弹性力学基础讲解

一、基本物理量

应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：

???

?

??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量

的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变

弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：l

l

l l ll ??-?=→?'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长

或缩短。

弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。

应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分

量，得：???

?

?

?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。

关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力

体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}T

z y x V V f f f V

=??=→?F f 0lim

。

表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}T

z y x S S s s s S

=??=→?F s 0lim 。

二、基本方程 1、平衡方程

应用牛顿第二定律，建立力学平衡方程，表达应力与位移之间的关系。

设P 为弹性体内任意点，由P 点沿三坐标轴的正向分别取长度为dx 、dy 和dz 的三条棱边，由此构成一个微长方体。微长方体共六个面，每个面上有一个正应力和两个剪应力。

按前节应力定义，过P 点的X 平面（平面的法线方向与X 轴平行，即平面与YOZ 坐标面平行。）上的应力分量为：),,(z y x xx xx ττ=、),,(z y x xy xy ττ=和),,(z y x xz xz ττ=。（图3）

与该平面平行而相距dx 的X 平面上的应力分量为：),,(''z y dx x xx xx +=ττ、),,(''z y dx x xy xy +=ττ和

),,(''z y dx x xz xz +=ττ。将这三个应力分量在P 点作幂级数展开，并略去二次以上小量，得：

dx x xx xx xx ??+

=τττ'、dx x

xy xy xy ??+=τττ'和dx x xz xz xz ??+=τ

ττ'。 同理可得其它四个面上的应力分量。

微长方体平衡必须满足三个方向上的力的平衡和三个方向上的力矩平衡。 在X 方向上力的平衡，按牛顿第二定律有：

dxdydz t

u

dxdydz f dxdy dz z

dxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz x zx zx zx yx yx yx xx xx xx 22

)()()(??=+??++-??++-??++-ρ

τ

ττττττττ

整理得：22t

u

f z y x x zx yx xx ??=+??+??+??ρτττ，其中ρ为弹性体体积密度。

同理可得其它两个方向的平衡方程：

22t v f z y x y zy

yy xy

??=+??+??+??ρτττ；22t

w f z y x z zz yz xz ??=+??+??+??ρτττ。 讨论力矩平衡时，为计算方便，将坐标原点移到微长方体的重心处。由于体积力、惯性力和正应力的合力都通过微长方体的重心，因此它们对三个坐标轴的力矩都为零，即力矩平衡方程中仅包含剪应力。

由于剪应力yx τ和zx τ与X 轴平行，因此对X 轴的力矩为零。绕X 轴的力矩平衡方程为：（图4）

02

1

)(2121)(2

1

=???+-?-???+

+?dz dxdy dz z dz dxdy dy dxdz dy y dy dxdz zy zy zy yz

yz yz ττττττ； 整理得：022=??-

-??+

dz z

dy y

zy zy yz yz ττττ；略去高阶小量，得：022=-zy yz ττ；即：zy yz ττ=。

同理可得对于其它两个坐标轴的力矩平衡方程：yx xy ττ=；xz zx ττ=。

由此导出剪应力互等定理，九个应力分量中只有六个是独立的。 2、几何方程

应用变形几何关系，表达应变与位移之间的关系。（图5）

X 方向正应变：变形前微线段长度为dx l =?；变形后长度为dx x

u

u dx x u u dx l )1()('??+=-??+

+=?。按正应变定义，X 方向正应变为：x u

dx dx dx x u l l l l xx ??=-??+=??-?=→?)/1('lim 0ε。

同理可得：y

v

yy ??=

ε；z w zz ??=ε。

XY 平面剪应变：在小变形的前提下，dx 和dy 线段变形后的转角分别为：

x

v x

u x v

u dx dx x u u v dx x

v

v xy xy ??≈??+

??=-+??+-??+

=≈1)()(tan αα；y u y v y u yx yx ??≈??+??=

≈1tan αα。 剪应变：)(21)(21x

v y u yx xy yx xy ??+??=+=

=ααεε。 同理可得：)(21y

w

z v zy yz ??+??=

=εε；)(

21z u x w xz zx ??+??==εε。 共六个独立应变分量。 1、本构方程

材料物理性质的数学表达，又称广义虎克定理，表达应变与应力之间的关系。

设材料的弹性模量为E ，剪切弹性模量为G ，泊松比为ν，三个材料常数之间的关系为：

)

1(2ν+=E

G 。

可以证明，各向同性材料只有两个独立的材料常数，常用的材料常数有五个，统称拉梅系数，用其中任意两个可表达其余三个系数。

如X 方向受到简单拉伸，按虎克定理和横向收缩系数的泊松比关系为：xx xx E ετ=；xx zz yy νεεε-==。当受到纯剪时，剪应力与剪应变的关系为：xy yx xy xy G G εεετ2)(=+=。

如所有应力都存在，则按迭加原理可得应力－应变关系式：

E zz yy xx xx /)]([ττντε+-=；E xx zz yy yy /)]([ττντε+-=；E yy xx zz zz /)]([ττντε+-=；

G xy xy 2/τε=；G yz yz 2/τε=；G zx zx 2/τε=。

或以应变表达应力的关系式：

)]()1[()

21)(1(zz yy xx xx E

εενεννντ++--+=；xy xy G ετ2=；

)]()1[()

21)(1(xx zz yy yy E

εενεννντ++--+=

；yz yz G ετ2=；

)]()1[()

21)(1(yy xx zz zz E

εενεννντ++--+=

；zx zx G ετ2=。

定义体积应变为zz yy xx εεεθ++=，则应变表达应力的关系式又可表达为：

xx xx G ελθτ2+=；xy xy G ετ2=；

yy yy G ελθτ2+=；yz yz G ετ2=；

zz zz G ελθτ2+=；zx zx G ετ2=；其中拉梅系数)

21)(1(ννν

λ-+=

E 。

2、边界条件和初始条件

弹性力学问题的边界条件分成两类：力边界条件和位移边界条件。

力边界条件：设P 为弹性体表面受到表面力区域中的一点，取一包含P 点的微四面体，四面体的三个界面平行于坐标平面，另一面则为包含P 点的弹性体表面曲面（图6）。由于四面体很小，表面曲面可近视为三角形斜面。设表面在P 点的外法线方向为N ，方向余弦分别为x n 、y n 和z n ，表面力强度为

{}T

z y x s s s =s ，斜面面积为dS ，三个界面的面积分别为x dS 、y dS 和z dS 。

各面积间有关系：dS n dS x x =，dS n dS y y =和dS n dS z z =。

如体力为0，则微四面体在X 方向的力平衡方程为：z zx y yx x xx x dS dS dS dS s τττ++=； 代入面积间有关系，得：z zx y yx x xx x n n n s τττ++=；

同理可得Y 、Z 方向的力平衡方程：z zy y yy x xy y n n n s τττ++=；z zz y yz x xz x n n n s τττ++=。 位移边界条件：u u =；v v =；w w =，或

n u n u ??=??；n v n v ??=??；n

v

n v ??=??

对于动力学问题还需加上初始条件，0=t 时有：),,(0z y x u u =；),,(0z y x v v =；),,(0z y x w w =；

),,(0z y x u t

u t =??；),,(0z y x v t v t =??；),,(0z y x w t w t =??。

三、基本解法［3，p49］

三组基本方程（本构方程、几何方程、平衡方程）共15个方程，三组基本变量（位移、应力、应变）共15个变量，加上边界（及初始）条件构成弹性力学问题的基本数学形式，理论上可求解。实际工作中将问题简化，一般以三个位移分量或六个应力分量为未知数求解，称为“位移法”或“力法”。 1、位移法

以三个位移分量为基本未知量，将其它未知量的方程和边界条件用位移来表示。 将几何方程代入本构方程，消去应变分量，得：

x u G z w y v x u xx ??+??+??+??=2)(

λτ；)(x v

y u G xy ??+??=τ； y v G z w y v x u yy ??+??+??+??=2)(λτ；)(y w z v G yz ??+??=τ； z

w

G

z w y v x u zz ??+??+??+??=2)(

λτ；)(z u x w G zx ??+??=τ； 将各应力代入平衡方程，X 方向的平衡方程为：

2

22

222222222222222222)()()()()()()(2)(t

u f u G z w y v x u x G f z u y u x u G z x w y x v x u G z w y v x u x f z u

z x w G y x v y u G x u G z w y v x u x f z y x x x

x x zx yx xx ??=+?+??+??+????+=+??+??+??+???+???+??+??+??+????=+??+???+???+??+??+??+??+????=+??+??+??ρλλλτττ

同理：222

)()(t v f v G z w y v x u y G y ??=+?+??+??+????+ρλ；

222

)()(t

w f w G z w y v x u z G z ??=+?+??+??+????+ρλ；

2、力法

四、圣维南（Saint-Venant ）原理[1，p152]

又称局部影响原理。如作用于弹性体边界局部表面S ?上的一组外力，被另一组与其等效（合力和合力矩相等）的力系所代替，则在弹性体内产生的应力的改变随着与S ?的距离的增加而迅速衰减。应力的改变的影响区域与S ?的尺度为同数量级。

例：两端受力的杆（外力为集中力或分布于杆端表面）；虎钳夹铁丝。

五、应变能和能量原理

弹性体内单位体积的应变能称应变能密度：

)222(21

2

1zx zx yz yz xy xy zz zz yy yy xx xx ij ij ετετετετετετετ+++++=∑∑。

弹性体应变势能：

∑∑?

=dV U ij ij V

ετ21

； 弹性体外力势能（变形过程中外力所做的功的负值）：

??++-++-=S

z y x V

z y x dS w s v s u s dV w f v f u f V )()(；

弹性体总势能：V U +=∏。

最小势能原理（线弹性保守系统中的虚位移原理）：在一切变形可能的状态中，真实状态相对应的总势能最小。即弹性体总势能应取极小值。

第二章 弹性力学各类经典专题

一、平面应力问题

平面应力问题以特定受力条件的薄板为研究对象。 1、几何特征

弹性体为均匀厚度的薄平板，其厚度远小于板平面内的最小尺寸。 2、外力特征

板的上下表面上无表面菏载；作用于板边缘的菏载平行于板面，且沿厚度不变，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面；体积力也平行于板面且沿厚度不变。

取板的中间平面为XY 坐标面，即Z 轴方向垂直于板面。

由于板的上下表面上无外力，即0)2/()2/()2/(=±==±==±=h z h z h z zy zx zz τττ。严格意义上，在板的内部此三个应力分量不为零，但由于板很薄，且在此外力特征下，板不受弯曲作用，因此板的内部此三个应力分量数值都很小，可近似为零。于是板内仅包含xx τ、yy τ和xy τ三个应力，由于此三个应力都属于XY 平面内的应力，故称这类问题为平面应力问题。由于板很薄，故此三个应力沿厚度的变化较小，可假定它们沿厚度为均匀分布，或认为所计算的是此三个应力沿厚度方向的平均值，即它们的值与Z 变量无关。

由上述应力假定，从本构方程可得：

02/==G yz yz τε；02/==G zx zx τε；E E yy xx yy xx zz zz /)(/)]([ττνττντε+-=+-=。

从平衡方程可得：22t u f y x x yx xx ??=+??+??ρττ；22t

v

f y x y yy xy ??=+??+??ρττ；

从几何方程可得：z

w

zz ??=

ε；代入上式得：E z w yy xx /)(ττν+-=??；由于xx τ和yy τ与Z 变量无关，积分得：E z w yy xx /)(ττν+-=。

综合上述，十五个变量中有yz τ、zx τ、zz τ、yz ε和zx ε五个为零；而变量zz ε和w 按上式成为xx τ和yy τ的函数，不再独立；故平面应力问题共有八个独立变量，且都与Z 变量无关。

二、平面应变问题

平面应变问题以特定受力条件的直柱体为研究对象。 1、几何特征

弹性体为等截面的长直柱体，其截面的最大尺寸远小于柱体的长度。其位移约束条件也沿柱体长度不变。 2、外力特征

柱体所受的表面菏载和体力都垂直于柱体长度方向，且其分布规律沿长度不变。 取柱体长度方向为Z 轴。

由于Z 轴方向近似为无限长，所以任何一个横截面可视为对称面，从而可假定有：),(y x u u =、

),(y x v v =和0=w 。

从几何方程可得：0=??=

z w zz ε、0)(21=??+??==y

w z v zy yz εε；0)(21=??+??==z u x w xz zx εε。于是柱体内仅包含xx ε、yy ε和xy ε三个应变，由于此三个应变都属于XY 平面内的应变，故称这类问题为平面应变问题。

从本构方程可得：02==yz yz G ετ、02==zx zx G ετ；而由0/)]([=+-=E yy xx zz zz

ττντε，可得：

)(yy xx zz ττντ+=，

从平衡方程可得：22t u f y x x yx xx ??=+??+??ρττ；22t

v

f y x y yy xy ??=+??+??ρττ；

综合上述，十五个变量中有yz τ、zx τ、zz ε、yz ε、zx ε和w 六个为零；而变量zz τ按上式成为xx τ和yy τ的函数，不再独立；故平面应力问题共有八个独立变量，且也都与Z 变量无关。

三、平面问题基本方程 1、平衡方程

22t u f y x x yx xx ??=+??+??ρττ；22t

v

f y x y yy xy ??=+??+??ρττ。 2、几何方程

x u xx ??=

ε、x v

yy ??=ε；)(

21x

v y u yx xy ??+??==εε。 3、 本构方程

平面应力问题：由于0===zz zx yz τττ，代入本构方程得：

E yy xx xx /)(νττε-=；E xx yy yy /)(νττε-=；G xy xy 2/τε=。

平面应变问题：由于0==zx yz ττ，)(yy xx zz ττντ+=，代入本构方程得：

)1(12yy xx xx E τνντνε---=；)1(12xx yy yy E τν

ντνε---=；G xy xy 2/τε=。

令：2

1'ν-=

E E ；ν

ν

ν-=1'；则平面应变问题的本构方程也可成为： '/)'(E yy xx xx τντε-=；'/)'(E xx yy yy τντε-=；G xy xy 2/τε=。

例：水坝；小孔应力集中；高梁；

四、轴对称问题

采用极坐标，弹性体的几何形状为和外载荷都与周向坐标无关。问题简化为研究径向截面的变形。 例：圆桶受均布压力；各种圆环问题；

五、等截面杆的弯曲和扭转问题

几何形状为细长等截面直构件。

六、薄平板弯曲问题

等厚度薄平板，外载荷垂直于板面。

七、薄壳问题

八、接触问题

九、弹性波问题