(完整)高中立体几何二面角的几种基本求法例题.doc
二面角的基本求法例题
一、平面与平面的垂直关系
1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
例 1.在空间四边形ABCD 中, AB=CB ,AD=CD ,E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。
求证:平面 BEF ^ 平面 BDG 。
A A
F
E
E
G D
B F
D
B C
C
例 2. AB ^ 平面 BCD,BC = CD ,? BCD 90°,E、F分别是AC、AD的中点。
求证:平面 BEF ^ 平面 ABC 。D1 C1
A1 B1
2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线
垂直于另一个平面。中,求和平面所成的角。
例 3.在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1
B C D A B A B CD .
D C
A B
二、二面角的基本求法D1 C1 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。A1 B1
例4.在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中,
求( 1)二面角A- B1C - A1的大小;
( 2)平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。
D C
A B
P
练习:过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ,设 PA=AB= a,求
二面角 B - PC - D 的大小。
A
D
2.三垂线法
B C
例 5 .平面ABCD ^平面ABEF,ABCD是正方形, ABEF 是矩形且
D C
AF= 1
AD= a,G 是 EF 的中点,
2
( 1)求证:平面AGC ^平面BGC;
( 2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值;A B
1
G E
( 3)求二面角 B -AC - G 的大小。
例 6.点 P 在平面 ABC 外,VABC 是等腰直角三角形,? ABC90°,VPAB是正三角形,PA ^ BC。
P ( 1)求证:平面PA B ^平面ABC;
( 2)求二面角 P -AC - B 的大小。
A
B C 练习:正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 1,P 是 AD 的中点,求二面角 A - BD1 - P 的大小。
C1
B1
D1A1
C B
S
D P A
3.垂面法
例7.SA ^平面ABC,AB ^ BC,SA = AB = BC,
(1)求证: SB ^ BC ;
(2)求二面角 C - SA- B 的大小;
C (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。A
B
4.无棱二面角的处理方法
(1)找棱
P
例8.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ,设 PA=AB= a,
求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。
A
D
s射影 B C
(2)射影面积法(cosq = )
S
例9.正方体 ABCD— A1 B1C1 D1的棱长为 1, P 是棱AA1的中
点,求平面 PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。
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