高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案

抛物线及其标准方程导学案

【学习要求】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程.

【学法指导】

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

【知识要点】

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2

探究点一 抛物线定义

如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边

上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？

问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？

问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？

问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？

例1 方程[]

2

2)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线

（2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线

探究点二 抛物线的标准方程

问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？

问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？

问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？

例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0).

跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．???

?7

16，0 B ．????－74，0 C ．???

?－7

16，0

D ．?

???0，－7

4 （2）抛物线y ＝－1

4x 2的准线方程是 ( )

A ．x ＝1

16

B ．x ＝1

C ．y ＝1

D ．y ＝2

例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)；

（3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.

跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、

抛物线方程及其准线方程.

探究点三 抛物线定义的应用

例4 已知点A (3,2)，点M 到F ????12，0的距离比它到y 轴的距离大12

. （1）求点M 的轨迹方程；

（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716

B ．1516

C ．78

D ．0

（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．

172

B ．3

C ． 5

D ．92

【当堂检测】

1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y

2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p

2)，则点M 的横坐标是 ( )

A ．a ＋p

2

B ．a －p

2

C ．a ＋p

D ．a －p

3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2

B ．3

C ．115

D ．3716

4．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________

【课堂小结】

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).

【拓展提高】

1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =

2．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，

那么AB =（ ）

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )

A ．y 2＝9x

B ．y 2＝6x

C ．y 2＝3x

D ．y 2＝3x

4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为

【课后作业】

一、基础过关

1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是

( )

A ．(2,0)

B ．(－2,0)

C ．(4,0)

D ．(－4,0)

2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2

2＝1上，则抛物线方程为 ( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝4x

C ．y 2＝2x

D ．y 2＝±8x

3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为

( )

A ．12

B ．1

C ．2

D ．4

4．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为

( )

A ．圆

B ．抛物线和一条射线

C ．椭圆

D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y

29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.

6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.

7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升

8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )

A ．12

B ．1

C ．32

D ．2

9．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是

( )

A ．(0,2)

B ．[0,2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－

3，那么|PF |＝________.

11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.

12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？

三、探究与拓展

13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.

抛物线的简单几何性质（一）导学案

【学习要求】

1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.

2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.

【学法指导】

结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.

【知识要点】

1

2

直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋

p

2，|BF|＝x2＋

p

2，故|AB|＝

3．直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.

【问题探究】

探究点一抛物线的几何性质

问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？

问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？

例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()

A．?

?

?

?

1

4，±

2

4

B．?

?

?

?

1

8，±

2

4

C．?

?

?

?

1

4，

2

4

D．?

?

?

?

1

8，

2

4

跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________

探究点二抛物线的焦点弦问题

例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.

（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.

跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.

探究点三直线与抛物线的位置关系

问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？

例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.

【当堂检测】

1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()

A ．p 2

B ．p

C ．2p

D ．无法确定

2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值

范围是( ) A ．???

?－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]

3．抛物线y ＝4x 2

上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( ) A ．(1,2)

B ．(0,0)

C ．????

12，1

D ．(1,4)

4．已知过抛物线y 2

＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______

【课堂小结】

1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物

线的方程.

2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.

【拓展提高】

1．若双曲线22

21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．

2．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若

4OA AF ?=-，则点A 的坐标为（ ）

A ．)22,2(±

B ．)2,1(±

C ．)2,1(

D ．)22,2(

3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。

【课后作业】

一、基础过关

1．设点A 为抛物线y 2

＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为 ( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或2 2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为

( )

A ．y 2

＝8x

B ．y 2

＝－8x

C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x

D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y

3．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2

x 1x 2的值是( )

A ．4

B ．－4

C ．p 2

D ．－p 2

4．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1

等于

( ) A ．45° B ．90° C ．60° D ．120° 5．等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则Rt △AOB 的面积是 ( ) A ．8p 2

B ．4p 2

C ．2p 2

D ．p 2

6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________. 7．如图所示是抛物线形拱桥，

当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m.水位下降1 m 后，水面宽________ m. 二、能力提升

8．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ， 交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )

A ．y 2＝3

2x B ．y 2＝3x

C ．y 2＝9

2

x D ．y 2＝9x

9．已知△ABC 的三个顶点都在y 2＝32x 上，A (2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率是________.

10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长.

11．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线.求抛物线的方程.

12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 1

（1）求该抛物线的方程；

（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →

，求λ的值.

三、探究与拓展

13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦.

求证：（1）y 1y 2＝－p 2

；x 1x 2＝p 2

4

；

（2）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

抛物线的简单几何性质（二）导学案

【学习要求】

1．提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性. 2．学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题.

【学法指导】

结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.

【双基检测】

1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x

2．已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( ) A ．???

?－1

4，1

B ．(－2,22)

C ．???

?－1

4，－1

D ．(－2，－22)

3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在

4．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.

【问题探究】

题型一 抛物线的标准方程

例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 2

9＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求

抛物线的方程及准线方程.

跟踪训练1 求以双曲线x 28－y 2

9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.

题型二 抛物线的几何性质

例2 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.

跟踪训练2 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两 点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .

题型三 抛物线中的定值、定点问题

例3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.

跟踪训练3 A 、B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点.

【当堂检测】

1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线

2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).

能使这条抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号). 4．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为________.

【课堂小结】

求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.

【拓展提高】

1．已知抛物线)0(22

>=p px y 与)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，

且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ ）

A ．)6

,0(π

B ．)4,6(ππ

C ．)3,4(ππ

D ．)2,3(ππ

2．已知抛物线y x 42

=，则以??? ?

?

-25,1为中点的弦所在的直线方程是（ ）

A ．062=+-y x

B ．042=-+y x

C ．0924=+-y x

D ．0124=-+y x 3．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是

4．已知直线k x y +=2被抛物线y x 42

=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点 （1）求实数k 的值

（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，ABC ?面积最大？

【课后作业】

一、基础过关

1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为

( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－2 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|P 1F |，|P 2F |，|P 3F |成等差数列，则有

( )

A ．x 1＋x 2＝x 3

B ．y 1＋y 2＝y 3

C ．x 1＋x 3＝2x 2

D ．y 1＋y 3＝2y 2 3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →

与x 轴正向的夹角为60°，

则|OA |为

( )

A ．214

p

B ．

212

p

C ．

136

p

D ．1336

p

4．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于 ( )

A ．18

B ．14

C ．12

D ．1

5．已知F 是抛物线y ＝1

4

x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )

A ．x 2＝2y －1

B ．x 2＝2y －1

16

C ．x 2＝y －1

2 D ．x 2＝2y －2

6．抛物线x 2

＝ay (a ≠0)的焦点坐标为__________.

7．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2).若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________. 二、能力提升

8．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值是 ( )

A ．3－1

B ．10

2

－1

C ．2

D ．

11

2

－1 9．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于

点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF

S △ACF ＝________.

10．根据条件求抛物线的标准方程.

（1）抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x ＋y ＋2＝0上； （2）抛物线的顶点在原点，焦点是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心.

11．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上.又知此抛物线上一点A (1，m )到焦点的距离为3. （1）求此抛物线的方程；

（2）若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.

12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点.

（1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →

的值；

（2）如果OA →·OB →

＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点.

三、探究与拓展

13．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点.

（1）直线l 的斜率为22，求证：F A →·FB →

＝0；

（2）设直线F A 、FB 的斜率为k F A 、k FB ，探究k F A 与k FB 之间的关系并说明理由.

章末复习课

【知识网络】

【题型解法】

题型一 圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.

研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题. 例1 若点M (2,1)，点C 是椭圆x 216＋y 2

7＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值是________

跟踪训练1 已知椭圆x 29＋y 2

5＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上

一点，求|PA |＋|PF 1|的最大值.

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.

例2 已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2

3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( )

A ．x ＝±15

2

y

B ．y ＝±152x

C ．x ＝±3

4

y

D ．y ＝±3

4

x

跟踪训练2 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2

9＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标

为________；渐近线方程为__________.

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行.

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题.

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等.

例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为6

3，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为

3

2

，求△AOB 面积的最大值. 跟踪训练3 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)且(a ＋3b )⊥(a －3b ). （1）求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；

（2）设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围.

【当堂检测】

1．已知F 1、F 2为双曲线x 25－y 2

4＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支上，则|AP |

＋|AF 2|的最小值为

( ) A ．37＋4

B ．37－4

C ．37－2 5

D ．37＋2 5

2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2

9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，

则双曲线的方程为__________

3．一动圆与圆(x ＋3)2＋y 2＝1外切，又与圆(x －3)2＋y 2＝9内切，则动圆圆心的轨迹方程为_______________

4．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 2

2的最小值是_____

【课堂小结】

在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题.

【拓展提高】

1．若椭圆22x a +22y b

=1)0(>>b a 的左、右焦点分别为,21F F 、线段21F F 被抛物线bx y 22

=的焦点分成5：

3两段，则此椭圆的离心率为（ ）

A ．1716

B ．17174

C ．54

D ．5

5

2

2．以O 为中心，21F F 、为两焦点的椭圆上存在一点M

==,则该椭圆的离心率为（ ） A ．

33 B ．3

6

C ．32

D ．552

3．椭圆

22

12516

x y +=两焦点为21F F 、，)1,3(A 点P 在椭圆上，则PA PF +1的最大值为_____， 最小值为_____

4．设抛物线过定点)0,2(A ，且以直线2-=x 为准线 （1）求抛物线顶点的轨迹C 的方程

（2）已知点)5,0(-B ，轨迹C 上是否存在满足0=?的N M ,两点？证明你的结论

5．已知椭圆:

E 22

221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切。

（1）求椭圆E 的方程

（2）若过椭圆E 左焦点的直线与椭圆E 相交于两点D C 、，与抛物线2

x y =交于B A 、，设P 为椭圆上一点，且满足O OP t OB OA (=+为坐标原点）

，当???

???∈-324,9

210时，求实数t 的取值范围

课后作业参考答案

2.4.1 抛物线及其标准方程参考答案

1.B

2.D

3.C

4.B

5.y 2

＝16x 6.y ＝3

7.解 由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2px (p >0).把A (－2，－4)，代入x 2＝－2py 或y 2

＝－2px 得p ＝1

2或p ＝4.

故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x .

当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ????0，－14，准线方程是y ＝1

4；当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2. 8.B 9.C 10. 8 11.y 2

＝±8x

12.解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的

方程为x 2＝－2py (p >0)，

因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，

所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上，

所以16＝－5y 0，即y 0＝－16

5

，

所以OA 的长为5－16

5＝1.8 (m).

所以管柱OA 的长为1.8 m.

13.解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，

则其准线为x ＝－p

2.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p

2＝8，

即x 1＋x 2＝8－p .

∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，

∴|QA |＝|QB |，即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，

又y 21＝2px 1，y 2

2＝2px 2，

∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.

故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x .

2.4.2 抛物线的简单几何性质(一)参考答案

1.B

2.C

3.B

4.B

5.B

6.8

7.26

8.B

9.－4

10.解 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分 别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则y 21＝2px 1，y 2

2＝2px 2.

又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0.

整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2.

由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称.

由此得∠AOx ＝30°，∴y 1＝3

3x 1.

与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p ， ∴|AB |＝2y 1＝43p .

11.解 画图可知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，

直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ， 由?

????

y 2＝2px x ＝ky ＋m 消去x ，整理得y 2－2pky －2pm ＝0， 由根与系数的关系得y 1y 2＝－2pm ， 由已知条件知|y 1|·|y 2|＝2m ， 从而p ＝1，故抛物线方程为y 2＝2x .

12.解 (1)直线AB 的方程是y ＝22·???

?x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p

4

，由抛物线定义得

|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，抛物线方程为y 2

＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0，化简得x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，

从而A (1，－22)，B (4,42). 设OC →

＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)，

又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2

＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2

＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 13.证明 如图所示.

(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ????p 2，0，准线方程：x ＝－p

2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p

2，把它代入y 2＝2px ，

化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，

∴x 1x 2＝y 212p ·y 2

22p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 2

4

.

(2)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1. 则|CC 1|＝1

2

·(|AA 1|＋|BB 1|)

＝12(|AF |＋|BF |)＝12·|AB |. ∴以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

2.4.2 抛物线的简单几何性质(二)参考答案

1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.????0，a 4

7.342

8.D

9.45

10.解 (1)直线x ＋y ＋2＝0与x ，y 轴的交点坐标分别为(－2，0)和(0，－2)，所以抛物线的标准方程可设为

y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)，由－p

2＝－2，得p ＝4，

所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x 或x 2＝－8y . (2)圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心为(2,0)， 故抛物线方程的形式为y 2＝2px (p >0).

由p

2＝2得p ＝4，所以所求抛物线方程为y 2＝8x . 11.解 (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，

其准线方程为x ＝－p

2，

∵A (1，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离.

∴1＋p

2＝3，∴p ＝4.

∴此抛物线的方程为y 2＝8x .

(2)由?????

y 2＝8x y ＝kx －2

，消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，

∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A 、B ，

则有?

????

k ≠0Δ>0，解得k >－1且k ≠0.

又∵x 1＋x 2＝4k ＋8

k

2＝4，

解得k ＝2或k ＝－1(舍去). ∴所求k 的值为2.

12.(1)解 由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.

(2)证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0， ∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0).

13.(1)证明 ∵Q ???

?－p

2，0， ∴直线l 的方程为y ＝22

????x ＋p 2，由?????

y ＝22????x ＋p 2y 2＝2px

.

消去x 得y 2－22py ＋p 2＝0.

解得A ? ????3＋222p ，(2＋1)p ，B ? ??

??3－222p ，(2－1)p .

而F ????p 2，0，

故F A →＝((1＋2)p ，(1＋2)p )， FB →

＝((1－2)p ，(2－1)p )， ∴F A →·FB →＝－p 2＋p 2＝0. (2)解 k F A ＝－k FB 或k F A ＋k FB ＝0.

因直线l 与抛物线交于A 、B 两点，

故直线l 方程：y ＝k ???

?x ＋p

2 (k ≠0). 由???

??

y ＝k ????x ＋p 2y 2＝2px

，消去x 得ky 2－2py ＋kp 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝p 2. k F A ＝y 1x 1－p 2，k FB ＝y 2

x 2－

p 2，

∴k F A ＝p 2y 2y 212p －p 2＝p 2y 2????p 2y 222p －p 2＝y 2

p 2－y 222p

＝－k FB .