《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理
考纲要求
1.了解二项式定理的概念.
2.二项展开式的特征及其通项公式.
3.会区别二项式系数和系数.
4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理
设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则
0011222333110()n n n n n m n m m n n n n
n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b
------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0
n C ,
1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.
注意：二项式具有以下特征:
1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.
2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.
3.各项的二项式系数依次为0
n C , 1
n C , 2
n C ⋅⋅⋅ n
n C . 知识点二：二项展开式通项公式
二项展开式中的m n m m
n C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m m
m n T C a b -+=.
注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质
二项式展开式的二项式系数是0
n C , 1
n C , 2
n C ⋅⋅⋅ n
n C .
1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n m
n n C C -=.
2.如果二项式()n
a b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即
12
n
+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()n
a b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并
且相等，即第12n +项和第3
2
n +项的二项式系数最大且相等.
4.二项式()n
a b +的展开式中，所有二项式系数的和为
01232m n
n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.
5.二项式()n
a b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即
02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.
知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: m
n C .
2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求5
1
(2)x x
-的展开式. 分析：熟记二项式定理.
解答：51(2)x x
-=05014123232
355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-
4145
055511(2)()(2)()C x C x x x
+-+-
533540101
328080x x x x x x
=-+-+-
题型二 二项展开式通项公式 例2 求9
1(3)9x x
+
的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：27
2
532191(3)(
)9729T T C x x x
+===, 所以第3项为5
972x . 题型三 二项式系数的性质
例3 求7
(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.
分析：根据二项式()n
a b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，
并且相等，即第
12n +项和第3
2
n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.
解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.
即37333
43172560T T C x x -+=== 47444
54172280T T C x x -+===
题型四 二项式系数与系数的区别
例4 二项式9
(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()n
a b +的展开式中，所有二项式系数的和为
01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
解答：二项式系数之和01299
99992512C C C C +++⋅⋅⋅+==
例5 已知二项式929
0129(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129
a a a a +++⋅⋅⋅+= .
分析：求系数巧用1.
解答：令1x =，则所有项之和为9
(1)1-=-. 所以0129=1a a a a +++⋅⋅⋅+. 一、选择题
1. 8
(1)x -的展开式的第六项的系数是（ ）.
A.58C
B.58C -
C.68C
D.6
8C - 2.10
(32)x +的展开式的第3项的二项式系数是（ ）.
A .210C B.8221032C ⨯⋅ C.2821032C ⨯⋅ D.3
10C
3.2*
()()n a b n N +∈展开式中，系数最大的项是（ ）. A. 第n 项 B.第n +1项 C. 第n 与n +1项 D.第
12
n
+项
4.6
的各项系数之和为（ ）. A. 1 B.-1 C.62 D.62-
5. 6
的各项二项式系数之和为（ ）. A .1 B. -1 C.62 D.62-
6. 6
的奇数项的二项式系数之和为（ ）. A .1 B. -1 C. 52 D. 52-
7. 在12
的展开式中的常数项为（ ）. A.9
12C B.3
12C - C.10
12C D.10
12C - 8.在5
(2x
-
的展开式中，第3项为（ ）. A.
80x B.80x
- C.280x - D.280x 9.在3721
()x x
+的展开式中含6x 的项为（ ）.
A.367C x ⋅ B .467C x ⋅ C.567C x ⋅ D. 66
7C x ⋅
10.在10
(21)x -的展开式中含x 项的系数为（ ）. A .-20 B. 20 C. 90 D .-90 妙记巧学，归纳感悟 二、判断题
1.10
(1)x +的展开式中有10项.（ ）
2.7(2)x y +的展开式中，只有一项的二项式系数最大.（ ）
3.61()x x
-的展开式中有常数项.（ ）
4.7(23)x -的展开式中二项式系数之和为7
2.（ ）
5.5
(23)x -的展开式中含的3x 项的系数是1080-.（ ） 6.272()x x
-二项式的展开式中的第四项为5280x -.（ ） 7.7
(2)a b -的展开式中第六项的二项式系数为6
7C .（ ） 8.8
1(3)3x y
-
的展开式中第五项的系数和二项式系数相等.（ ） 9. 6
(23)x y -的展开式中各项系数和为一.（ ） 10.2
7
(x
-
二项式展开式中不含有2x 的项.（ ） 三、填空题
1. 6
(32)a b +的展开式中共有 项；其中二项式系数最大的项为第_____ 项. 2. 1
()n a a
-的展开式中第四项为含3a 的项，则n 的值为______. 3. 8
)(b a +展开式中系数最大的项是第___项.
4. 已知5)n
b 的展开式中，第四项的二项式系数等于倒数第二项的二项式系数的7倍，
则n 等于______.
5. 8
的展开式中常数项是______.
三、解答题 1. 已知10
21001210(1)
x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+求展开式中
（1）各项系数和； （2）常数项.
2.求二项式12
21(2)x x
-的展开式中的第12项. 高考链接
1.二项式42()x x
-的展开式中第3项是______.
2.在二项式71()x x
-展开式中，含的5x 项的系数是______. 积石成山
1.已知8278
01278(21)x a a x a x a x a x -=+++⋅⋅⋅++，则12378a a a a a +++⋅⋅⋅++=
（ ）.
A .1 B.0 C. -1 D.8
2
2.已知727
0127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01237a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ）.
A. 1
B. 0
C. -1 D .8
2
3.已知727
0127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1237a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）.
A .1 B. 0 C .-1 D.-2 4.若331()n
x x
+
的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项为（ ）. A. 210 B. 10 C .462 D .52 5.若(1)n
x +的系数之和为1024，则其展开式中共（ ）项. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6.若5(1)ax +的展开式中，第5项为4125x ，则a =（ ）.
A .5
B .5± C.
D.
7. 设181(x
-的第k 项为常数项，则k =（ ）.
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
8.当二项式10
(1)x +的展开式中第5项和第7项相等时，则非零实数x 的值是（ ）. A. 1 B. -1 C. 1± D. 2
9.已知5
(12)x -的第2项大于1而且小于等于2，则实数x 的取值范围为（ ）.
A. 11[,)510--
B. 11
(,]510--
C. 11(,)510--
D. 11[,]510
--
10. 若二项式3
2()n
a b +的展开式中第3项和第7项的系数相等，则n =（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二项式定理答案
一、选择题
二、判断题
三、填空题
1．7,4 解析：二项式的展开式中共有6+1=7项，
6n =为偶数，则
6
142
+=项的二项式系数最大. 2．9 解析：33
33364311()(1)n n n n T T C a C a a
--+==-=-， 令63n -=则9n =.
3．5 解析：二项展开式中，第
512
8
=+项的二项式系数最大，所以系数最大的项是第5项. 4．8 解析：由题意得31
7n n n C C -=，整理得(1)(2)42n n --=.
解得8n =或5n =-，所以8n =.
5．
835 解析：818(m m
m m T C -+=，
当8m m -=即4m =时，
444581352()48
T C ==.
四、解答题
1. 解:（1）令1x =得10
01210(11)0a a a a +++⋅⋅⋅+=-=.
（2）令0x =得10
0(10)1a =-=.
2. 解：111
111211112221
124(2)()T T C x x x +==-=- 高考链接
1. 24 解析：通项公式22
2
32142
()24T T C x x
+==-=.
2. -7 解析：通项公式7721771
()(1)m m
m m m m m T C x
C x x --+=-=-.
当725m -=时1m =，所以1155
117(1)7T C x x +=-=-.
所以含5
x 项的系数是7-.
积石成山
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理 考纲要求 1.了解二项式定理的概念. 2.二项展开式的特征及其通项公式. 3.会区别二项式系数和系数. 4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理 设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则 0011222333110()n n n n n m n m m n n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b ------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0 n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数. 注意：二项式具有以下特征: 1.展开式中共有1n +项，n 为正整数. 2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列. 3.各项的二项式系数依次为0 n C , 1 n C , 2 n C ⋅⋅⋅ n n C . 知识点二：二项展开式通项公式 二项展开式中的m n m m n C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m m m n T C a b -+=. 注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质 二项式展开式的二项式系数是0 n C , 1 n C , 2 n C ⋅⋅⋅ n n C . 1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n m n n C C -=. 2.如果二项式()n a b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即
北师大版数学【选修2-3】练习：1.5 二项式定理(含答案)
第一章 §5 一、选择题 1．(2013·江西理，5)(x 2－2 x 3)5展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 [答案] C [解析] T r ＋1＝C r 5 (x 2)5－r (－2x 3)r ＝C r 5x 10－2r ·(－2)r ·x －3r ＝C r 5(－2)r · x 10 －5r . 令10－5r ＝0，∴r ＝2，常数项为C 25×4＝40. 2．在(1－3x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为( ) A ．5670 B ．－5670x 4 C ．5670x 4 D ．1670x 4 [答案] C [解析] 偶数项的二项式系数的和为2n － 1＝27，即n ＝8，中间项为T 5＝C 48(－3x )4＝ 5670x 4，故选C 项． 3．(2012·重庆理，4)(x ＋1 2x )8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354 D ．105 [答案] B [解析] 本题考查了二项式定理展开通项公式，T r ＋1 ＝C r 8(x ) 8－ r (1 2x )r ＝C r 8 ·1 2r ×x 8－2r 2，当r ＝4时， T r ＋1为常数，此时C 48×124＝35 8，故选B. 要熟练地掌握二项展开式的通项公式． 二、填空题 4．(2014·湖北理改编)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________ [答案] 1 [解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，
二项式定理训练题(含答案)
二项式定理训练题 一、单选题（共4题；共8分） 1.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（） A. 1 B. 5 C. 10 D. 20 2.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数 为（） A. 14 B. C. 240 D. 3.若，则的值为（） A. B. C. D. 4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（） A. ﹣40 B. 160 C. 120 D. 200 二、填空题（共13题；共15分） 5.二项式的展开式中常数项为________. 6.展开式中常数项为________. 7.的展开式中，x3的系数为________． 8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________. 9.的二项展开式中，含项的系数为________． 10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答） 11.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________． 12.已知的展开式中的系数为108，则实数________. 13.的展开式中，的系数是20，则________.
14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数 和为________. 15.在的展开式中，的系数是________. 16.的展开式中的系数为________. 17.在的展开式中，的系数为15，则实数________． 三、解答题（共3题；共25分） 18.已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求其展开式中的有理项． 19.设. （1）求； （2）求及关于的表达式. 20.已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128. （1）求的展开式中的常数项； （2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
二项式定理知识点总结及例题分析-高中数学2018版
高中数学-二项式定理知识点总结及例题分析 一、 基本知识点 1．二项式定理 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n － k n 的关系是C k n ＝C n － k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n 2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项 和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋1 2n . (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n － 1. 方法分析 1．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭ ⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法： 如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项 系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩ ⎪⎨⎪⎧ A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得． 例题讲解 考点一求二项展开式中的项或项的系数 1 (1)⎝⎛⎭⎫1 2x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 (2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为( ) A ．10 B ．－10 C ．20 D ．－20 解析： (1)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理 1•二项式定理： (a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ), 2. 基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。 ②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n). ③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。用丁i =C；a n」b r表示。 3. 注意关键点： ①项数：展开式中总共有(n 1)项。 ②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。 ③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系 数是a与b的系数(包括二项式系数)。 4. 常用的结论： 令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N ) 令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N ) 5. 性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J ②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n, 变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 , 从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l 2 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
二项式定理练习题(含答案)
二项式定理 单选题 （x+1）4的展开式中x的系数为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 答案 B 解析 分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案． 解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r； 当r=1时，有T2=C41（ x）1=4x； 故答案为：4． 故选B． 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 2 （x+2）6的展开式中x3的系数是 A.20 B.40 C.80 D. 160 答案 D 解析 分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数． 解答：设含x3的为第r+1， 则Tr+1=C6rx6-r•2r， 令6-r=3， 得r=3， 故展开式中x3的系数为C63•23=160． 故选D． 点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具
3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为 A.4 B.6 C.8 D.10 答案 B 解析 分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案． 解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r； 当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x； 故选B． 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 4（1+x）7的展开式中x2的系数是 A.21 B.28 C.35 D.42 答案 A 解析 分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是数学公式，计算出答案即可得出正确选项 解答：由题意，二项式（1+x）7的展开式中x2的系数是数学公式=21 故选A 点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键 4 填空题 二项式（2x-1）9的展开式中的第八项为________． 答案 -144x2
高二数学二项式定理复习试题（附答案）
高二数学二项式定理复习试题（附答案） 考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是店铺为大家整理的高二数学二项式定理复习试题，希望对大家有所帮助! 高二数学二项式定理复习试题及答案解析 一、选择题 1.(2013•江西高考)x2-2x35展开式中的常数项为 ( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 C [展开式的通项为Tr+1=Cr5x2(5-r)(-2)rx-3r =Cr5(-2)rx10-5r. 令10-5r=0，得r=2， 所以T2+1=C25(-2)2=40.故选C.] 2.(2014•东城模拟)(x-2y)8的展开式中，x6y2项的系数是 ( ) A.56 B.-56 C.28 D.-28 A [由二项式定理通项公式得，所求系数为C28(-2)2=56.] 3.(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为 ( ) A.5 B.3 C.2 D.0 A [常数项为C22×22×C05=4，x7系数为C02×C55(-1)5=-1， 因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.] 4.(2012•蚌埠模拟)在x+13x24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有 ( ) A.3项 B.4项
C.5项 D.6项 C [Tr+1=Cr24(x)24-r13xr=Cr24x12-5r6， 故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.] 5.(2014•深圳二调)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中，含x2项的系数是 ( ) A.10 B.15 C.20 D.25 C[选 C.含x2项的系数是C22+C23+C24+C25=1+3+6+10=20.] 6.在二项式x2-1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ( ) A.32 B.-32 C.0 D.1 C [依题意得所有二项式系数的和为2n=32，解得n=5. 因此，该二项展开式中的各项系数的和等于12-115=0.] 二、填空题 7.(2014•山西诊断)若x-a2x8的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数之和为________. 解析x-a2x8的展开式的通项为Tr+1=Cr8x8-r(-a2)rx-r=Cr8(-a2)rx8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以C48(-a2)4=1 120，所以a2=2，故x-a2x8=(x-2x)8.令x=1，得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1. 答案 1 8.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________. 解析由C2n=C6n可知n=8，所以x+1x8的展开式的通项公式为Tr+1=Cr8x8-r•1xr=Cr8x8-2r, 当8-2r=-2时，r=5，所以1x2的系数为C58=56.
(强化训练)2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-二项式定理(含答案)
二项式定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.（1+3x）2+（1+2x）3+（1+x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4=（） A. 49 B. 56 C. 59 D. 64 2.二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（） A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项 3.在的二项展开式中，的系数为（） A. B. C. D. 4.若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.已知（1+2x）n的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则（1+2x）n的展开式的各 项系数之和为（） A. 26 B. 28 C. 36 D. 38 6.（a+x）[（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5]的展开式中x2的系数为55，则 实数a的值（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.（1-2x）n的二项展开式中，奇数项的系数和为（） A. 2n B. 2n-1 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求） 8.设，则下列说法正确的是（） A. a0=1 B. C. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 D. a2=9a1 9.已知=+x+++,则（） A. = B. +++=1 C. |+|+|++|= D. ++++=-8 10.若，则（）
A. B. C. D. 三、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 11.二项式(n)展开式中存在常数项,写出一个满足条件的n= . 12.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数 为． 13.已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常 数项为 . 14.若（x+2）n=x n+…+ax3+bx2+cx+2n（n∈N，且n≥3），且a：b=3：2，则n= ． 15.已知的展开式中各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n＝，展开 式中系数最大的项是． 16.设，则 ． 17.若二项式的展开式中常数项为10，则常数项的二项式系数为，展开式 的所有有理项中最大的系数为．
第十三讲二项式定理
二项式定理 一、知识点 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．． 最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12 +n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第12 1++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大. ③系数和： 1314201022 -=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 二、典型例题 例1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 例2.（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6 B.12 C.24 D.48 例3.（2x 3－ x 1）7的展开式中常数项是 A.14 B.－14 C.42 D.－42 例4.已知（x 23 +x 31 -）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数 字作答） 例5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 例6 如果在（x + 421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项. 例7求式子（｜x ｜+ | |1x －2）3的展开式中的常数项.
二项式定理(习题含答案)
二 项式定理 一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若展开式中的常数项为 ． （用数字作答） 【答案】10 【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112 【解析】由二项式通项可得， （r=0,1,,8）,显然当时， ，故二项式展开式中的常数项为112. 5、的展开式中常数项等于________． 【答案】． 【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展 开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ． 【答案】 30 x 4567() r r r r r r x C x x C T 6 5 153033030 11--+⋅=⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⋅⋅ =30......2,1,0=r =r 25 3 1()x x + 1x =232n =5n =2531()x x +10515r r r T C x -+=2r =2510C =82)x 348883 8 122r r r r r r r x C x x C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41 (2)(13)x x --1441(2)(13)x x --4(13)x -4C (3)r r x -20 4C 1=21 x -14C (3)12x -=-12141420 sin 12cos 2x a x dx π ⎛⎫= -+ ⎪⎝⎭ ⎰ () 6 22x ⎛⋅+ ⎝ 332=-
高中数学 2023届大一轮复习 第57讲 二项式定理(含答案)
2023届大一轮复习 第57讲 二项式定理 一、选择题（共10小题） 1. 在 (2x 2√ x )6 的展开式中，含 x 7 的项的系数是 ( ) A. 60 B. 160 C. 180 D. 240 2. (1+2x 2)(1+x )4 的展开式中 x 3 的系数为 ( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 3. 在 (2√x −1x )5 的展开式中，x 的系数为 ( ) A. 32 B. −40 C. −80 D. 80 4. (x −1x )9 的展开式中 x 3 的系数为 ( ) A. −36 B. 36 C. −84 D. 84 5. 已知 a =log 23⋅log 34，则 (ax + 1x 2 )4 的展开式中的常数项为 ( ) A. 15 B. 60 C. 120 D. 240 6. 在 (x +2)6 展开式中，二项式系数的最大值为 m ，含 x 4 的系数为 n ，则 n m = ( ) A. 3 B. 4 C. 1 3 D. 1 4 7. 在 (√x √x 3)24 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 ( ) A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项 D. 6 项 8. 若 (x 6x √x )n 的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 若 (1+x )+(1+x )2+⋯+(1+x )n =a 0+a 1(1−x )+a 2(1−x )2+⋯+a n (1−x )n ，则 a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+(−1)n a n 等于 ( ) A. 3 4(3n −1) B. 3 4(3n −2) C. 3 2(3n −2) D. 3 2(3n −1) 10. (1+1x 2)(1+x )6 展开式中 x 2 的系数为 ( ) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 二、多选题（共2小题） 11. 已知 (3x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，设 (3x −1)n 的展开式的二项式系数之和为 S n ， T n =a 1+a 2+⋯+a n ，则 ( ) A. a 0=1 B. T n =2n −(−1)n C. n 为奇数时，S n
二项式定理十大典型例题配套练习
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 教学内容 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系 数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。
二项式定理应用常见题型大全含答案
二项式定理应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012•重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 2．（2012•桃城区）在的展开式中，有理项共有（） 2012 4．（2008•江西）展开式中的常数项为（） n*5 6．（2006•重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 88 29211 2006 10．（2004•福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） 12．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）
C 10 14．的展开式中第三项的系数是（） ．C． 4n+1 n 17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是 [[，[ 18．在的展开式中系数最大的项是（） 6 8 2010
参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．（2012•重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 的展开式通项公式中，令 的展开式通项公式为 = 2．（2012•桃城区）在的展开式中，有理项共有（） ••， 2012
+ 4．（2008•江西）展开式中的常数项为（） 的展开式的通项为 的展开式的通项为= 的通项为= ，时，展开式中的项为常数项 n*5
6．（2006•重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 则展开式的常数项为 88 29211 2006
分别取， 时，有）（ 时，有）（ （ 10．（2004•福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 中，化简可得答案． ， x= =2 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） ∴二项式的通项为 的展开式中的常数项为=160
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概念篇 【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开 • 解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4 =a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略 【例2】展开(2x -2代 2x 分析一：直接用二项式定理展开式 • 解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+ 2x 2x 2x 2x C 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)5 2x 2 2x 2 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 解法二： 3 5 --和件 [C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5] 荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10 说明：记准、记熟二项式 (a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件 对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便 【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知 x 6的系数是c 4°. 解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10— r ( — 3 )r . 令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是 C ：0. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与二项式的指数及项数有关， 与二项 =32x 5— 12Ox 2+180 x 135 405 + 87 243 10 . 32x =327° =32x 5— 120x 2+180 x 135 405 x 4 + 8x 7 243 32x 10 .
二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题 典型例题一 例1 在二项式n x x ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为：4 324 121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 14 1C ,2 12 1C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+ =+=n n n t t t ，∴8=n 通项公式为14 3168 1 ,82,1,02 1C +-+==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 典型例题四 例4（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5 x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5 x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5 x 项，可以得到5 510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3 )1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为： 552 1031041051063)C C 3C C (x x -=-+-． （2）2 121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+=++ x x x x 12 51)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由12 1⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+x x 展开 式的通项公式r r r r r r x x T --+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=612 1212 1 C 1) 2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．