(完整版)整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法
【知识点归纳】
1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数)
2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数)
3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数)
4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=
6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=
8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形：
（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，
a 2+
b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。
【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数
式234a -+2221
2(3)4b a b --的值
【例2】已知两个多项式A 和B ，
43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？
【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .
【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.
【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；
（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．
【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
【例8】归纳与猜想：
（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）?m=x15﹣1，则m= ；
（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．
【例9】认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应
的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
（a+b）1=a+b，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数
进一步研究发现，
n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b ）n 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）推断出多项式（a+b ）n （n 取正整数）的展开式的各项系数之和为S ，（结果用含字母n 的代数式表示）．
课后作业：
1、若0352=-+y x ，求y x 324?的值。
2、在()()y x y ax -+与3的积中，不含有xy 项，则a 必须为 。
3、已知()()2212
3
--==+b a ab b a ，化简，的结果是 。
4、已知199819992000201x x x x x ++=++，则的值为 。
5、已知()3
353x y y x y x -++-=-，则代数式的值等于 。
6、已知()
93
22
=x ，则x = 。
7、若y x x x 2254,32+==，则的值为 。
8、当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值 .
9、已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，求多项式
222a b c ab bc ca ++---的值为。
10、已知,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，那么111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值是多少？
“整体思想”在整式运算中的运用
1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，168
3
-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
3、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.
4、若a 2﹣2a+1=0．求代数式的值．
5、先化简，再求值：
(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3
(2) 2
1,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中
第四讲 乘法公式（1）
公式的逆用
1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3、已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3
a b +与2()a b -的值。
4、已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
5、已知222450x y x y +--+=，求21
(1)2
x xy --的值。
6、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）44
1x
x +
7、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
8、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
9、计算 （1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2） （2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ）
（3）（a ﹣b+c ﹣d ）（c ﹣a ﹣d ﹣b ）； （4）（x+2y ）（x ﹣2y ）（x 4﹣8x 2y 2+16y 4）． 10、已
，求下列各式的值：（1）
； （2）
．
第五讲 乘法公式（2）
例1 已知a-b=2,b-c=1,求代数式222a b c ab bc ac ++---的值。
例2 已知a 、b 、c 为有理数，且满足28,16,a b c ab =-=-求a.b.c 的值。
例3 已知2310,x x -+=试求下列各式的值： （1）221x x + （2）331x x + (3) 4
4
1x x +
例4 已知x 、y 满足x 2十y 2十
4
5
＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值．
例5 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数． 证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．
巩固练习
1、 若23231,6751999x x x x x -=+-+求代数式的值为
2、如果：=-==+-222)32,5,0168y x x y xy x 则（且
3、计算：24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++=
4、若942++mx x 是一个完全平方式，则m 的值为 。
5、当x = ，y = 时，多项式11249422-+-+y x y x 有最小值，此时这个最小值是 。
6、()()()()()121212121232842+??????++++的个位数字是 。
7、若()()[]1320122
---=+++ab ab ab b b a ，则的值是 。
8、计算()()123123-++-y x y x 的结果为 。 9、若x
x x 2
04412，则=+-的值为 。
10、多项式621
143--++b a ab a m 是一个六次四项式，则=m 。
11、若代数式5021422++-+y x y x 的值为0，则=x ，=y 。 12、已知052422=+-+-b b a a , 求 b a 、的值
13、已知a,b,c 是三角形的三边，且a 2+b 2+c 2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状
14、已知2
242
212,22322
a a a a a a =++++求的值
四 作业
1．观察下列各式：
(x 一1)(x+1)＝x 2一l ； (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；
(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．
根据前面的规律可得 (x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．
2．已知052422=+-++b a b a ，则b
a b
a -+= ．
3．计算：
(1)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 =
(2)
2
19991999
19991997199919982
22
-+ ．
4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式
5．已知51
=+a
a ，则2
241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )． A ．一15 B ．一2 C ．一6 D ．6
7．乘积)20001
1)(199911()311)(211(2
222--
--Λ等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．4000
2001
8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )． A ．4 B ．20022 C ． 22002 D ．42002
9．若01132=+-x x ，则441
x
x +
的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．7
10．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．
A ．))((22b a b a b a -+=-
B ．2222)(b ab a b a ++=+
C ．2222)(b ab a b a +-=-
D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+
11．(1)设x+2z ＝3y ，试判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．
(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)．
12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．
13．观察：2514321=+??? 21115432=+??? 21916543=+???
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．
14．你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．
(1)通过计算，探索规律．
152 =225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；
352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成；852＝7225可写成．
(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．
(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝．
第三章因式分解
【知识点归纳】
1.把一个多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；
2.恒等变形；
3.分解彻底。）
2.几个多项式的称为它们的公因式。
3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（）
4.找公因式的方法：
找公因式的系数：取各项系数绝对值的。
确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的的。
5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。
【典型例题】
1．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
2．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
3．已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）；a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1．
4、先化简，再求值：，其中
5、已知能被
整除，其商式为
，求m、n的值。
6、已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断
的符号吗？
第六讲因式分解（一）
【例题精讲】
◆例1：（1）4x（a－b）＋（b2－a2）；（2）（a2＋b2）2－4a2b2；（3）x4＋2x2－3；（4）（x＋y）2－3（x＋y）＋2；
（5）x 3－2x 2－3x ； （6）4a 2－b 2＋6a －3b ；
（7）a 2－c 2+2ab +b 2－d 2－2cd （8）a 2－4b 2－4c 2－8bc
◆例2：分解因式：
（1）()()10342424+++-+x x x x
（2）()()()()26321x x x x x +++++
（3）()199911999199922---x x
【巩固】分解因式：
1、()()122122-++++x x x x ；
2、()()
222
2284384x x x x x x ++++++；
3、()()()()21131216x x x x x +----；
4、分解因式：()()()2
122-+-+-+xy y x xy y x ；
◆例3：把下列各式分解因式：
1、()()()b a c a c b c b a -+-+-222；
2、67222-+--+y x y xy x 。
【巩固】分解因式：
1、()()12
2++-+b a b a ab ； 2、613622-++-+y x y xy x 。
◆例4：分解因式：4323+-x x 。
【巩固】分解因式：
1、4224y y x x ++；
2、4464b a +；
【拓展】分解因式：432234232b ab b a b a a ++++。
◆例5：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式()A y x ++2，
()B y x +-2乘积的值，则=+B A ______________。
◆例6：分解因式：613622-++-+y x y xy x 。
【巩固】分解因式：
1、25222-+---y x y xy x ；
2、4925322-++-+y x y xy x ；
【拓展】
1、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？
2、多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，试确定b a +的值。
3、求证：22328y xy x --可以化为两个整系数多项式的平方差。
【作业】
1、分解因式：=+-2232ab b a a ___________________________；
2、分解因式：=-+-9222y xy x ________________________________；
3、分解因式：()()=-++++122122x x x x ___________________________________；
4、已知c b a 、、满足5=+b a ，92-+=b ab c ，则=c _______________；
5、分解因式：32422+++-b a b a 的结果是____________________________________；
6、已知()1552-++-a x a x 能分解成两个整系数一次因式的乘积，求a 的值。
7、把下列各式分解因式：
（1）142222+---y x xy y x ； （2）2225408b ab ax x ---；
浙教版七年级下《第4章因式分解》单元培优试题有答案-(数学)
浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题 班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10 C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（） A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（） A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是（） A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2 C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4) 5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（） C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+1 4 y2 6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1 8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（） A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2 9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：
八年级数学上册 因式分解40题 培优练习卷(含答案)
2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式：6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式：1-16y4. 3、分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式：x3-4x2-45x. 7、分解因式：(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式：(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式：(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2 10、分解因式：x4－y4 11、分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式：(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式：4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式：4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式：x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式：36a2-(a2+9)2. 17、分解因式：2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式：10b(x－y)2－5a(y－x)2； 19、分解因式：x2-2xy+y2-9. 20、分解因式：(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式：(a 2+1)2-4a2 22、分解因式：(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式：(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式：a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋25. 26、分解因式：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)； 27、分解因式：9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式：9(m+n)2-4(m-n)2.
因式分解培优练习题及答案
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2
因式分解培优复习进程
因式分解培优
分解因式 一、分解因式的定义：（关键：看等号右边是否为几个整式的积的形式） 二、分解因式一般步骤：一提、二套、三分、四查 三、分解因式常用方法： Ⅰ、提公因式法：（关键：确定公因式） ma +mb +mc = 。 Ⅱ、运用公式法：（关键：确定a 、b ） ①平方差公式：22a b -= ②完全平方公式： 22 2a ab b ±+= 。 （一）将下列多项式因式分解（填空） 1、 _______________________2、322363x x y xy -+=___________________ 3、=__________________4、 =________________ 5、= ___________________ 6、= （二）分解因式（写出详细过程） 1、)()()(23m n n m n m +--+ 2、 3、 4、2222224)(b a b a c --- （三）已知x 、y 都是正整数，且，求x 、y 。 （四）化简：，且当时，求原式的值。
Ⅲ、十字相乘法： （一）二次项系数为1的二次三项式：))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++ 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 1、分解因式：（1）652++x x （2）276m m -+ (3)1522--y y (4)245a a +- 2、分解因式(1)2 223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a -- （4）221288b ab a -- （5）10)(3)(2 -+-+y x y x （二）二次项系数不为1的二次三项式：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 1、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y 2、分解因式（1）17836--x x （2）8622+-ax x a （3）2 2151112y xy x --
(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
初中数学因式分解培优训练
第一讲:因式分解(一） 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必 需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. １.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)； (2）a2±２ab+b２=(a±b)２; （3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)； (4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）． 下面再补充几个常用的公式： (５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2； （6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ); (7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数； (8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数; (9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式: (１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4； (2)x3-８y3-z３-6xyz; (3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab; 7５2２５7 ＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2] ＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２ =-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２． （２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ) =(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ). （3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2 =(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b) =(a-b+c）2 （4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7) =ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2） =(a2-b2）（a5+b５） =（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4) 例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3 的正确性，现将此公式变形为 ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导． 解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc =[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ) ＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c) =(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推
培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)
3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：
因式分解培优专题
把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解： 一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。 解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自 然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解： 5、中考点拨： 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：
八年级数学下培优卷因式分解
八年级数学下培优卷：因式分解 知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ） ①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4 ③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ． a 2x ﹣（﹣1） B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22x D ． x 21=（1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣； ③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（ ） A ． 9a 2b B ． 92 C ． a 2b 2 D ． 182 3．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（ ） A ． ﹣22 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ． （a ﹣1）（p 2） B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2） C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 ． 8、不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x
因式分解培优专题(一)
初三数学因式分解培优专题（一） 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 9875211368 9874561368 9872681368 987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有9871368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解： 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解：
(完整)因式分解提高培优
因式分解拓展提高(1) ① 2 x 7x 6 ; ②3x 2 2x 1 ； ③ x 2 5x 6 ； ④ 4x 2 5x 9; 2 ⑤15x 23x 8 ； ⑥ x 4 11x 2 12 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D .5个 -二、填空题 7 . 2 x 3x 10 & 2 m 5m 6 (m + a)(m + b). a = ,b = 9 . 2x 2 5x 3 (x — 3)( ). 10 2 .x 2y 2 (x — y)( ____ ). 11. a 2 -a ( _________ ) ( _________ 2. m 12 .当k= _____ 时，多项式3x 2 7x k 有一个因式为( ___________ 17 3 22 3 13 .若x — y = 6, xy ，则代数式x y 2x y xy 的值为 36 三、解答题 14 .把下列各式分解因式： (1) x 4 7x 2 6 ； (3) 4x 4 65x 2 y 2 16y 4 ； (5) 6a 4 5a 3 4a 2 ； 4 2 (2) x 5x 36 ; (4) a 6 7a 3b 3 8b 6 ； (6) 4a 6 37a 4b 2 9a 2b 4. 15 .把下列各式分解因式： 2 2,2 (1) (x 3) 4x ； 2 2 2 2 一、选择题 1.如果X 2 px q (x a)(x b)，那么p 等于 A . ab 2 2.如杲 x (a b) x 5b C . — ab 2 x x 30，贝y b 为 D . - (a + b) B . — 6 C . — 5 D . 6 3.多项式x 2 3x a 可分解为(x — 5)(x — b)，则a , b 的值分别为 A . 10 和一2 B . — 10 和 2 C . 10 和 2 D . — 10 和一2 4.不能用十字相乘法分解的是 A . x 2 x 2 C . 4x 2 x 2 B . 3x 2 10x 2 3x D . 5x 2 6xy 8y 2 5. 分解结果等于(x + y — 4)(2x + 2y — 5)的多项式是 A . 2(x y)2 13(x y) 20 B . (2x 2y)2 13(x y) 20 C . 2(x y)2 13(x y) 20 D . 2(x y)2 9(x y) 20 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x — 1的多项式有 () () () () () () .). (2) x 2(x 2)2 9; (4) (x 2 x)2 2 17(x x) 60 ；
七年级数学因式分解培优试题
1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解： （1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧 趣题引路】 你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l, 指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式 =V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1) )‘一1 x-l x2 + X + 1 = (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1) 一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展. 知识拓展】 因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分. “例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是 因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等. 本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.
因式分解提高培优
一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________， b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22 ____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： （1）6724+-x x ； （2）3652 4--x x ； （3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）4 22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式： （1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2； （2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++． 17．已知6019722 3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．
因式分解方法培优试题
2015年因式分解方法培优试题 专题一、（1）提公因式法. （2）运用公式法. 例（1）分解因式 （2） 专题二、分组分解法 在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。 （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、（1）分解因式：ay ax y x ++-2 2（2）2 222c b ab a -+- 例4、已知x －2y ＝3，求 的值。 专题三、配方法 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式． 例5、分解因式：34442 2-+--y y x x
练习5（1）分解因式：3242 2+++-b a b a 的结果是 ． （2）若25)(22 2++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． 专题四、十字相乘法 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合 条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a 、b 、c 都是整数，且 ）来说，如果存在四 个整数满足 ，并且，那么二次三 项式 即 可以分解为 。 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复 杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 例6、分解因式：652 ++x x 练习6、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 例7、分解因式：672+-x x 练习7、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例8、分解因式：101132+-x x 练习8、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
超级资源：(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案(15套)
超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式
变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= = ?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() 对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：
因式分解培优提高题用
1、因式分解： （1）34x x - （2）42 82a a - （3）22 33m n m n --- （4）2 2 24x xy y ++- （5）2 25x xy x +- （6）2 2 25x y xy xy +- （7）432 462x x x --+ （8）4 2 3 4 462x y x y xy --+ （9）()()2232a x y b x y --- （10）()()()223242a x y b y x c x y ----- （11）()()2 2 4292a b a b --+ （13）22111439 x xy y -+- （12）()()2961a b a b ++++ （13）22111439 x xy y -+-
（14）()()() 22 2316131p x y p x y p x +++++2 15(2)(3)4x x x +++-（） （16）y y x x 3922--- （17）yz z y x 22 22--- （18）652++x x （19）672 +-x x （20）101132+-x x （21）6752 -+x x 2、求证：不论x 、y 为何有理数，2 2 10845x y x y +-++的值均为正数。 3、若a 为整数，证明()2 211a +-能被8整除。 4、计算：3232 2002220022000 200220022003 -?-+-
5、已知22 26100a a b b ++-+=，求a 、b 的值。 6、 如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干，如果要拼一个长为(a ＋2b)、 宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 ． 利用1个a a ?的正方形，1个b b ?的正方形和2个a b ?的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________. 7、 给出三个多项式： 21212x x +-，21412 x x ++，21 22x x -．请选择你最喜欢的两个 多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8、在三个整式2 2 2 2,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得 整式可以因式分解，并进行因式分解． 9、当a 、b 的值为多少时，多项式2 2 3625a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值。 10、若一个三角形的三边长a ，b ，c ，满足2 2 2 2220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的