最经典最简约的面向计算机科学的数理逻辑复习笔记
该笔记适用于任何版本的数理逻辑！
绪论
一、数理逻辑研究什么？
★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的
二、数理逻辑如何研究？
★形式语言
第一章预备知识
第一节集合
一、集合
1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素）
2、有序偶和笛卡儿集
二、关系
1、概念：集合S上的n元关系R
2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R）
三、函数（映射）
1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f）
2、概念：f（x）（函数f在x处的值）
3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射
四、等价
1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递）
2、概念：元素x的R等价类
3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S）
五、基数
1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的）
2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数）
3、概念：可数无限集
第二节归纳定义和归纳证明
一、归纳定义
1、集合的归纳定义
⑴、直接生成某些元素
⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素
⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了
2、典例：自然数集N的两个归纳定义
二、归纳证明
1、归纳定理：设R是一个性质，如果
⑴、R（0）
⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’）
那么，对于任何n∈N，都有R（n）
2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明
3、概念：串值归纳法及其变形
三、递归定义
1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数）
在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数
f（0）＝g（0）
f（n’）＝h（f（n））
2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）
第二章经典命题逻辑
第一节联结词
一、基本概念
1、概念：命题（陈述句+确定值）（要么是真，要么是假）
2、概念：简单命题和复合命题（区分的关键）
3、小结：只考虑复合命题的真假是如何确定的
二、联结词
1、非A：
2、A与B：A为真并且B为真
3、A或B：A为真或B为真（A为真或B为真或AB同时为真）
4、A蕴涵B：如果A真，则B真（并非A假B真）
5、A等值于B：如果A蕴涵B，同时B蕴涵A
第二节命题语言
一、基本概念
1、概念：命题语言（命题逻辑使用的形式语言）
2、归纳：命题语言的三类符号（命题符号＋联结符号＋标点符号）
3、概念：表达式、长度、空表达式、两个表达式相等
4、概念：段、真段、初始段、结尾段
二、基本概念
1、定义：原子公式，记为Atom（L P）（单独一个命题符号）
2、定义：公式，记为Form（L P）（经典归纳定义及其两种变形）
★经典定义容易理解，然而两种变形更容易使用
3、定理：如何证明L P的所有公式都满足R性质？
★关键：假设S={A∈Form（L P）| R（A）}
4、概念：对公式的结构做归纳（上述归纳证明）
三、习题解析
1、关键：利用二叉树表示公式的生成过程
2、关键：蕴涵有多种不同的叙述方式（关键：分清楚充分条件和必要条件）
⑴、◆如果p，则q
⑵、◆只要p，则q
⑶、◆p仅当q
⑷、◆只有p，才q
⑸、◆除非p，否则q（思路：想方设法转化为上述情形）
第三节公式的结构
一、引理
1、引理1：L P的公式是非空的表达式
2、引理2：在L P的每个公式中，左括号和右括号出现的数目相同
3、引理3：真初始段不是公式（在L P的公式的任何非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多。因此，L P的公式的非空的真初始段不是L P的公式（同理分析真结尾段））
二、定理
1、定理：L P的每个公式恰好具有以下6种形式之一；并且在各种情形中，公式所具有的那种形式是唯一的
★注意：仔细分析其证明过程
2、推论：L P的公式的生成过程是唯一的
3、概念：否定式、合取式、析取式、蕴涵式、等值式
三、辖域
1、概念：辖域、左辖域、右辖域
2、定理：任何A中的任何辖域存在并且唯一
3、性质：如果A是B中的段，则A中的任何联结符号在A中的辖域和它在B中的辖域是相同的
4、定理：如果A是（?B）的段，则A＝（?B）或者A是B中的段；如果A是（B*C）中的段，则A＝（B*C）或者A是B或C中的段
四、其它
1、算法：判断一个L P的表达式是不是公式的算法
2、符号的省略：最外层括号＋其它形式的括号＋联结符号的优先级
五、习题解析
?
第四节语义
一、基本概念
1、概念：真假赋值
2、概念：公式的真假值A V（真假赋值v给公式A指派的真假值＋递归定义）
3、定理：对于任何A∈Form（L P）和任何真假赋值V，A V∈{0，1}
★关键：如何证明L P的所有公式都满足R性质？
二、基本概念
1、概念：∑V（∑表示公式集）
2、概念：∑是可满足的（存在V，使得∑V＝1）
★注意：∑是可满足的蕴涵∑中的所有公式都是可满足的，但逆命题不成立
3、概念：A是重言式、A是矛盾式
4、概念：A的真假值表（真假赋值V给公式A指派的值，仅涉及V给A中出现的不同的命题符号所指派的值）
5、性质：简化公式（熟练掌握简化公式）
三、习题解析
1、性质：联结符号?满足交换律和结合律
2、性质：A是重言式，则A?B是重言式当且仅当B是重言式
第五节逻辑推论
一、逻辑推论
1、符号：∑╞A（A是∑的逻辑推论，读作∑逻辑地蕴涵A）
2、概念：∑╞A，当且仅当对于任何的逻辑赋值V，如果∑V＝1，则A V＝1
3、概念：∑|≠A（存在逻辑赋值V，使得∑V＝1，A V＝0）
4、特殊情况：?╞A（这时存在着性质：A是重言式）
5、概念：逻辑等值公式A|＝|B
6、例题分析：注意找到捷径和方法
⑴、如何证明一个逻辑推论是成立的（直接证明或者反证法）
⑵、如何证明一个逻辑推论是不成立的（构造出这样的真假赋值V，使得∑V＝1，A V＝0）
二、定理
1、性质：合取符号和析取符号都满足交换律和结合律
2、定理：
⑴、A1，…，An╞A，当且仅当?╞A1∧…∧An→A
⑵、A1，…，An╞A，当且仅当?╞A1→（…→（An→A）…）
3、引理：如果A|＝|A’并且B|＝|B’，则有?A|＝|?A’等5条性质
4、等值替换定理：设B|＝|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|＝|A’
5、对偶性定理：A’|＝|?A（其中A’是A的对偶）
第六节形式推演
一、形式推演
1、形式推演本质（形式推演仅涉及公式的结构，而与公式的语义无关）
2、形式推演规则（共有11条规则）
3、推论：如果A∈∑，则∑├A
二、形式可推演
1、概念：形式可推演∑├A（∑├A，当且仅当存在有限序列∑1├A1，…∑n├An，其中的每一项∑k├Ak都是由使用某一形式推演规则生成，并且∑n＝∑，An＝A）
2、概念的剖析：归纳定义
三、基础定理
1、定理：如果∑├A，则存在有限的E O∈∑，使得∑O├A（对∑├A的结构做归纳）
2、概念推广：∑├∑’（注意可以推广到无限情形）
3、推演传递定理：如果∑├∑’，∑’├A，则∑├A
四、定理集群一（每一条都要求严格证明，并且反复记忆，作为后面证明的出发点）
1、定理：（→定理群；定理2.6.4）
⑴、★★性质：A→B，A├B
⑵、★★性质：A→B，?B├?A
⑶、性质：A├B→A
⑷、性质：A→B，B→C ├A→C（蕴涵传递）
⑸、性质：A→（B→C）、A→B├A→C
2、定理：（?定理群；定理2.6.5）
⑴、★★性质：??A├A；A├??A
⑵、★★性质：如果∑，A├B；∑，A├?B，则∑├?A（归谬律，或称（?＋））
⑶、性质：A，?A├B
3、定理：（→?定理群之一；定理2.6.6）
⑴、★★性质：A→B├?B→?A（以此为基础衍生的4条性质）
⑵、★★性质：如果A├B，则?B├?A（以此为基础衍生的4条性质）
⑶、★★性质：A├B，当且仅当Φ├A→B（严格证明之）
4、定理（→?定理群之二；定理2.6.7）
⑴、性质：?A→A├A（相似性质：A→?A├?A）
⑵、性质：A→B，A→?B├?A（相似性质：A→B，?A→B├B）
⑶、性质：?（A→B）├A（相似性质：?（A→B）├?B）
五、定理集群二（每一条都要求严格证明，并且反复记忆，作为后面证明的出发点）
1、概念：语法等值公式A|－|B
2、定理（∧定理群；定理2.6.8）
⑴、★★性质：A∧B|－|A，B
⑵、性质：A∧B|－| B∧A（∧交换律）
⑶、性质：（A∧B）∧C|－| A∧(B∧C)（∧结合律）
⑷、★★★★性质：?（A∧B）|－| A→?B（相似性质：?（A→B）|－| A∧?B）
⑸、性质：?├?（A∧?A）（不矛盾律）
3、定理（∨定理群；定理2.6.9）
⑴、★★性质：A├A∨B，B∨A（最关键还是规则本身：允许在前面或后面增加∨）
⑵、性质：A∨B |－|B∨A（∨交换律）
⑶、性质：（A∨B）∨C|－| A∨(B∨C)（∨结合律）
⑷、★★★★性质：A∨B |－| ?A→B（相似性质：?A∨B |－| A→B）（分析其证明步骤）
⑸、★★性质：?（A∨B）|－| ?A∧?B（Morgen定律）
⑹、★★性质：?（A∧B）|－| ?A∨?B（Morgen定律）
⑺、性质：?├A∨?A（排中律）
4、定理（∨∧定理群；定理2.6.10）
⑴、★★性质：A∨（B∧C）|－| (A∨B)∧（A∨C)（∨∧分配律）
⑵、★★性质：A∧（B∨C）|－| (A∧B)∨（A∧C)（∧∨分配律）
⑶、性质：A→（B∧C）|－| (A→B)∧（A→C)
⑷、性质：A→（B∨C）|－| (A→B)∨（A→C)
⑸、性质：（A→B）∧C|－| (A→C)∨（B→C)
⑹、性质：（A→B）∨C|－| (A→C)∧（B→C)
5、定理（?定理群；定理2.6.11）
⑴、★★★★性质：A?B|－|A→B，B→A（严格证明）
⑵、性质：A?B|－| B?A（?交换律）
⑶、性质：A?B|－|? A??B
⑷、★★性质：?（A?B）|－|A??B
⑸、★★性质：?（A?B）|－|?A?B
⑹、性质：A?B|－|（A∨?B）∧（?A∨B）
⑺、性质：A?B|－|（A∧B）∨（?A∧?B）
⑻、性质：（A?B）?C|－|A?( B?A)（?结合律）
⑼、性质：A?B；B?C├A?C
⑽、性质：A??A├B
⑾、性质：?├（A?B）∨?（A??B）
六、定理群
1、定理：
⑴、A1，…，An├A，当且仅当?├A1∧…∧An→A
⑵、A1，…，An├A，当且仅当?├A1→（…→（An→A）…）
2、★★引理：如果A|－|A’并且B|－|B’，则有?A|－|?A’等5条性质
3、★★★★等值替换定理：如果B|－|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|－|A’
4、★★对偶性定理：A’|－|?A（其中A’是A的对偶）
第七节析取范式和合取范式
一、基本概念
1、概念：单式（原子公式或者原子公司的否定式）
2、概念：子式、析取子式、合取子式
3、概念：析取范式、合取范式
二、定理
1、定理：任何A∈Form（L P）逻辑等值于某一析取范式
2、定理：任何A∈Form（L P）逻辑等值于某一合取范式
三、基本概念
1、概念：公式A的析取范式（合取范式）
2、概念：互补公式（一个公式和它的否定式，称为互补公式）
3、定理：一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个合取子式含互补的单式
一个合取范式是重言式，当且仅当它的每个析取子式含互补的单式
4、定理：一个公式是矛盾式，当且仅当它的析取范式的每个合取子式含互补的单式
一个公式是矛盾式，当且仅当它的析取范式的每个合取子式含互补的单式
5、概念：完全析取范式、完全合取范式
四、由公式导出它的析取范式（合取范式）的方法
1、利用逻辑等值关系消去→、?等符号（等值替换定理）
2、利用逻辑等值关系进行化简
第八节联结符号的完备集
一、基本概念
1、概念：fA1…An（n元联结符号f，联结公式A1…An所构成的公式）
2、性质：对于任何的n≥1，有2∧（2∧n）个不同的n元联结符号
二、基本概念
1、概念：完备集（联结符号集称为完备的，当且仅当所有的n元联结符号都能由其中的联结符号定义）
2、定理：{?，∧，∨}是联结符号的完备集
3、推论：{?，∧}、{?，∨}、{?，→}是联结符号的完备集
4、概念：↑称为与非式，即p↑q |=| ?（p∧q）
5、概念：↓称为或非式，即p↓q |=| ?（p∨q）
6、定理：{↑}，{↓}是联结符号的完备集
第三章经典一阶逻辑
第一节量词
一、基本概念
1、概念：结构（论域＋个体＋关系＋函数）
2、★★概念：变元（以论域为变化范围的变元，用来构成关于个体的一般性命题或条件）
二、基本概念
1、概念：全称量词和存在量词（对于所有（论域中的）个体：存在（论域中的）个体）
2、概念：全称命题和存在命题（对于所有x，都有R（x）：存在x，使得R（x））
三、基本概念
1、概念：命题函数（它不是命题，只有将某一个体指派为x的值时，它才成为命题）
2、概念：自由变元、约束变元（命题函数中的变元、被量化的变元）
3、归纳：量词的作用（将n元命题函数逐步转换为命题）
四、基本概念
1、性质：论域D是有限集，可以将全称量词和存在量词，分别解释为合取和析取的推广
2、概念：受限制的量词（范围受到限制的量词：范围由原来的论域，限制为论域的某个子集）
3、性质：将受限制的量词，转换成为不受限制的量词（受限制的全称量词：全称量词＋蕴涵、受限制的存在量词：存在量词＋合取）
4、概念：一阶逻辑和高阶逻辑（个体变元和个体量词/集的变元和量词）
第二节一阶语言
一、基本概念：一阶语言的八类符号
1、个体符号：a、b、c
2、关系符号：F、G、H（n元关系符号、相等符号（特殊的二元关系符号））
3、函数符号：f、g、h（m元函数符号）
4、自由变元符号和约束变元符号（u、v、w和x、y、z）
5、联结符号（5类联结符号）
6、量词符号（全称量词符号?、存在量词符号?）（量词、全称量词、存在量词）
7、标点符号（左括号、右括号和标点）
二、基本概念：项
1、概念：t∈Term（L），当且仅当它能由（有限次使用）以下的⑴、⑵生成：
⑴、a、u∈Term（L）（单独一个个体符号是项、单独一个自由变元符号是项）
⑵、如果t1，…tn∈Term（L），并且f是n元函数符号，则f（t1，…tn）是项
2、概念：闭项（不含自由变元符号的项）
3、概念：对项的结构作归纳（如何证明Term（L）中所有的元都具有某个性质）
三、基本概念：原子公式
1、概念：L的表达式是Atom（L）中的元，当且仅当它有⑴、⑵两种形式之一
⑴、F（t1，…tn），其中F是n元关系符号，并且t1，…tn∈Term（L）
⑵、≡（t1，t2）（可以更直观的简写为：t1≡t2）
2、注意：原子公式不是归纳定义
四、基本概念：公式
1、概念：U（s1，…，sn）表示符号s1，…，sn出现在表达式U中
2、概念：A∈Form（L），当且仅当它能由（有限次使用）以下的⑴～⑷生成：
⑴、Atom（L）∈Form（L）
⑵、如果A∈Form（L），则（?A）∈Form（L）
⑶、如果A、B∈Form（L），则（A*B）∈Form（L）
⑷、如果A（u）∈Form（L），x不在A（u）中出现，则?xA（x），?xA（x）∈Form（L）
3、概念：闭公式（语句）（不含自由变元符号的公式）
4、概念：拟公式（与公式结构相似的表达式、拟公式不是公式）
5、概念：对公式的结构作归纳
五、定理群1
1、定理1：L的任何项恰好具有以下三种形式之一：
2、定理2：如果t是f（t1，…tn）的段，则t＝f（t1，…tn）或t是ti的段
3、定理3：L的任何公式恰好具有以下八种形式之一：
六、定理群2
1、概念：全称公式、存在公式（全称公式：?xA（x），存在公式：?xA（x））
2、概念：量词的辖域（如果?xA（x）是B的段，则称A（x）是?x在B中的辖域）
3、性质：量词的辖域是拟公式，联结符号如果出现在量词的辖域中，则可能是拟公式
4、定理1：L的任何公式中任何全称量词或存在量词有唯一的辖域
5、定理2：如果A是?xB（x）中的段，则A＝?xB（x）或是?xB（x）的段
第三节语义
一、基本概念：一阶语言的解释（后面五类符号，在所有一阶语言中都是相同的）
1、一阶语言和某个结构有联系（一阶语言是用来描述这个结构的）
2、一阶语言和任何结构无联系（一阶语言是一个一般的，抽象的一阶语言）
首先需要一个论域（只要求是不空的集合），然后再在该论域中如下解释：
⑴、个体符号解释为论域中的个体
⑵、n元关系符号解释为论域上的n元关系
⑶、m元函数符号解释为论域上的m元全函数
3、概念：全函数（处处有定义的函数，函数的运算结果不会跑到论域之外）
二、基本概念
1、基本规定
⑴、项f（t1，…tn）被解释为论域中的个体：?（a1，…an）
⑵、原子公式F（t1，…tn）被解释为命题：a1，…an有R关系
2、系列结论
⑴、闭项和闭公式的解释（分别解释为论域中的个体，或命题）
⑵、含自由变元的项，经过解释（得到论域上的n元全函数）和指派，得到论域中的个体
⑶、对于一个含自由变元的公式，经过解释（得到命题函数）和指派，得到命题
3、说明
⑴、区分：个体符号解释为个体，自由变元符号指派为个体
⑵、一次性指派：同时将所有的可数无限多个自由变元符号，指派为论域中的个体
三、基本概念
1、概念：一阶语言L的赋值v（包括一个论域D和一个赋值函数v）
2、概念：项的值（L的项在以D为论域的赋值v之下的值，递归定义如下）
3、定理：设v是以D为论域的赋值，并且t∈Term（L），则t V∈D（对项的结构做归纳）
四、基本概念
1、概念：定义一个新的赋值v（u/a）：它与原来的v处处相同，只是作用在自由变元符号u时，可能会不同
2、概念：公式的真假值（L的公式在以D为论域的赋值v之下的真假值，递归定义如下）
⑴、取u不在A（x）中出现，由A（x）构作A（u）
⑵、?xA（x）是由A（u）生成的，所以?xA（x）V要由A（u）V来决定
⑶、?xA（x）V＝1的涵义：无论v指派u为D中的哪一个个体a，都有A（u）V＝1
⑷、对于原来在A（x）中，现在仍在A（u）中的自由变元w来说，w V保持不变
★★归纳：如果v是?xA（x）V中的指派，那么v（u/a）表示除此之外，还要给自由变元符号U作指派
3、定理：设v是以D为论域的赋值，A是公式，则A V∈{0，1}
五、基本概念
1、概念：一致的（有相同论域的两个赋值v和v’，在四类符号上是一致的）
2、定理：设v和v’是有相同论域的两个赋值，并且它们在项t和公式A所含的四类符号上都是一致的，则t V＝t V’，A V=A V’
六、基本概念
1、概念：∑V（∑表示Form（L）中的公式集）
2、概念：∑是可满足的（存在赋值v，使得∑V＝1）
3、概念：A∈Form（L）是有效的（对于任何赋值v，都有∑V＝1）
4、性质：可满足是由命题的内容决定的，而有效性是由公式的逻辑形式决定的
5、性质：不存在一个统一的算法，用来判断L中公式的有效性或者可满足性
第四节逻辑推论
一、逻辑推论
1、符号：∑╞A（A是∑的逻辑推论，其中∑?Form（L），A∈Form（L））
2、概念：∑╞A，当且仅当对于任何赋值V，如果∑V＝1，则A V＝1
3、概念：∑|≠A（存在赋值V，使得∑V＝1，A V＝0）
★★前者是指任何论域上的任何赋值V，后者是指存在以D为论域的赋值V
4、性质：?╞A（则A是有效公式）
5、概念：逻辑等值公式A|＝|B
二、例题分析：注意找到捷径和方法
1、如何证明一个逻辑推论是成立的（直接证明或者反证法）
2、如何证明一个逻辑推论是不成立的（构造出这样的赋值V，使得∑V＝1，A V＝0）
⑴、性质：当确定赋值的论域时，问题在于论域的大小，和论域中有怎样的个体无关
⑵、D上的n元关系F：F V＝{
三、定理群
1、引理1：如果A|＝|A’并且B|＝|B’，则有?A|＝|?A’等7条性质
2、约定：B、C是拟公式，则B|=|C的含义是指B’|=|C’（注意B’、C’的形成）
3、等值替换定理：设B|＝|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|＝|A’（注意：B和C可能是拟公式）
4、对偶性定理：A’|＝|?A（其中A’是A的对偶）
第五节形式推演
一、一阶逻辑的形式推演规则
1、新增的形式推演规则（6条）
2、规则的理解和分析
⑴、条件和结论的强弱：?xA（x）>A（t）>?xA（t）
⑵、u不在∑中出现：u表示的可以是论域中的任何一个个体
⑶、区别：t比u的范围更广、代入和替换
3、量词的形式推演规则的推广（只有t系列可以相同，也可以不同，u和x都不行）
4、概念：∑├A（A是在一阶逻辑中，由∑形式可推演的），当且仅当∑├A能由（有限次使用）一阶逻辑的形式推演规则生成
二、定理群1
1、定理1（定理3.5.2）
⑴、性质：?xA（x）|＝|?yA（y）（相似性质：?xA（x）|＝|?yA（y））
⑵、性质：?x?y A（x，y）|＝|?y?x A（x，y）（相似性质：?x?yA（x，y））
⑶、性质：?xA（x）├?xA（x）
⑷、性质：?x?y A（x，y）├?y?x A（x，y）
2、定理2（?定理群，定理3.5.3）
⑴、性质：??xA（x）|＝|?x ?A（x）
⑵、性质：??xA（x）|＝|?x ?A（x）
三、定理群2
1、定理（→定理群，定理3.5.4）
⑴、性质：?x[A（x）→B（x）] ├?xA（x）→?x B（x）
类似性质：?x[A（x）→B（x）] ├?xA（x）→?x B（x）
类似性质：?x[A（x）→B（x）] ，?x[B（x）→C（x）]├?x[A（x）→C（x）] ⑵、性质：A→?x B（x）|＝|?x[A→B（x）]
类似性质：A→?x B（x）|＝|?x[A→B（x）]
⑶、性质：?x A（x）→B|＝|?x[A→B（x）]
类似性质：?x A（x）→B|＝|?x[A→B（x）]
2、★★★★重要思路
⑴、当?出现在左边，使用?xA（x）├A（u）（?-）
当?出现在右边，使用规则（?+）
⑵、当?出现在左边，使用规则（?-）
当?出现在右边，使用反证法，或者规则（?＋）
四、定理群3
1、定理1（∧定理群，定理3.5.5）
⑴、性质：A∧?x B（x）|＝|?x[A∧B（x）]
类似性质：A∧?x B（x）|＝|?x[A∧B（x）]
⑵、性质：?x[A（x）∧B（x）] |＝|?xA（x）∧?x B（x）
类似性质：?x[A（x）∧B（x）]├?xA（x）∧?x B（x）
⑶、性质：Q1A（x）∧Q2B（y）|＝|Q1Q2[A（x）∧B（y）]
2、定理2（∨定理群，定理3.5.6）
⑴、关键：通过摩根定理，将∨转化为∧
⑵、最后一条性质：注意充分利用最开始的两条性质
3、定理3（?定理群，定理3.5.7）（相对简单）
五、两个新的量词＋关于≡的两条规则
1、概念：?!!x A（x）、?!x A（x）
⑴、分析：利用已有的两个量词定义出新的两个量词
⑵、分析：解析公式＋详细涵义
2、定理：
⑴、常规性质：≡的交换律、≡的传递律
⑵、重要性质：?!x A（x）|＝|?xA（x），?!!x A（x）（分析其证明，曾经未能证明）
六、等值公式替换和对偶性
1、引理：7条引理（5个常规联结符号＋2个量词符号）
2、等值公式替换
3、对偶定理
第六节前束范式
一、基本概念
1、概念：前束范式（Qx1…QxnB，其中B不再有量词）
2、概念：前束词、母式
二、定理
1、定理（约束变元符号替换）：将公式A中的?xB（x）的某些出现替换为?yB（y）
2、定理：L的任何公式与某个前束范式等值（极其重要的8条公式）
3、关键：将公式变换为前束范式的步骤（共三个步骤））
第四章可靠性和完备性
第一节可满足性和有效性
一、可满足性和有效性
1、定理：（可满足和有效的相互转换）
⑴、性质：A是可满足的，当且仅当┐A是不有效的
⑵、性质：A是有效的，当且仅当┐A是不可满足的
2、定理（可满足和?、有效和?的相互转换）
⑴、性质：A（u1，…un）是可满足的，当且仅当?x1…?xn A（x1，…xn）是可满足的
⑵、性质：A（u1，…un）是有效的，当且仅当?x1…?xn A（x1，…xn）是有效的
3、定理（前束范式）
⑴、性质：A是可满足的，当且仅当A的前束范式是可满足的
⑵、性质：A是有效的，当且仅当A的前束范式是有效的
二、在D中的可满足性和有效性
1、定义：在D中的可满足性和有效性
⑴、∑在D中是可满足的（当且仅当有以D为论域的赋值v，使得∑V＝1）
⑵、A在D中是有效的（当且仅当对于任何以D为论域的赋值v，有A V＝1）
2、性质：（可满足性变强了，有效性变弱了）
⑴、性质：∑在D中是可满足的?∑是可满足的
⑵、性质：A是有效的?A在D中是有效的
三、论域变大变小的讨论
1、定理（论域越大越满足，论域越小越有效）
设∑ Form（L），A∈Form（L），∑和A不含相等符号，D和D1是论域且|D|≤|D1|
⑴、∑在D中是可满足的，则∑在D1中是可满足的
⑵、A在D1中是有效的，则A在D中是有效的
2、定理的证明
⑴、符号准备：以D-v构作D1-v1（关键：a’对应过去’，而b*对应回来）
⑵、引理1：以D1-v1构作D-v1*，则项t有这样的性质
⑶、引理2：同样以D1-v1构作D-v1*，则公式A有这样的性质
3、重要反例（以证明上述定理不能含有相等符号，否则不成立）
第二节可靠性
一、可靠性定理：设∑?Form（L），A∈Form（L）
1、定理：如果∑├A，则∑╞A
2、推论：如果?├A，则?╞A（若A是形式可证明的，则A是有效的）
二、性质
1、性质：A（u）|≠?xA（x）；A（u）|≠?xA（x）
2、推论：A（u）|＋?xA（x）；A（u）|＋?xA（x）
三、协调性
1、定义：∑?Form（L）是协调的（当且仅当不存在A∈Form（L），使得∑├A且∑|?A）
2、可靠性定理的协调性描述：设∑?Form（L），A∈Form（L）
⑴、定理：如果∑是可满足的，则∑是协调的
⑵、推论：如果A是可满足的，则A是协调的
★★两个定理和两个推论是两两等价的
3、定理：∑?Form（L）是协调的，当且仅当存在A，使得∑|＋A
第三节极大协调性
一、极大协调性
1、定义：∑是极大协调的，当且仅当∑满足于以下的⑴和⑵
⑴、∑是协调的
⑵、对于任何A≮∑，∑∪{A}不协调）
2、定理：∑是极大协调的，则对于任何A，∑├A等价于A∈∑，∑|+A等价于A≮∑
二、∑封闭于形式推演
1、定义：∑封闭于形式推演（如果对于任何A，∑├A蕴涵A∈∑）
2、定理：设∑是极大协调的，则∑封闭于形式推演
三、定理
1、定理：如果∑是极大协调的，则对于任何的A和B
⑴、?A∈∑，当且仅当A≮∑
⑵、A∧B∈∑，当且仅当A∈∑且B∈∑等等
2、Lindenbaum定理：任何协调的公式集能够扩充为极大协调集
★★关键：先由∑构造∑0、∑1、…∑n…，再令∑*＝∑0∪∑1∪…∪∑n…
第四节命题逻辑的完备性
一、命题逻辑完备性的证明之一
1、引理：设A∈Form（L P）含不同的原子公式p1，…pn，构作Ai，那么
⑴、A V＝1?A1，…An├A
⑵、A V＝0?A1，…An├?A
★★证明：对公式A的结构作归纳
2、定理：设A∈Form（L P），∑?Form（L P），并且∑是有限集
⑴、如果?╞A，则?├A
⑵、如果∑╞A，则∑├A
★★证明：关键在于利用（pn∨?pn）→A├A
二、命题逻辑完备性的证明之二
1、引理：设∑*是极大协调集，用∑*构作真假赋值v，使得对于任何的原子公式p
p V＝1当且仅当p∈∑*，那么A V＝1当且仅当A∈∑*
2、可靠性定理：设∑?Form（L P），A∈Form（L P）
⑴、如果∑是协调的，则∑是可满足的
⑵、如果A是协调的，则A是可满足的
3、可靠性定理：设∑?Form（L P），A∈Form（L P）
⑴、定理：如果∑╞A，则∑├A
⑵、推论：如果?╞A，则?├A
高级数据库复习笔记
高级数据库复习笔记 2007年1月22日 10:02 对照复习PPT摘下来的一些PPT内容 第一章、第二章 第一章 １、分布式数据库系统 定义: 物理上分散而逻辑上集中的数据库系统 特点：物理分布性、逻辑整体性、站点自治性 分布式数据库系统的分类：同构型、异构型、集中型、分散型、可变型 ２、为什么需要OODB 新领域的应用需求... ３、事务处理 第二章 １、分布式数据库的体系结构 ２、分布式数据库的问题 分布式DB设计；分布式查询处理；分布式并发控制；分布式数据库的可用性 ３、分布数据独立与分布透明访问 分段透明；位置透明；本地映射透明；无透明
第三章、第四章 第三章 DDB设计 １、DDB设计的两个问题 分段和分配 即：如何分割数据及如何分配这些数据到不同站点 ２、DDB设计目标 优化响应时间/吞吐量/费用/… ３、数据分段 分段原则： 假若有全局关系R被分段为子关系(片段)集合F = {F1, F2, …, Fn} 则 F满足完整性、不相交性、重构性 水平分段：以关系自身的属性性质为基础，执行“选择”操作，将关系分割成若干个不相交的片段 导出分段：从另一个关系的属性性质或水平分段推导出来 垂直分段：通过“投影”操作把一个全局关系的属性分成若干组 ４、数据分配简单模型 设所有的读、写、存储代价都是１，仅比较远程读写次数和单机存储代价，选一个最优的 仿照作业答案中的做法，可以画个表，写出个事务在各方案下的读写总次数来比较哪个较优。一般只考虑远程读写，本地操作忽略。 ５、最佳适应方法 片段i在站点j被应用K执行，k在站点j上激活的频率乘以激活一次的读写总次数，计算一个最大值，片段i就应该存放在相应的站点j上 ６、所有得益站点方法 假设片段i放在站点j上，计算所有应用对它读的次数和写的次数，如果读的次数比写的次数多，即Bij>0，那么就应该把i放在站点j上 第四章分布式查询处理 １、全局查询：涉及多个站点数据, 优化复杂 局部查询：只涉及本地. 单个站点的数据, 优化同集中式 ２、查询变换 下推 PJ（投影）, SL（选择），上推UN ；消除公共子表达式；将全局转换为段上查询；消除空关系；分组操作与聚集操作 第五章、第六章 第五章 １、基于半连接操作的连接操作 目标：减少通讯量 执行步骤如下：
ABAP 面向对象学习笔记(三)--接口
*&-------------------------------------------------------------------*& ABAP 面向对象学习笔记—(三)接口。 *&-------------------------------------------------------------------REPORT ZBCRP_OO_LYB_04. INTERFACE f0. " 接口中不能设定成员的权限领域(可见性).或者说接口的组件总是public的 * CLASS-METHODS static_meth. "接口中可以声明静态成员 METHODS meth IMPORTING msg TYPE string OPTIONAL. DATA str TYPE string. " 接口中的变量不能用value给值。而常量可以。 CONSTANTS cons TYPE string VALUE '常量'. ENDINTERFACE. "接口只声明方法，不实现方法，没有implementation部分。 CLASS c1 DEFINITION. "不能使用INHERITING FROM 继承接口。 PUBLIC SECTION. METHODS: outp. INTERFACES: f0. " 只能在PUBLIC SECTION中声明要使用接口;可以声明多个接口。 " 可以用aliases..for..语句，为接口的每个组件指定别名，方便访问。 " 别名只能被当前类和实例访问。 ALIASES meth0 FOR f0~meth. ENDCLASS. CLASS c1 IMPLEMENTATION. METHOD f0~meth. " 可以使用别名meth0 WRITE:/, msg. ENDMETHOD. METHOD outp. WRITE:/, 'test' . ENDMETHOD. ENDCLASS. CLASS c2 DEFINITION. PUBLIC SECTION. INTERFACES: f0. ENDCLASS. CLASS c2 IMPLEMENTATION. METHOD f0~meth. WRITE:/,msg. ENDMETHOD.
新手photoshop知识归纳总结 笔记一(初学者的宝典)
一、快捷键 全部快捷键 Ctl+鼠标左键移动选定区域 Ctl+A选择整体图片 Ctl+B 色彩平衡 Ctl+D 取消选择 Ctl+E 向下合并一个图层 Ctl+F 重复使用上一个滤镜 Ctl+J 复制图层 Ctl+L 色阶 Ctl+N 新建文件 Ctl+O 打开 Ctl+T 自由变换 Ctl+shfit+I 反选 Ctl+shfit+D 反选 Ctl+shfit+N 新建透明图层 Ctl+shfit+E 合并可见图层 Ctl+Shift+T 复制一个选区内容并变换选区 Ctl+U 色相/饱和度 Ctl+R 调出标尺 Ctl+I 反向 Ctl+“+”放大屏幕图像（等同于Ctl+空格,配合鼠标）Ctl+“-”缩小屏幕图像（等同于Alt+空格，配合鼠标）Ctl+【当前图层上翻一页 Ctl+】当前图层上翻一页 Ctl+Enter 将路径变为选区 Ctl+shift+Alt+B 调整为黑白模式 Alt+Delete 填充前景色 Ctl +Delete 填充背景色 Ctl+Alt+A羽化 Ctl+Alt+Z 多步返回 Ctl+Alt+W 关闭全部窗口 Ctl+shift+M 进入IR中编辑 Shift+E 向下合并一个图层 Shift+Tab 隐藏出工具栏外的所有调板 Ctl+1 红通道 Ctl+2 绿通道 Ctl+3 蓝通道 快捷键整理
选择：Ctl+A选择整体图片 Ctl+D 取消选择 Ctl+shfit+I 反选 Ctl+Alt+~ 选择高光区域 Ctl+Alt+0 显示照片的实际尺寸 Ctl+Alt+鼠标拖动复制当前层或选取内容 Ctl+shfit+ Alt+E 实现印盖命令 单键键整理 Home 定位图片左上角 End 定位图片右下角 Pg up/dn 将定位上翻和下翻 A路径选择 B 画笔 C 剪裁 D 默认前景和背景 E 画笔 F 窗口放大和缩小 G 油漆桶 H 抓手工具 I 取样点 J 橡皮擦 K 切片 L 套索 M 羽化 N 注释工具 O 加深或减淡 P 钢笔(caps lock 可以出现十字定位光标) Q 快速进入/退出模板 R 模糊和锐化 S 图章 T 文字 U 度量 V 移动 W 魔术棒 X 前景和背景互换 Y历史画笔 Z 放大或缩小 二、概念论述 图像的模式？ 灰度模式：扔掉颜色信息的一种模式，是有损的。
离散数学之集合论
第二篇集合与关系 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。 第2-1章集合及其运算 §2-1-1 集合的概念及其表示 一、集合的概念 “集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作
面向对象基础复习资料
一、选择题（每题2分*10题，20%） 1.下列( D )中类声明是正确的。 A. abstract final class HI{···｝ B. abstract private move(){···} C. protected private number; D. public abstract class Car{···} 2.在Java中，用Package语句说明一个包时，该包的层次结构必须是 ( B )。 A．与文件的结构相同 B．与文件目录的层次相同 C．与文件类型相同 D．与文件大小相同 3.在Java中，能实现多重继承效果的方式是( C )。 A．内部类B．适配器 C．接口D．同步 4.一个类中有公共的double型成员变量PI，该值保持为常数3.14，则定 义这个成员变量的语句是( D )。 A．public double PI=3.14; B．final double PI=3.14; C．public const double PI=3.14; D．public final double PI=3.14; 5. 在Java中，一个类可同时定义许多同名的方法，这些方法的形式参数 个数、类型或顺序各不相同，传回的值也可以不相同。这种面向对象程序的特性称为（ C ）。 A．隐藏 B．覆盖 C．重载 D．Java不支持此特性 6．关于对象成员占用内存的说法中（ B ）是正确的。
A．同一个类的对象共用同一段内存 B．同一个类的对象使用不同的内存段，但静态成员共享相同的内存空间C．对象的方法不占用内存 D．以上都不对 7．以下说法正确的是（ C ）。 A.抽象方法可以有方法体 B.抽象方法可以出现在非抽象类中 C.抽象方法是没有方法体的方法 D.抽象类中的方法都是抽象方法 8．关于继承的说法正确的是（ B ）。 A.子类将继承父类所有的属性和方法。 B.子类将继承父类的非私有属性和方法。 C.子类只继承父类public方法和属性 D.子类只继承父类的方法，而不继承属性 9．关于构造函数的说法（ C ）是正确的。 A.一个类只能有一个构造函数 B.一个类可以有多个不同名的构造函数 C.构造函数与类同名 D.构造函数必须自己定义，不能使用父类的构造函数 10．覆盖与重载的关系是（ A ）。 A.覆盖只有发生在父类与子类之间，而重载发生在同一个类中 B．覆盖方法可以不同名，而重载方法必须同名 C．final修饰的方法可以被覆盖，但不能被重载 D．覆盖与重载是同一回事 11．以下关于继承的叙述正确的是（ A ）。 A.在Java中类只允许单一继承
面向对象读书笔记
课程设计 设计名称：车辆管理系统 学校：宁夏大学新华学院 系别：信息与计算机科学系 专业：网络工程 年级：2011级 姓名：马丽 学号：12011247422 指导老师：马子睿
车辆管理系统 目录 摘要 (4) 关键词 (4) 第一章概述 (5) 1.1信息管理系统简介 (5) 1.2开发的背景 (5) 第二章JAVA语言 (6) 2.1 JAVA语言的特点 (6) 2.2 C,JAVA.C++的比较 (8) 第三章总体设计 (11) 3.1 设计目的 (11) 3.2 设计任务、要求与思路 (12) 3.3 概要设计 (12) 第四章系统功能实现 (12) 4.1 进入开始界面 (13) 4.2 进入录入界面 (16) 4.3 进入修改界面 (21) 4.4 进入查询界面 (22)
4.5 进入删除界面 (25) 第五章总结 (26) 摘要 随着经济的日益增长，信息化时代已经到来，生活中各种信息趋向数字化、清晰化。车辆管理系统就是在这样的一个环境中诞生的，交通的日益发达，使得一个单位不再是简单的一辆商务车，而是有很多辆车组成，而且车型也不再单一，这使得单位车辆信息复杂化。因此我们将发挥计算机的庞大的存储空间，高性能的处理能力，高度可靠的数据安全，清晰的可视化数据等这些优势来辅助单位对车辆进行管理，实现了计算机资源的合理利用，真正实现了减少劳动力提高劳动质量的目的。本文主要分析了系统的主要组成情况，包括需求分析，系统实施和系统主要特点等，重点介绍了系统功能模块的详细思路和实现方法，以及对系统技术和系统的源代码。 关键词：车辆管理,JAVA;
第一章概述 随着信息技术广泛、深入地应用人类社会的各个领域并发挥着 越来越重要的作用。计算机软件技术应用于信息管理是发展的必然。作为计算机应用的一部分，充分发挥计算机的优势，将大量复杂的 数据交给计算机来处理，有着手工管理所无法比拟的优点。如：查 找方便、可靠性高、存储量大、保密性好、寿命长、成本低等。这 些优点能够极大地提高信息管理的效率，是真正意义上的合理利用 资源，也是企事业管理科学化、正规化，与世界接轨的重要条件。1.1信息管理系统简介 管理信息系统，即我们常说的MS（Management Information System），在强调管理，强调信息的现代化社会中变得越来越普及。MIS是一门新学科，它跨越了若干领域，比如管理科学、系统科学、运筹学、统计学和计算机科学等。在这些学科的基础上，形成信息 收集和加工方法，从而形成了一个复杂的有条理的系统。目前，由 于开发高质量管理信息系统MIS的能力大大落后计算机硬件日新月 异的进展，加上社会对管理信息系统MIS发展和完善需求的增加以 及对管理信息系统MIS开发过程中出现的错误认识和行为而导致 MIS开发的失败，这些情况已严重妨碍了计算机技术的进步。因此 对MIS有关的内容进行深入研究，提高工作效率，提高管理信息系 统MIS开发成功率已变得十分重要。 1.2开发的背景
浅谈数理逻辑在计算机科学中的应用
浅谈数理逻辑在计算机科学中的应用 文章整理编辑---论文文库工作室（QQ1548927986） 摘要：数理逻辑是离散数学课程中研究推理的逻辑学科，它为确定一个给出的论证是否有效提供各种法则和技巧，在计算机科学里用来检验程序的正确性，也可以验证定理和推论，同时在计算机模型、计算机程序设计语言、计算机硬件系统等方面有着重要作用。研究数理逻辑在计算机科学领域中的应用，必须从研究数理逻辑的符号化开始讨论、加以分析、验证结论。 关键词：数理逻辑；命题逻辑；一阶逻辑；推理理论 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。其内容大致包含数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论6部分，这6部分从不同的角度出发，研究各种离散量之间数与形的关系。本文主要研究数理逻辑部分在计算机科学领域中的应用。 1.为计算机的可计算性研究提供依据 数理逻辑分为命题逻辑和一阶逻辑两部分，命题逻辑是一阶逻辑的特例。在研究某些推理问题时，一阶逻辑比命题逻辑更准确。数理逻辑中的可计算谓词和计算模型中的可计算函数是等价的,互相可以转化，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑系统来表达。 某些自然语言的论证看上去很简单，直接就可以得出结论，但是通过数理逻辑中的两种符号化表达的结果却截然不同，让人们很难理解，这就为计算机的可计算性研究埋下伏笔。下面举一个简单例子加以说明。 例1 凡是偶数都能被2整除。6是偶数，所以6能被2整除。 可见，一个复杂的命题或者公式可以利用符号的形式来说明含义，来判断正确性，这使得计算机科学中的通过复杂文字验证的推理过程变得简单、明了了。 2.为计算机硬件系统的设计提供依据 数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论，在很大程度上起源于数理逻辑中的布尔运算。计算机的各种运算是通过数字逻辑技术实现的，而代数和布尔代数是数字逻辑的理论基础，布尔代数在形式演算方面虽然使用了代数的方法，但其内容的实质仍然是逻辑。范式正是基于布尔运算和真值表给出的一个典型公式。 下面以计算机科学中比较典型的开关电路的设计为实例说明数理逻辑中布尔代数和范式的应用。整个开关电路从功能上可以看做是一个开关，把电路接通的状态记为1（即结果为真），把电路断开的状态记为0（即结果为假），开关电路中的开关也要么处于接通状态，要么处于断开状态，这两种状态也可以用二值布尔代数来描述，对应的函数为布尔函数，也叫线路的布尔表达式。接通条件相同的线路称为等效线路，找等效线路的目的是化简线路，使线路中包含的节点尽可能地少。利用布尔代数可设计一些具有指定的节点线路，数学上既是按给定的真值表构造相应的布尔表达式，理论上涉及到的是范式理论，但形式上并不难构造。 例2 关于选派参赛选手，赵，钱，孙三人的意见分别是：赵：如果不选派甲，那么不选派乙。钱：如果不选派乙，那么选派甲；孙：要么选甲，要么选乙。以下诸项中，同时满足赵，钱，孙三人意见的方案是什么？ 解答：把赵，钱，孙三个人的意见看做三条不同的线路，对三条线路化简得到接通状态
南京信息工程大学滨江学院C++面向对象程序设计期末复习资料-填空考点
一、考点 1.面向对象的四大特性是：抽象、封装、继承、多态 2.构造函数的作用是：创建对象时为对象赋初值 析构函数的作用是：释放对象占用的资源 3.根据继承的基类的多少，C++将继承分为：单继承和多继承 4.C++进行动态内存分配的一对运算符是：new和delete 5.纯虚函数：是一个在基类中说明的虚函数，它在该类基类中没有定义， 但要求在它的派生类中必须定义自己的版本，或重新说明为纯虚函数。 抽象类：如果一个类至少有一个纯虚函数，那么就称该类为抽象类。 带有纯虚函数的类是抽象类，抽象类不能实例化。 6.对象拷贝有两种方式：浅拷贝和深拷贝 7.变量的生存期分为：动态生存期、静态生存期 8.C++里的逻辑值：非0表示真，0表示假 9.C++里函数参数传递方式有：值传递、地址传递、引用传递 10.静态成员变量属于类，所有的对象共享。 11.根据访问控制，C++将继承分为：公有继承、私有继承、保护继承 12.类的访问属性包括：公有、私有、继承 13.用const修饰的对象，其意思是：对象的状态不能被修改 14.拷贝构造函数被调用的场合有3种，分别是：用对象作参数构造对象时、 为函数实参对象赋值时、函数返回对象时 15.C++里的模版包括：函数模版、类模版 16.命名空间：一个由程序设计者命名的内存区域
作用：类似于操作系统中的目录和文件的关系。名字空间建立了一些 相互分隔的作用域，把全局标识符分隔开，避免产生名字冲突。 17.虚基类的作用P124 如果一个派生类有多个直接基类，而这些基类又有一个共同的基类，则在最终的派生类中会保留该间接共同基类成员的多份同名成员。但由 于保留共同基类的多份成员，不仅占用较多的存储空间，还增加了访问 这些成天元时的困难，容易出错。C++提供了虚基类的方法，使得在继 承间接共同基类时只保留其一份成员。 18.多态及其分类P145 多态性是指用一个名字定义不同的函数，这些函数执行不同但又类似的操作，从而可以使用相同的调用方式来调用这些具有不同功能的同名 函数。 面向对象的多态性分为：参数多态，包含多态，重载多态，强制多态 前两种称为通用多态，后两种称为专用多态 19.虚函数与重载函数的比较 ....P153 （1）函数重载处理的是同一层次上的同名函数问题，而虚函数处理的是同一类族中不同派生层次上的同名函数问题，前者是横向重载，后者可以理解为纵向重载。但与重载不同的是：同一类族的虚函数的首部是相同的，而函数重载时函数的首部是不同的。 （2）重载函数可以是成员函数或普通函数，而虚函数只能是成员函数。 （3）重载函数调用是以所传递参数序列的差别作为调用不同函数的依据;虚函数是根据对象的不同去调用不同类的虚函数。
面向对象-练习题
【练习题】01.类的成员变量： 猜数字游戏：一个类A有一个成员变量v，有一个初值100。定义一个类，对A 类的成员变量v进行猜。如果大了则提示大了，小了则提示小了。等于则提示猜测成功。 【练习题】02.类的成员变量： 请定义一个交通工具(Vehicle)的类，其中有: 属性：速度(speed)，体积(size)等等 方法：移动(move())，设置速度(setSpeed(int speed))，加速speedUp(),减速speedDown()等等. 最后在测试类Vehicle中的main()中实例化一个交通工具对象，并通过方法给它初始化speed,size的值，并且通过打印出来。另外，调用加速，减速的方法对速度进行改变。 【练习题】03类的成员方法 创建一个账户Account类，该类有id:账户号码(长整数) name:真实姓名字符串类型,balance:账户余额double 类型.方法:deposit: 存款方法,参数是double 型的金额;withdraw:取款方法,参数是double型的金额. 在main方法中创建Account类的对象，调用各个方法，并显示存取款结果。 【练习题】04.构造方法 编写Java程序，模拟简单的计算器。12 3 定义名为Number的类，其中有两个整型数据成员n1和n2，应声明为公共。编写构造方法，赋予n1和n2初始值，再为该类定义加（addition）、减（subtration）、乘（multiplication）、除（division）等公有成员方法，分别对两个成员变量执行加、减、乘、除的运算。 在main方法中创建Number类的对象，调用各个方法，并显示计算结果。 【练习题】05.构造方法： 编写Java程序，用于显示人的姓名和年龄。 定义一个人类（Person），该类中应该有两个私有属性，姓名（name）和年龄（age）。定义构造方法，用来初始化数据成员。再定义显示（display）方法，将姓名和年龄打印出来。 在main方法中创建人类的实例，然后将信息显示。
photoshop学习笔记
photoshop学习笔记
Photoshop学习笔记 这篇笔记的内容是对Photoshop这款软件操作知识的学习整理。目的是使自己系统的掌握Photoshop软件使用，提升软件操作能力。 这篇笔记的内容分为三个部分，即概括介绍部分、软件基础学习部分、软件归纳学习部分。 “概括介绍”部分，概括说明Photoshop软件功能，同时介绍本篇笔记的内容结构，及说明学习软件的方法。 “软件基础学习”部分，系统的、详细的介绍软件的各个功能。 “软件归纳学习”部分，在对有一个基本了解后，根据软件的使用流程，将软件的各个功能分门别类，使用概括归纳的方法学习软件，加深对软件的记忆。 第一部分概括介绍 Photoshop，简称“PS”。是一个由Adobe Systems开发和发行的图像处理软件，
Photoshop主要处理以像素所构成的数字图像。不能直接编辑非位图文件，但是可将非位图文件导入到Photoshop软件内，转换为位图文件后再进行编辑修改。是同类产品中的佼佼者。 我们可以将“ps”软件理解为一个工具，通过这个工具可以得到我们想要的图片文件，拿着这个图片文件就可以制作印刷品或是上传到网络了。 既然是工具，那就会有一个使用方法，这里将这样概括软件的使用流程。 第一步是开启软件，开启软件后还要在软件里建立一个工作区，利用这款软件的众多功能，在工作区里绘制图形。工作区就像是画布，我们在软件这间画室里可以铺开若干张画布。第二步就是在这张画布上绘画了。第三步就是将这张画布保存起来，或是日后继续画，或是拿去制作印刷品、上传网络。 这样概括软件的使用流程看起来很简单，但是很有用，根据这个“流程”，我们可以将“ps”软件众多的、复杂的功能归纳为简单的几种类型。这也是这篇笔记里使用的学习方法，即将
数理逻辑心得
数理逻辑的心得 数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。是大四接触到的，现简单介绍一下数理逻辑的发展史，算是一点感悟吧 1数理逻辑的发展前期 ·前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论 ·初创时期——逻辑代数时期（17世纪末） ·资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。 ·人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。 ·莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想： ·提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。 ·使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述，将符号的形式和其含义分开。使得演算从很大程度上取决与符号的组合规律，而与其含义无关。 ·布尔(G. Boole, 1815~1864)代数：将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域，布尔代数既是一种代数系统，也是一种逻辑演算。 数理逻辑的奠基时期 ·弗雷格(G. Frege, 1848~1925)：《概念语言——一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分——命题演算和谓词演算的正式建立。 ·皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858~1932)：《用一种新的方法陈述的算术原理》(1889)提出了自然数算术的一个公理系统。 ·罗素(Bertrand Russell, 1872~1970)：《数学原理》(与怀特黑合著，1910, 1912, 1913)从命题演算和谓词演算开始，然后通过一元和二元命题函项定义了类和关系的概念，建立了抽象的类演算和关系演算。由此出发，在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。 ·逻辑演算的发展：甘岑(G. Gentzen)的自然推理系统(Natural Deduction System)，逻辑演算的元理论：公理的独立性、一致性、完全性等。 ·各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯(Lewis, 1883~1964)的模态逻辑，实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。 集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机，提出了数学的基础到底是什么这样的问题。 ·罗素等的逻辑主义：数学的基础是逻辑，倡导一切数学可从逻辑符号推出，《数学原理》一书是他们这一思想的体现。为解决悖论产生了逻辑类型论。 ·布劳维尔(Brouwer, 1881~1966)的直觉主义：数学是心灵的构造，只承认可构造的数学，强调构造的能行性，与计算机科学有重要的联系。坚持潜无穷，强调排中律不能用于无穷集合。海丁(Heyting)的直觉主义逻辑。 ·希尔伯特(D. Hilbert)的形式主义：公理化方法与形式化方法，元数学和证明论，提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化，把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。为了消除悖论，要数学建立在公理化基础上，将
面向对象程序设计课程作业及复习资料
《面向对象程序设计》课程作业及答案 作业1： 是非题 1. 头文件中一般存放着变量和常量的定义、函数的原型以及类的定义。1. 错 2. 程序的编译是以文件为单位的，因此将程序分到多个文件中可以减少每次对程序修改所带来的编译工作量。4. 对 填空题 下面是一个求数组元素之和的程序。主程序中定义并初始化了一个数组，然后计算该数组各元素的和，并输出结果。函数sum计算数组元素之和。填充程序中不完整的部分。 ________A__________ int sum(int [],int); void main() { int ia[5] = {2,3,6,8,10}; B ; sumOfArray = sum(ia,5); cout << "Sum of array:" << sumOfArray << endl; } int sum(int array[],int len) { int iSum = 0; for(int i = 0; C ; D ) E ; return iSum; } 答案: A #include
写出下列程序的运行结果： // static int i = 20; int x; static int g(int p) { return i + p; } void f(int v) { x=g(v); } // #include
敬伟PS学习笔记
制作文化衫 填充前景色的快捷键Alt+Delete 填充背景色的快捷键Ctrl+Delete 蚂蚁线内的区域叫做选区按住shift键画椭圆时画出的是正圆 做填充时候也要新建一个图层 简单的合成（抠图换背景） 快速选择工具 放大Ctrl+ 缩小Ctrl- 平移空格键 撤销上一步Ctrl+Alt+z 返撤销上一步shift+Alt+z 先用较小的比例来画，放大了处理一些边缘。 快捷键Alt键可以快速的将添加模式切换为减去模式 调整优化选区调整边缘平滑7 羽化2 对比度12 移动边缘-24 输出到新建图层 调整图片的大小编辑自由变换按住shift来调整图片的大小不会使比例走形 换脸 在图层蒙版里面白色代表显示，黑色代表消失在蒙版里面也可以选定一个区域填充白色或
黑色让它显示或消失编辑》自由变换》可以改变图片的大小与方向把不透明度调低一点来调整图片的大小与角度 擦脸的时候画笔硬度0要选择比较软的画笔 色 RGB颜色模式（红绿蓝） 夏天变秋天图像》调整》色相|饱和度把绿色的色相变为黄色 画优酷图标 描边是从边缘向里面延伸的宽度 画有颜色的三角形圆形矩形用形状工具 居中的时候把所有的全选然后点击两个居中 画圆环的时候用描边工具画实心圆的时候用填充工具 复制：拖拽这个图层到新建图层的图标上 W和H之间的图标是用来锁定长宽比例的 高光+蒙版+黑白渐变工具做出立体的感觉 黑白渐变：从黑到白的渐变就是一个从遮挡到不遮挡的一个过程
渐变工具+shift键可以画一个垂直方向的渐变 画两个同心圆环(小圆环在大圆环里面)的方法：1画出第一个再复制它2改变大小再做两个对齐3改变描边的大小 海报 网页的头图大海报，950x480像素 做彩带的步骤：先缩小文档再用椭圆工具填充，再移动椭圆，按delete键删除重合的那一部分，可以使用自由变换工具调整一下彩带。按住Alt键再复制一条，然后使用填充改变一下他的颜色。填充的时候按一下锁定后面的第一个按钮，就可以只填充这个蓝色条，否则就整块屏幕都被填充了。 使用蒙版填充遮挡较大的区域时可以用椭圆选框工具填充黑色，这样比较快。 扣水杯（绿色的杯子如何变透明）
数理逻辑与集合论作业二 - 参考解答
數理邏輯與集合論作業二 1. 解：該題應該理解為此列表中每一句都是形如“i: 在這個列表中，恰有i條語句為假”的形式。 a)思路：考慮這100句裡可能有幾句為真。是否可能沒有一句為真？是否可能 祗有一句為真，是哪一句？是否可能多餘等於兩句為真？ b)思路：“至少i+1句為假”蘊含“至少i句為假”，若第i句為真，則1…… i-1句都為真，所以第 100, 99, 98, ……句都為假，一直到第50句為真 c) 思路同上，但是…… 2. 解答：如果我說右邊的路通往遺跡你將回答“是”，對嗎？ 3.
解答： ))))a q p b p q c q p d q p →∧→?→? 4. 也就是上述描述是否自相矛盾？ 5. 解答： 条件符号化 ::::(1)(2)(C G)(3)(G W)G W (4)G W G W S C G W S C G W S C C G W C C S C S →?∧=?∨???∧?=∨→?????男管家廚師園丁雜役假設為真，則由（2）得：再由（1）得：但無法判定的真假 假設為假，則由（3）得：再由（4）得：由（1）得：綜上所述：和說了假話，，的話真假未知 6. 四个朋友被认定为非法进入某计算机系统的嫌疑人。他们已对调查员作了陈述。
艾丽斯说“卡罗斯干的” 约翰说“我没幹。” 卡罗斯说“戴安娜干的。” 戴安娜说“卡罗斯说是我幹的，他说谎。” a）如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说真话，那么准幹的？解释你的推理。 b）如果调查员知道恰有一人说谎，谁干的？解释你的推理。 解：前提符號化為 （1）A: C （2）J: ? J （3）C: D （4）D: ? (C: D) a) 祗有一句話為真，而（3）（4）有且僅有一句為真，分別討論（3）（4）為真的情況。 b）分析步驟同上。 7. 用真值表證明德摩根律和吸收律。 解答略 8. 使用等值演算證明下列命題公式為永真式（不得用真值表） 解答： a
C#面向对象笔记大全
二：定义方法： 访问修饰符返回值类型方法名称（参数）｛方法体｝ 1.访问修饰符：public private protected internal a)public :使用它来定义的成员可以在所有类里面使用（不同项目需要先引用） b)private：私有的，只有在当前类中可以使用 c)protected：使用它来定义的成员只有在当前类或者当前类的子类中使用。 d)internal：在当前整个程序集中可以使用 2.返回值类型 a)void:没有返回值.(可以写return（可以提前终止方法），但是不能return具 体的值) b)非void,必须返回相应类型的值（任何类型都可以做为方法的返回值类型） 3.方法名称： a)Pascal命名法，每一个单词的首字母需要大写 b)不能使用关键字(int double bool string …..class namespace) c)不能包含_以外的特殊符号，不能以数字开头java(_ $) 4.参数 a)形参：只是一个参数的声明，说明调用的时候需要传递过来的值（类型一致， 个数一致，顺序一致）---形参是实参的规范。Params 三：静态与非静态之间的调用方式： 1.在单个类中：静态不能直接调用非静态成员（属性，方法），只能通过实例化的对 象调用。 2.在单个类中：静态可以直接调用静态成员 3.在单个类中：实例成员可以自由调用静态成员（银行vip---非vip） 4.在不同类中：实例成员通过类的对象调用，而静态成员通过类名调用。 5.为什么静态不能直接调用非静态成员：静态成员与类一起加载，在加载静态成员的 时候，非静态成员还没有生成。 四：C#Main方法的四种形式： 1.staticvoid Main(string[] args) 2.staticvoid Main()
谭浩强--c++面向对象程序设计-(红色书皮)--大纲笔记
第一章C++初步知识 第一节从C到c++ 一：c++的输入输出语句 C++用cin和cout完成输入输出功能，c用scanf和printf 二：c++用const定义常变量 C语言#define PI 3.14 c++ const float pi=3.14 三：c++函数原型声明 四：c++函数的重载 函数名相同，参数个数或类型，或函数返回值之中有不同的，用一个函数名实现不同的功能 五：函数模板 定义完函数模板，系统根据实际参数的类型赋给相应的形参 形式template
十：字符串变量 C语言用字符数组表示字符串，c++本身就有string数据类型十一：动态分配内存 C语言用malloc函数和free函数 C++用new 函数和delete 函数 第二章类和对象 第一节类的声明和对象的定义 一：类和对象的关系 二：类的声明 Class 类名 { Public： Private： }； 三：对象的定义 1，先声明类再定义对象 2，声明类的同时定义对象 3，不出现类名直接定义对象 第二节类的成员函数 一：成员函数的作用
调用数据成员 二：在类外定义成员函数 1，成员函数：类型名类名：：成员函数名（参数表列）2，构造函数类名：：成员函数名（参数表列） 没有类型名是因为构造函数没有参数没有返回值三：inline成员函数 四：成员函数的存储方式 不和数据成员在一起，独立存储，不同对象使用相同的成员函数，通过this指针区别不同的对象 第三节对象成员的引用 一：通过对象名加成员运算符 二：通过引用名加成员运算符 三：通过指针访问 第四节类的特点 一：抽象性 类和对象的关系：类是对象的抽象，对象是类的具体 二：封装性 公用接口和私有实现的分离（private public） 三: 继承性（第三章） 四：多态性（第四章） 第三章关于类和对象的进一步讨论
ps课堂笔记总结
一、Photoshop 1、由美国Adobe公司生产的专业图像处理及图像合成软件 二、基本术语 1、图像与图形 －图像：由像素点组成 分辨率：表示像素的密度 （网页，显示器）72像素/英寸，300像素/英寸（平面设计、打印）－图形：由数学公式表示的线条 特点：放大后清楚 矢量图制作软件：illustrator 2、颜色模式 －一种模式对应一种媒介 －HSB：基于人眼 H：表示色向 S：表示饱和度 B：表示明暗度 －RGB：基于显示器、发光体 R：红、G：绿、B：蓝 三原色分别有0~255种级别的强弱 红＝绿＝蓝0 黑255 白其它不同级别的灰 255最大级的情况下：红+绿＝？红+蓝＝？绿+蓝＝？
－CMYK：基于油墨 洋红、黄、青三种油墨K表示黑色 三、启动软件 四、界面介绍 1、标题栏 2、工具栏(放置常用工具) 3、属性栏（不同工具属性不同） 4、工作区 缩放：Ctrl+加号/减号 抓手：空格+拖动鼠标（移动视图） 5、浮动面板 窗口/工作区/……还原默认工作区 6、常用快捷键 －Tab：显示及隐藏工具栏和浮动面板 －F：全屏切换 五、选区、图层、蒙板?** 1、选区：选框以内，注：所有操作均在选区内实现 2、图层：上下层叠关系的透明纸张 注：有在新层中作图的好习惯 3、蒙板：选区以外为蒙板 ——————————————————————————————————一、文件命令 1、新建
设置对应的纸张大小、颜色模式等 2、打开 直接将文件拖入窗口中即可打开 双击界面空白处选择文件进行打开 3、保存文件 常见格式： PSD：PS源文件，默认格式，信息全，方便于备份 Jpg：通用有损压缩格式 Tif：质量好，信息全，适用于要求高的作品 Png：质量好，支持透明 二、选区的创建* 技巧： 配合Shift定比例、配合Alt定中心、配合空格固化1、规则类 －矩形、椭圆形、单行、单列 拖动即可创建 2、不规则类 －套索工具组 *套索工具：拖动鼠标任意绘制选区 *多边形套索工具：单击定点连直线、双击首尾迸连 Detele：删除最近点、ESC：取消所有 注：配合缩放和抓手工具进行抠图
数理逻辑与集合论试卷
2006年的考题 一、A={a,b,c},B={X|a∈X且X?A},求B-A, B-{A}, ∪B, ∩B。 二、A={1,2,3,5,9},R是A上的关系且R={
Java面向对象程序设计复习资料
1.标识符合法判断 2.数组定义与引用 3.整除、求余操作 4.字符串基本操作 5.表达式合法性判断、三元表达式用法及简单计算【A ？B ：C】 6.注释用法，单行注释、多行注释和文档注释各自语法及用途 7.构造方法以及作用【带参数和不带参数的构造方法应用以及子类调用父类 构造方法】 8.类及其属性、方法修饰符【访问范围】 9.修饰符混用：abstract不能与final并列修饰同一个类【正确】；abstract类中 不可以有private的成员【正确】；abstract方法必须在abstract类中【错误】； static方法中能处理非static的属性【正确】 10.抽象方法抽象类 11.接口的继承特点，类的继承【子类访问父类变量和方法问题、变量隐藏】 特点、多态、子类调用父类相同名字的变量和方法。 12.创建对象数量问题：【1】String s1="bc"; String s2="bc";【2】String s1="bc"; String s2=new String("bc"); 13.方法返回类型及方法的定义 14.final变量及特点 15.静态变量和非静态变量 16.abstract和final修饰符 17.综合【一般类的编写：成员变量和成员方法，抽象类使用、接口定义及使 用、水仙花数、素数、回文数等】 18.讨论分析 (1)如果p是父类Parent的对象，而c是子类Child的对象，则语句c=p是正确的。 (2)最终类不能派生子类，最终方法不能被覆盖。 (3)Java中的String类的对象既可以是字符串常量，也可以是字符串变量。 (4)Java中数组的元素可以是简单数据类型的量，也可以是某一类的对象。 (5)设String对象s=”Hello ”，运行语句System.out.println(s.concat(“World!”));后String 对象s的内容为”Hello world!”，所以语句输出为Hello world! (6)System类不能实例化，即不能创建System类的对象。 (7)子类的域和方法的数目一定大于等于父类的域和方法的数目。 (8)Java的源代码中定义几个类，编译结果就生成几个以.class为后缀的字节码文件。 (9)Java中数组的元素只可以是简单数据类型的量。 (10)Java的字符类型采用的是ASCII编码。 (11)abstract不能与final并列修饰同一个类 (12)abstract类中不可以有private的成员 (13)abstract方法必须在abstract类中 (14)static方法中能处理非static的属性