2021届湖南省师大附中等高三四校联考理科数学试卷
2021年湖南省师大附中等高三四校联考理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合2{23}P x x x =-≥，{24}Q x x =<<，则=Q P （ ） A ．)4,3[ B ．]3,2( C ．)2,1(- D ．]3,1(- 2．下列为真命题的是（ ） A ．0x ?∈R ，00x
e ≤ B ．x ?∈R ，22x x >
C ．0a b +=的充分条件是1a
b
=- D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件
3．以下四个命题中：
①在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断拟合的效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；
③若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1,2x 2,2x 3，…，2x n 的方差为2； ④对分类变量x 与y 的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2
5
，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．x y 41±
= B ．x y 31±= C ．x y 2
1
±= D ．x y ±= 5．已知?
=
2
1
1xdx S ，?=2
1
2dx e S x
，?=2
1
23dx x S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ）
A ．321S S S <<
B ．231S S S <<
C ．123S S S <<
D ．132S S S << 6．在平行四边形中，
与
交于点
，
是线段
的中点，
的延长
线与交于点
若AC a =，BD b =，则AF =（ ）
A ．
1142a b + B ．
11
24
a b + C ．
21
33
a b + D ．
12
23
a b + 7．将函数x y 2cos =的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数x x f y cos )(?=的图象，则
)(x f 的表达式可以是（ ）
A ．x x f sin 2)(-=
B ．x x f sin 2)(=
C ．x x f 2sin 2
2
)(=
D ．)2cos 2(sin 2
2
)(x x x f +=
8．某程序框图如图所示，现将输出),(y x 值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…
若程序运行中输出的一个数组是)10,(-x ，则数组中的=x （ ）
A ．32
B ．24
C ．18
D ．16
9．在直角坐标系中，P 点的坐标为)5
4
,53(，Q 是第三象限内一点，1=OQ 且
4
3π
=
∠POQ ，则Q 点的横坐标为（ ） A ．1027-
B ．523-
C ．1227-
D ．13
2
8- 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
6311 B ．3 C ．335 D ．3
3
4 11．现定义θθθsin cos i e i +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实
数
指
数
幂
的
运
算
性
质
对
θ
i e 都适用，若θ
θθθθ445232550
5sin cos sin cos cos C C C a +-=，
θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（ ）
A ．θθ5sin 5cos i +
B ．θθ5sin 5cos i -
C ．θθ5cos 5sin i +
D ．θθ5cos 5sin i -
12．已知函数()ln f x x x x =+，若Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，则k 的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
13．若抛物线)0(22
>=p px y 的准线经过双曲线12
2
=-y x 的一个焦点，则=p _____．
14．已知实数x ，y 满足??
?
??
≥-+≤--≤0220332y x y x y ，则目标函数y x z +=3的最大值为______．
15．若函数2)(2
-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 16．已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______．
三、解答题
17．已知数列{}n a 与{}n b 满足))((211*
++∈-=-N n b b a a n n n n ．
（1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围．
18．如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ?与
PAD ?都是等边三角形．
（1）证明：CD PB ⊥；
（2）求二面角B PD A --的余弦值．
19．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在
mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL
mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车．”
2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆
进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名．下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．
（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点） （2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；
（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，．．．,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、
)100/(mL mg y ，则事件10≤-y x 的概率是多少？
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，)0,1(D 为线段
2OF 的中点，且
2250AF BF +=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接1
MF
并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P，Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为1
k
、2
k
．试问是否存在常数λ，使得
2
1
=
+k
kλ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
21．已知函数e
e
bx
ax
x
f x(
)1
2(
)
(2-
+
+
=为自然对数的底数)．
（1）若
2
1
=
a，求函数)
(x
f的单调区间；
（2）若1
)1(=
f，且方程1
)
(=
x
f在)1,0(内有解，求实数a的取值范围．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，EP交圆于C
E,两点，PD切圆于G
D,为CE上一点且PD
PG=，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若BD
AC=，求证：ED
AB=．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为t
t
y
t
x
(
2
1
3
2
3
1
?
?
?
??
?
?
+
=
-
-
=
为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)
6
sin(
4
π
θ
ρ-
=．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若)
,
(y
x
P是直线l与圆面)
6
sin(
4
π
θ
ρ-
≤的公共点，求y
x+
3的取值范围．
24．
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．A ． 【解析】
试题分析：由题意得，(,1][3,)P =-∞-+∞，∴[3,4)A B =，故选A ．
考点：1．一元二次不等式；2．集合的运算． 2．D 【分析】
x y e =的值域为(0,)+∞,据此可判断A 错误;若1x =-,则()2
121-<-,则B 错误;
1a
b
=-是0a b +=的充分不必要条件,则C 错误;若1a >,1b >,则1ab >,因此D 正确.
【详解】
对于A,x
y e =的值域为(0,)+∞,故不存在0x ∈R ,使得00x
e ≤,故A 错误;
对于B,若1x =-,则()2
121-<-,故B 错误; 对于C,
1a
b
=-是0a b +=的充分不必要条件,故C 错误; 对于D,若1a >,1b >,则1ab >,即1a >,1b >是1ab >的充分条件,故D 正确; 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断,考查基础知识. 3．B
【解析】由题意得，若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1,2x 2,2x 3，…，2x n 的方差为4，所以③不正确；对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越小，所以④不正确．其中①、②是正确的，故选B. 4．C ． 【解析】
试题分析：由题意得，222512242
c e c a a a b b a a ==?=?=+?=，故渐近线方程为1
2
b y x x a =±
=±，故选C ． 考点：双曲线的标准方程． 5．B ．
【解析】
试题分析：设()f x x =，()x g x e =，2
()h x x =，显然当[1,2]x ∈时，()()h x f x ≥，
令2
()()()x x g x h x e x ?=-=-，∴'()2x x e x ?=-，''()2x
x e ?=-，[1,2]x ∈，
∴''()20x e ?≥->，∴'()x ?在[1,2]上单调递增，'()20x e ?≥->，∴()x ?在[1,2]上单调递增，
∴()10x e ?≥->，∴()0()()x g x h x ?>?>，∴当[1,2]x ∈时，2x e x x >≥， ∴231S S S >>，故选B ．
考点：1．定积分的性质；2．导数的运用． 6．C 【解析】
试题分析：如下图所示，设CF CD λ=，AE AF μ=，∴11
22
CD OD OC b a =-=-， ∴11
(1)22
AF AC CF a b λλ=+=-
+，又∵1
1
111
()()24
AF AE AO OE a b μ
μ
μ=
=
+=
+ 1124a b μμ=+，由平面向量基本定理可得，1121223{{113
244
λλμλμμ-==
?==，
∴21
33
AF a b =
+
，故选C ．
考点：平面向量的线性运算． 7．A ． 【解析】 试
题
分
析
：
由
题
意
得
，
cos[2()]cos(2)
sin 22sin cos 42()2sin cos cos cos cos x x x x x f x x x x x x
ππ
++=
==-=-=-，故选A ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．三角恒等变形． 8．A ． 【解析】
试题分析：运行第一次，输出)0,1(，3=n ，2=x ，2-=y ；运行第二次，输出)2,2(-，
5=n ，4=x ，4-=y ；运行第三次，输出)4,4(-，7=n ，8=x ，6-=y ；运行第四
次，输出)6,8(-，9=n ，16=x ，8-=y ；运行第五次，输出)8,16(-，11=n ，32=x ，
10-=y ；运行第六次，输出)10,32(-，13=n ，64=x ，12-=y ，故选A ．
考点：程序框图． 9．A ． 【解析】 试
题
分
析
：
设
α
=∠xOP ，则
5
3
cos =
α，
5
4sin =
α，
10
272254)22(53)43cos(-=?--?=+
=παQ x ，故选A ． 考点：1．三角恒等变形；2．任意角的三角函数． 10．B ． 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则AD BE ⊥，⊥PE 平面ABCD ，PAD ?为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积33]2)21(2
1
[31=??+??=
V ，故选B ．
考点：1．三视图；2．空间几何体的体积．
【思路点睛】根据几何体的三视图判断几何体的结构特征，常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱． 11．A ． 【解析】 试题分析：
)
sin (sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos cos 55544532352325415505θθθθθθθθθθi C C i C C i C C bi a ++--+=+sin ()sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos cos 555544453323522325415505θ
θθθθθθθθθi C i C i C i C i C C +++++=θθθθθθ5sin 5cos )()sin (cos 555i e e i i i +===+=?，故选A ．
考点：1．二项式定理；2．新定义问题．
【技巧点拨】1．二项展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性；
2．“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法3．“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法． 12．B ． 【解析】
试题分析：设()()(2)ln (2)g x f x k x x x x k x =--=+--，'()2ln g x x k =+-，若
2ln 202ln 2k k +-≥?≤+：()g x 在(2,)+∞上单调递增，故只需
(2)022ln 20g ≥?+≥，成立；
若2ln 202ln 2k k +-+：()g x 在2
(2,)k e
-上单调递减，2(,)k e -+∞上单调递增，
故只需2
2
2
2
2
2
2
()0ln (2)202k k k k k k k e g e e e e k e k e
k
-------≥=+--=-≥?≤，
又令2()x e h x x -=，∴2
2
(1)'()x x e h x x --=，当(2ln 2,)x ∈++∞时，'()0h x >，
∴()h x 在(2ln 2,)++∞上单调递增，而2(4)24e h =<，3
(5)25
e h =>，故符合题意的最大整数4k =，故选B ．
考点：1．函数与不等式；2．导数的运用．
【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明； 2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；
3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论； 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 13
．． 【解析】
试题分析：抛物线)0(22
>=p px y 的准线方程是2
p x -
=，双曲线12
2=-y x 的一个焦点)0,2(1-F ，
∵抛物线)0(22
>=p px y 的准线经过双曲线12
2
=-y x 的一个焦点，∴22
-=-p
，解得22=p ，故填：22．
考点：1．双曲线的标准方程；2．抛物线的标准方程． 14．7． 【解析】
试题分析：作出可行域如图所示：作直线03:0=+y x l ，再作一组平行于0l 的直线
z y x l =+3:，当直线l 经过点M 时，y x z +=3取得最大值，由3302x y y --=??=?得：532
x y ?
=
??
?=?，∴点M 的坐标为)2,3
5
(， ∴723
5
3max =+?
=z ，故填：7．
考点：线性规划． 15．[4,0]-． 【解析】
试题分析：∵2)(2
-+=x a x x f ，∴???<+-≥-+=2
,22
,2)(22x a ax x x a ax x x f ，
又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴0402
2
2≤≤-??????≤≤-a a a ，即实数a 的取值范围是]0,4[-，
故填：[4,0]-．
考点：1．函数的单调性；2．分类讨论的数学思想．
【思路点睛】求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：1．复合函数法：[()]f g x 的单调性遵循“同增异减”的原则；2．定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；3．图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；4．导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集． 16．230． 【解析】
试题分析：设
x AC =，在ABC ?中，由余弦定理有：
B B x cos 1620cos 42242222-=??-+=，
同理，在ADC ?中，由余弦定理有：D D x cos 3034cos 532532
22-=??-+=，
即7
cos 8cos 15=-B D ①，又∵平面四边形
ABCD 面积为
)sin 15sin 8(2
1
sin 5321sin 4221D B D B S +=??+??=，
即S D B 2sin 15sin 8=+②，①②平方相加得
2404)cos(240449)cos cos sin (sin 2402256422-=+-+=-++S D B S D B D B ，
当π=+D B 时，S 取最大值302，故填：． 考点：三角恒等变形的运用．
【思路点睛】三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一． 17．（1）65n a n =-；（2）),4
3
(+∞． 【解析】
试题分析：（1）根据条件可以判定数列{}n a 是等差数列，从而可求其通项公式；（2）首先根据条件累加求其数列{}n a 的通项公式，再根据求得的通项公式参变分离后将问题等价转化为最值问题即可求解．
试题解析：（1）∵)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，
∴6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n ，∴{}n a 是等差数列，首项为11=a ，公
差为6，即56-=n a n ；（2）∵n n b 2=，∴1
112)22(2+++=-=-n n n n n a a ，
当
2
≥n 时，
1
12211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+???+-+-=--+226222121+=++???++=+-n n n ，
当1=n 时，61=a ，符合上式，∴221+=+n n a ，由
λλ22++>n a n n 得：
1122122+++=+>n n n n n λ，021221111≤-=-++++n n n n n n ，∴当1n =，2时，12
2++n n n
取最大值43，
故λ的取值范围为),4
3
(+∞．
考点：1．数列的通项公式；2．恒成立问题；3．数列的单调性．
18．（1）详见解析；（2
【解析】
试题分析：（1）取BC 的中点E ，连接DE ，根据题意首先以及线面垂直的判定可证明OE ⊥平面PBD ，再由线面垂直的性质可证明OE PB ⊥，最后即可证明PB CD ⊥；（2）OE ，
OB ，OP 两两垂直，
以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解．
试题解析：（1）取BC 的中点E ，连接DE ，则ADEB 为正方形，过P 作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ，
连接OA ，OB ，OE ，OD ，由PAB ?和PAD ?都是等边三角形可知PD PB PA ==， ∴OD OB OA ==，即点O 为正方形ADEB 对角线的交点，
故BD OE ⊥，从而⊥OE 平面PBD ，∴PB OE ⊥，∵O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，
∴//CD OE ，因此CD PB ⊥；（2）由（1）可知，OE ，OB ，OP 两两垂直， 以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O xyz -，设2AB =，
则(A
，(0,D
，
P ，
(2,AD =
，(2,0,AP =，设平面PAD 的法向量(,,)n x y z =，
20n AD x ?=-
=，20n AP x ?=+=，
取1=x ，得1,1-==z y ，即(1,1,1)n =-，
∵⊥OE 平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ，取(1,0,0)m =，
由图象可知二面角B PD A --的大小为锐角，∴二面角B PD A --的余弦值
为
cos 33
n m n m
θ?=
=
=?．
考点：1．线面垂直的判定与性质；2．空间向量求二面角． 19．（1）3；（2）47；（3）1
2
． 【解析】
试题分析：（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解；（2）根据频率分布直方图中的数据用各区间的组中值与各频率的乘积求和即可求解；（3）结合频率分布直方图的数据结合古典概型计算基本事件的数量即可求解．
试题解析：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上者，共有36005.0=?人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值
250.25350.15450.2550.15?+?+?+?
650.1750.1850.0547(/100)mg mL +?+?+?=；
（3）第五组和第七组的人分别有：61.060=?人，305.060=?人，10≤-y x 即选的两人只能在同一组中，
2
1
36315)10(2
9232
6=+=+=<-C C C y x P ． 考点：1．频率分布直方图；2．古典概型．
20．（1）15922=+y x ；（2）7
4-=λ． 【解析】
试题分析：（1）根据条件)0,1(D 为线段
2OF 的中点，且22
50AF BF +=以及222a b c =+即
可建立关于a ，b ，c 的方程组，即可求解；（2）将直线MD 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理即可建立1k ，2k 所满足的一个关系式，从而即可探究λ的存在性．
试题解析：（1）∵2250AF BF +=，∴225AF F B =，∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=，
点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而3a =
，b =左焦点)0,2(1-F ，故椭圆E
的方程为15922=+y x ；（2）存在满足条件的常数λ，74-=λ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，
则直线MD 的方程为11
11+-=
y y x x ，代入椭圆方程1592=+x ，整理得，041
51
122
11=--+-y y x y y x ， ∵5)1(11131--=
+x x y y y ，∴54113-=x y y ，从而595113--=x x x ，故点)54,595(11
11
---x y x x P ， 同理，点)54,595(
2222---x y x x Q ，∵三点N F M ,,1共线，∴2
222
11+=+x y x y ， 从而
)
(2211221y y y x y x -=-，从而
12
341212211221
2
34121144555()59594()55y y y y x x x y x y y y k x x x x x x x x -
----+-===-------
121127()74()4y y k x x -=
=-，故07
421=-k k ，从而存在满足条件的常数λ，74-=λ．
考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．定值问题．
【思路点睛】解决定值问题的方法一般有两种：1．从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2．直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线，应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．
21．（1）2()22f x x x =-+；（2）)2
1
,22(
-e ． 【解析】
试题分析：（1）对()f x 求导，对b 的取值范围进行分类讨论即可求解；（2）求导，对a 的取值分类讨论，即可判断()f x 的单调性，从而可得()f x 的大致图象，在由条件在(0,1)有
解即可求解． 试题解析：（1）当2
1=
a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e
b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2， 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12．当0=b 时，0)(≤'x f ，
当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ， 当0'x f ，b x ->1或1 0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞； 0 由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)1(=f 得122++=bx ax e x ，设 12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点．设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点， 则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点， b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='， 当41 ≤ a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当4 41e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，∴)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h ， 若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(h ，0)1(>h ， )441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--=， 设)1(,1ln 2 3 )(e x e x x x x <<-+-=?，则x x ln 21)(-='?，令0)(='x ?，得e x =， 当e x < <1时，0)(>'x ?，)(x ?递增，当e x e <<时，0)(<'x ?，)(x ?递减，