(完整word版)导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

1 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 第一部分：历届导数高考压轴题 (全国2理)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． （全国1理）已知函数11axxfxex. （Ⅰ）设0a，讨论yfx的单调性； （Ⅱ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围. （全国1理）设函数()eexxfx． （Ⅰ）证明：()fx的导数()2fx≥； （Ⅱ）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围． （全国2理）设函数sin()2cosxfxx． （Ⅰ）求()fx的单调区间； （Ⅱ）如果对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围． （辽宁理）设函数ln()lnln(1)1xfxxxx. ⑴求()fx的单调区间和极值; ⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式()fxa…的解集为(0,)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由. （新课标理）设函数)(xf=21xexax. （Ⅰ）若0a，求)(xf的单调区间; （Ⅱ）若当x≥0时)(xf≥0，求a的取值范围. （新课标文）已知函数2()(1)xfxxeax.
2 （Ⅰ）若()fx在1x时有极值，求函数()fx的解析式； （Ⅱ）当0x时，()0fx，求a的取值范围. （全国大纲理）设函数()1xfxe. （Ⅰ）证明：当1x时，()1xfxx； （Ⅱ）设当0x时，()1xfxax，求a的取值范围. （新课标理）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy. （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围. 例题：若不等式3sinxxax对于(0,)2x恒成立，求a的取值范围 第二部分：泰勒展开式 1.2311,1!2!3!!(1)!nnxxxxxxxeennK其中(01)； 2. 231ln(1)(1),2!3!!nnnxxxxxRnK其中111(1)()(1)!1nnnnxRnx； 3.35211sin(1)3!5!(21)!kknxxxxxRkK，其中21(1)cos(21)!kknxRxk； 4. 24221cos1(1)2!4!(22)!kknxxxxRkK，其中2(1)cos(2)!kknxRxk；
3 第三部分：洛必达法则及其解法 洛必达法则：设函数()fx、()gx满足： （1）lim()lim()0xaxafxgx； （2）在()Uao内，()fx和()gx都存在，且()0gx； （3）()lim()xafxAgx （A可为实数，也可以是）. 则()()limlim()()xaxafxfxAgxgx. 1.（新课标理）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy. （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围. 常规解法 （Ⅰ）略解得1a，1b. （Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法 由（Ⅰ）知ln1()1xfxxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx. 考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx. (i)当0k时，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx.因为(1)0h， 所以当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当(1,)x时，()0hx，可得 21()01hxx，从而当0x且1x时，ln()()01xkfxxx，即ln()1xkfxxx； （ii）当01k时，由于当1(1,)1xk时，2(1)(1)20kxx，故'()0hx，而(1)0h，故当1(1,)1xk时，()0hx，可得21()01hxx，与题设矛盾. （iii）当1k时， '()0hx，而(1)0h，故

当(1,)x时，()0hx，可得21()01hxx，与题设矛盾.综上可得，k的取值范围为(0]，. 注：分三种情况讨论：①0k；②01k；③1k不易想到.尤其是②01k时，许多考生都停留在此层面，举反例1(1,)1xk更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.
4 洛必达法则解法 当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，即ln1ln11xxkxxxx， 也即2ln1ln2ln1111xxxxxxkxxxx，记22ln()11xxgxx，0x，且1x 则2222222222(1)ln2(1)2(1)1'()=(ln)(1)(1)1xxxxxgxxxxx， 记221()ln1xhxxx，则22222214(1)'()+=0(1+)(1+)xxhxxxxx， 从而()hx在(0,)上单调递增，且(1)0h，因此当(0,1)x时，()0hx，当(1,)x时，()0hx；当(0,1)x时，'()0gx，当(1,)x时，'()0gx，所以()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增. 由洛必达法则有 2211112ln2ln2ln2lim()lim(1)1lim1lim0112xxxxxxxxxgxxxx， 即当1x时，()0gx，即当0x，且1x时，()0gx. 因为()kgx恒成立，所以0k.综上所述，当0x，且1x时，ln()1xkfxxx成立，k的取值范围为(0]，. 注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函数22ln()11xxgxx求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当=1x时，函数()gx值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法. 2.（新课标理）设函数2()1xfxexax. （Ⅰ）若0a，求()fx的单调区间； （Ⅱ）当0x时，()0fx，求a的取值范围. 应用洛必达法则和导数 （Ⅱ）当0x时，()0fx，即21xexax. ①当0x时，aR；②当0x时，21xexax等价于21xexax. 记21()xexgxx (0+)x，，则3(2)2'()xxexgxx. 记()(2)2xhxxex (0+)x，，则'()(1)1xhxxe，当(0+)x，时，''()0xhxxe，所以'()(1)1xhxxe在(0+)，上单调递增，且'()'(0)0hxh，所以()(2)2xhxxex在(0+)，上单调递增，且()(0)0hxh，因此当(0+)x，时，3()'()0hxgxx，从而21()xexgxx在(0+)，上单调递增. 由洛必达法则有， 20000111lim()limlimlim222xxxxxxxexeegxxx 即当0x时，1()2gx，所以当(0+)x，时，所以1()2gx，因此12a. 综上所述，当12a且0x时，()0fx成立.
5 例题：若不等式3sinxxax对于(0,)2x恒成立，求a的取值范围. 应用洛必达法则和导数 当(0,)2x时，原不等式等价于3sinxxax. 记3sin()xxfxx，则43sincos2'()xxxxfxx. 记()3sincos2gxxxxx，则'()2cossin2gxxxx. 因为''()cossincos(tan)gxxxxxxx， '''()sin0gxxx，所以''()gx在(0,)2上单调递减，且''()0gx， 所以'()gx在(0,)2上单调递减，且'()0gx.因此()gx在(0,)2上单调递减， 且()0gx，故4()'()0gxfxx，因此3sin()xxfxx在(0,)2上单调递减. 由洛必达法则有 3200000sin1cossincos1lim()limlimlimlim3666xxxxxxxxxxfxxxx， 即当0x时，1()6gx，即有1()6fx. 故16a时，不等式3sinxxax对于(0,)2x恒成立. 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则

解决的试题应满足： ① 可以分离变量； ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； ③出现“00”型式子. （海南宁夏文） 已知函数2()(1)xfxxeax. （Ⅰ）若()fx在1x时有极值，求函数()fx的解析式； （Ⅱ）当0x时，()0fx，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 当0x时，()0fx，即2(1)xxeax. ①当0x时，aR； ②当0x时，2(1)xxeax等价于1xeax，也即1xeax. 记1()xegxx，(0,)x，则(1)1'()xxegxx. 记()(1)1xhxxe，(0,)x，则'()0xhxxe，因此()(1)1xhxxe在(0,)上单调递增，且()(0)0hxh，所以()'()0hxgxx，从而1()xegxx在(0,)上单调递增. 由洛必达法则有
6 0001lim()limlim11xxxxxeegxx， 即当0x时，()1gx 所以()1gx，即有1a. 综上所述，当1a，0x时，()0fx成立. （全国大纲理）设函数()1xfxe. （Ⅰ）证明：当1x时，()1xfxx； （Ⅱ）设当0x时，()1xfxax，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 由题设0x，此时()0fx. ①当0a时，若1xa，则01xax，()1xfxax不成立； ②当0a时，当0x时，()1xfxax，即11xxeax； 若0x，则aR； 若0x，则11xxeax等价于111xexax，即1xxxxeeaxex. 记1()xxxxeegxxex，则2222221'()=(2)()()xxxxxxxxexeeegxexexexxex. 记2()2xxhxexe，则'()2xxhxexe，''()+20xxhxee. 因此，'()2xxhxexe在(0)，上单调递增，且'(0)0h，所以'()0hx， 即()hx在(0)，上单调递增，且(0)0h，所以()0hx. 因此2'()=()0()xxegxhxxex，所以()gx在(0)，上单调递增. 由洛必达法则有 000011lim()limlimlim122xxxxxxxxxxxxxxxeexeexegxxexexeexe，即当0x时， 1()2gx，即有1()2gx，所以12a.综上所述，a的取值范围是1(,]2. （全国2理）设函数sin()2cosxfxx． （Ⅰ）求()fx的单调区间； （Ⅱ）如果对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）22(2cos)cossin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)xxxxxfxxx． 当2π2π2π2π33kxk（kZ）时，1cos2x，即()0fx；
7 当2π4π2π2π33kxk（kZ）时，1cos2x，即()0fx． 因此()fx在每一个区间2π2π2π2π33kk，（kZ）是增函数， ()fx在每一个区间2π4π2π2π33kk，（kZ）是减函数． 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 sin()2cosxfxaxx 若0x，则aR； 若0x，则sin2cosxaxx等价于sin(2cos)xaxx，即sin()(2cos)xgxxx 则222cos2sinsincos'()(2cos)xxxxxxgxxx. 记()2cos2sinsincoshxxxxxxx， 2'()2cos2sin2coscos212sincos212sin2sin2sin(sin)hxxxxxxxxxxxxxxx 因此，当(0,)x时，'()0hx，()hx在(0,)上单调递减，且(0)0h，故'()0gx，所以()gx在(0,)上单调递减， 而000sincos1lim()limlim(2cos)2+cossin3xxxxxgxxxxxx. 另一方面，当[,)x时，sin111()(2cos)3xgxxxx，因此13a.