高二数学演绎推理综合测试题

选修2-2 2.1.2 演绎推理

一、选择题

1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

[答案] B

[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.

2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )

A．大前提错

B．小前提错

C．结论错

D．正确的

[答案] D

[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.

3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是

( )

A．类比推理

B．归纳推理

C．演绎推理

D．一次三段论

[答案] C

[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

4．“因对数函数y＝log a x(x>0)是增函数(大前提)，而y＝log 1

3 x

是对数函数(小前提)，所以y＝log 1

x是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

[答案] A

[解析] 对数函数y＝log a x不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．

5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )

A．①

B．②

C．③

D．①②

[答案] B

[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.

6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )

A．①

B．②

C．①②

D．③

[答案] B

[解析] 易知应为②.故应选B.

7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )

A．大前提错

B．小前提错

C．推论过程错

D．正确

[答案] C

[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.

8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )

A．正确

B．推理形式正确

C．两个自然数概念不一致

D．两个整数概念不一致

[答案] A

[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.

9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )

[答案] A

[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一

概念S，这时三者的包含可表示为；

如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时

三者的关系应为．故应选A.

10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整

数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但大前提使用错误

D．使用了“三段论”，但小前提使用错误

[答案] D

[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．

二、填空题

11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．[答案] log2x－2≥0

[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.

12．以下推理过程省略的大前提为：________.

∵a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.

[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c

[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.

13．(2010·理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝1

，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.

[答案] 1

[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①

令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ② 由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2)

∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6) 即f (x )周期为6，

∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)

对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12即f (2010)＝1

14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．

[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 [解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝1

S △AOB ·h ，

又S △AOB ＝1

|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．

因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．

三、解答题

15．用三段论形式证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，则∠B ＝∠C .

[证明] 如下图延长AB ，DC 交于点M .

①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中AD ∥BC 小前提

③MB BA ＝MC

结论 ①等量代换大前提 ②AB ＝CD 小前提

③MB＝MC结论

在三角形中等边对等角大前提

MB＝MC小前提

∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论

等量代换大前提

∠B＝π－∠1 ∠C＝π－∠2小前提

∠B＝∠C结论

16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．

[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提

∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提

∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论

17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．

若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，数a的值．

[解析] 推理的第一个关键环节：

大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，

小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，

结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．

∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．

推理的第二个关键环节：

大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，

小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，

结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.

以下可得出结论a＝－4.

18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．

(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值围．

[解析] (1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.

∴上述条件等价于

y1＝y2?x21＝x22?(x1＋x2)(x1－x2)＝0.

∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过

点A、B的直线方程为y＝－1

2x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋

－m＝0，得x1＋x2＝－1

4 .

A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝1

4＋

8m>0，即m>－1

.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则

x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，

y 0＝－12x 0＋m ＝1

＋m .

由N ∈l ，得116＋m ＝－1

4＋b ，于是

b ＝516＋m >516－132＝9

即得l 在y 轴上截距的取值围是? ??

??932，＋∞.