腰直角三角形， ∴∠OAB=45°；

（2）PE 的值不变，理由如下：

∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点， ∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ， ∵PO=PD ， ∴∠POD=∠PDO ， ∵D 是线段OA 上一点， ∴点P 在线段BC 上，

∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ， ∴∠POC=∠DPE ， 在△POC 和△DPE 中，

90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△POC ?△DPE(AAS)， ∴OC=PE ，

∵OC=

12AB=1

2

×

×=4， ∴PE=4；

（3）∵OP=PD ，

∴∠POD=∠PDO=(180°?45°)÷2=67.5°，

∴∠APD=∠PDO?∠A=22.5°，∠BOP=90°?∠POD=22.5°， ∴∠APD=∠BOP ， 在△POB 和△DPA 中，

OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△POB ≌△DPA(AAS)， ∴

PA=OB=DA=PB ， ∴

DA=PB=

-

，

∴

OD=OA?DA=

8-， ∴点D 的坐标为

(8，0)． 【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．

9．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）

BF BP BD +=． 【解析】 【分析】

（1）利用含30的直角三角形的性质得出1

2

BC AB =

，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ?是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ???，得出CP BF =即可解答； （3）同（2）的方法得出结论． 【详解】

解：（1）

90ACB ∠=?，30A ∠=?，

60CBA ∴∠=?，1

2

BC AB =，

点D 是AB 的中点， BC BD ∴=，

故答案为：BC BD =； （2）BF BP BD +=，

理由：90ACB ∠=?，30A ∠=?，

60

CBA

∴∠=?，

1

2

BC AB

=，

点D是AB的中点，

BC BD

∴=，

DBC

∴?是等边三角形，

60

CDB

∴∠=?，DC DB

=，

线段DP绕点D逆时针旋转60?，得到线段DF，60

PDF

∴∠=?，DP DF

=，

CDB PDB PDF PDB

∴∠-∠=∠-∠，

CDP BDF

∴∠=∠，

在DCP

?和DBF

?中，

DC DB

CDP BDF

DP DF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

DCP DBF

∴???，

CP BF

∴=，

CP BP BC

+=，

BF BP BC

∴+=，

BC BD

=，

BF BP BD

∴+=；

（3）如图③，BF BD BP

=+，

理由：90

ACB

∠=?，30

A

∠=?，

60

CBA

∴∠=?，

1

2

BC AB

=，

点D是AB的中点，

BC BD

∴=，

DBC

∴?是等边三角形，

60

CDB

∴∠=?，DC DB

=，

线段DP绕点D逆时针旋转60?，得到线段DF，60

PDF

∴∠=?，DP DF

=，

CDB PDB PDF PDB

∴∠+∠=∠+∠，

CDP BDF

∴∠=∠，

在DCP ?和DBF ?中，

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， DCP DBF ∴???， CP BF ∴=，

CP BC BP =+， BF BC BP ∴=+， BC BD =，

BF BD BP ∴=+． 【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ???，是一道中等难度的中考常考题．

10．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）9

2

；（4）（6，3）． 【解析】 【分析】

（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；

（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值； （3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；

（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算． 【详解】

解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0， ∴x=1， ∴D （1，0）；

（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ， 由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝3

2

-

，代入表达式y=kx+b ， ∴40332k b k b +???+-??＝＝，

∴326

k b ????-?＝

＝， ∴直线l 2的解析表达式为3

62

y x -＝；

（3）由33

362

y x y x ?-+-??

??＝＝，解得23x y ??

?-＝＝， ∴C （2，-3）， ∵AD=3， ∴331922

ADC

S

=??-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3， 则P 到AD 距离=3，

∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ， ∴点P 纵坐标是3， ∵y=1.5x-6，y=3， ∴1.5x-6=3，解得x=6， 所以P （6，3）． 【点睛】

本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键. 11．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝

+4． 【解析】 【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；

（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案. 【详解】

（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形 ∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90° ∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD ∴∠ACE ＝∠BCD ， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE ＝BD ．

（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠CBD ，

又∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°， ∴∠EAD ＝90°，

在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ， ∴BD 2+AD 2＝ED 2，