与圆有关的计算

与圆有关的计算

典例1如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为

A．2 cm B． cm

C．4 cm D． cm

【答案】B

【解析】如图，连接OC，OD，

∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°，

∵OC=OD，OM⊥CD，∴∠COM=30°，∵⊙O的周长等于8π cm，∴OC=4 cm，

∴OM cm），故选B．

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．

1．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________．2．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；

（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

典例2如图，A 、B 、C 是圆O 上三个不同的点，且//AO BC ，20OAC ∠=o ，若1OA =，则?AB 长是

A ．1

18π B ．19π

C ．29

π

D ．718

π

【答案】C

【解析】∵AO ∥BC ，∴∠ACB=∠OAC=20°，由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．∴?AB 的长为

401180π??=2

9

π，故选C ．

【名师点睛】本题主要考查了弧长的求解，解题的关键是熟知圆周角定理和平行线的性质． 典例3 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧?AB ，则?AB 的展直长度为

A ．3π

B ．6π

C ．9π

D ．12π

【答案】B

【解析】?AB 的展直长度为：

10810

180

π?=6π（m ）．故选B ．

【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．

3．圆心角为240°的扇形的半径为3cm ，则这个扇形的面积是 A ．πcm 2 B ．3πcm 2

C ．9πcm 2

D ．6πcm 2

4．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为

A ．

2

2

m π B 2m

C ．2m π

D ．22m π

1．时钟的分针长5cm ，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是

A ．

25

4

πcm B ．

15

2

πcm C ．

5

2

πcm D ．

5

12

πcm

2．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ，则?AB 的长是

A ．π

B ．

3

2

π C ．2π D ．

12

π 3．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 A ．90°

B ．120°

C ．150°

D ．180°

4．已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC =25°，则劣弧?AC 的长为

A ．25π

36 B ．

125π

36

C ．25π18

D ．5π36

5．【河北省秦皇岛市海港区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，正六边形的周长是12，则O e 的半径是

A ．3

B ．2

C ．

D ．6．如图，在ABC △中，90ACB ∠=?，30A ∠=?，4AB =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，

交AB 于点D ，则?CD

的长为

A ．

1

π6

B ．1π3

C ．

2π3

D ．

π3

7．如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知BC =6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为

A ．

3

4

B ．

35

C ．

45

D ．

53

8．【山西省2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，AB 为O e 的直径，C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，连接AC AD BC BD 、、、，若2AB =，则图中阴影部分的面积为

A ．

2

3

π

-

B ．

2

3

π

-

C ．3

π-

D ．3

π-

9．【广东省广州市南沙区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】若一个圆锥的底面积为

24cm π，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为

A ．40?

B ．80?

C ．120?

D ．150?

10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=?，点E 在弧AD 上．若AE 恰

好为⊙O 的内接正十边形的一边，?DE

的度数为__________．

11．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm ，扇形的弧长是

6πcm ，那么这个圆锥的高是__________．

12．【吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学2019–2020学年九年级第

二次月考数学试题】如图，I 是△ABC 的内心，∠B =60°，则∠A I C =__________．

13．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm 的⊙O ，?AB =90°，弓形ACB （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为__________．

14．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留根号和π）．

15．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，

可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而

90

2

=45是360°（多边形外角和）的

1

8

，

这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是__________；

在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是__________．

16．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．（1）求证：AB平分∠OAD；

（2）若点E是优弧?

AEB上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积（计算结果保留π）．

17．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．

（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE DF =3，求图中阴影部分的面积．

18．如图，在ABC ?中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，OE AB ⊥于点E ，以点O 为圆心，OE

为半径作半圆，交AO 于点F ． （1）求证：AC 是O e 的切线；

（2）若点F 是AO 的中点，3OE =，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE PF +取最小值时，直接写出BP 的长．

19．【山西省吕梁市汾阳市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，AB 是O e 的直径，

AC 是O e 的切线，切点为A ，BC 交O e 于点D ，点E 是AC 的中点.

（1）试判断直线DE 与O e 的位置关系，并说明理由；

（2）若O e 的半径为2，50B ∠=o ，5AC =，求图中阴影部分的周长.

20．如图，C 、D 是半圆O 上的三等分点，直径AB =4，连接AD 、AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于

点F ．

（1）求∠AFE 的度数；

（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

21．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．

（1）求证：DA=DE；

（2）若AB=6，CD

1．（2019?长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是

A．2πB．4π

C．12πD．24π

2．（2019?成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为?DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为

A．30°B．36°C．60°D．72°

3．（2019?金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为

A ．2

B

C ．

32

D

4．（2019?山西）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，AB BC =2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为

A ．

42

π

- B ．

42

π

+

C ．-π

D ．π

2

5．（2019?杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12 cm ，底面圆半

径为3 cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________cm 2（结果精确到个位）．

6．（2019?福建）如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E 、F 分别是

AD 、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）

7．（2019?贵港）如图，在扇形OAB 中，半径OA 与OB 的夹角为120?，点A 与点B 的距离为若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．

8．（2019?济宁）如图，O 为Rt△ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，

交OA 于点E ，已知BC ，AC =3．则图中阴影部分的面积是__________．

9．（2019?贺州）已知圆锥的底面半径是1，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．

AB=，将半圆绕点A顺时针旋转60?，点B旋10．（2019?十堰）如图，AB为半圆的直径，且6

转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．

11．（2019?河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥O A．若OA=

__________．

12．（2019?广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．

13．（2019?河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是?BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；

（2）填空：

①若AB=4，且点E是?BD的中点，则DF的长为__________；

②取?AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．

14．（2019?滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：直线DF是⊙O的切线；

（2）求证：BC2=4CF·AC；

（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．

15．（2019?辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA

∠=∠．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2

）若CE AE

==

1．【答案】C

【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过15分钟转过360°×15

60

=90°，

则分针的针尖转过的弧长是l C．2．【解析】（1）连接OB，OC，

∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，

∴∠P=1

2

∠BOC=45°；

（2）过点O作OE⊥BC于点E，

∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，

∵OE2+BE2=OB2，∴BE==，

∴BC=2BE=2×=．

【点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．3．【答案】D

【解析】扇形面积的计算公式为：

2

π2409

S6π

360360

n rπ

??

===，故选D．

4．【答案】A

【解析】连接AC．∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，

∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．∵AB2+BC2=22，∴AB=BC m，

=1

2

π（m2）．故选A．

【名师点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

1．【答案】C

【解析】∵25B ∠=?，∴50O ∠=?，∵//AB CO ，∴50O A ∠=∠=?，故选C.

【名师点睛】本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键. 2．【答案】A

【解析】如图，连接OA 、OB ，

∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AB =BC =DC =AD ，

∴????AB BC

CD DA ===， ∴∠AOB =

1

4

×360°=90°， 在Rt△AOB 中，由勾股定理得：2AO 2

=（2

， 解得：AO =2， ∴?AB 的长为90π2

180

?=π，故选A ． 3．【答案】D

【解析】∵圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形， ∴圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4， 则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4， 设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n ， 根据题意，得：

·π·4

180

n =4π， 解得：n =180°，故选D ． 4．【答案】C

【解析】如图，连接AO ，CO ，

∵∠ABC =25°，∴∠AOC =50°，∴劣弧?AC 的长=50π525π

=18018

?，故选C ． 5．【答案】B

【解析】如图，连结OA ，OB ，

∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB =360°×1

6

=60°，∴△AOB 是等边三角形， ∵正六边形的周长是12，∴AB =12×

1

6

=2，∴AO =BO =AB =2，故选B ． 【名师点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB =60°是解答此题的关键. 6．【答案】C

【解析】∵90ACB ∠=?，4AB =，30A ∠=?，∴60B ∠=?，2BC =，

∴?CD

的长为60π22π

1803

?=，故选C ． 7．【答案】C

【解析】设圆锥的母线长为R ，由题意得15π=π×3×R ，解得R =5， ∴圆锥的高为4，∴sin ∠ABC =4

5

．故选C ． 8．【答案】B

【解析】设AD BC 、相交于点,E C Q 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，AB 为⊙O 的直径

30ABC BAD ∴∠=∠=?.90ACB BDA ∠=∠=?.2AB =Q ，1,

AC BD ∴==

ABC ABD BC AD S S ==∴==

V V ，如图，连接OE ，则OE AB ⊥，

1,3

AO BO OE ==∴=

Q ，

12233ABE S ∴=?=V ，2222323

ABC ABE S S S S ππ∴=-+=-?+=-

V V 阴影半圆， 故选B .

【名师点睛】此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE 的面积是解题的关键. 9．【答案】C

【解析】∵圆锥的底面积为4πcm 2

，∴圆锥的底面半径为2cm ，

∴底面周长为4π，圆锥的高为cm ， ∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm ， 设侧面展开图的圆心角是n °， 根据题意得：

6180

n π

=4π，解得：n =120．故选C ． 【名师点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 10．【答案】84?

【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，

∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=?， ∵120C ∠=?，∴60BAD ∠=?，

∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=?，2120AOD ABD ∠=∠=?， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610

AOE ?

∠=

=?， ∴1203684DOE ∠=?-?=?，∴?DE

的度数为84°．故答案为：84°．

11．【答案】4cm

【解析】设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，解得：r=3，cm）．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．

12．【答案】120°．

【解析】∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°

∵三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点，

∴∠I AC=1

2

∠BAC，∠I CA=

1

2

∠BCA，

∴∠I AC+∠I CA=1

2

（∠BAC+∠BCA）=60°，

∴∠A I C=180°﹣60°=120°，故答案为120°．

【名师点睛】此题主要考查利用三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点性质进行角度求解，熟练掌握，即可解题.

13．【答案】（32+48π）cm2

【解析】如图，连接OA、OB，∵?AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=1

2

×8×8=32（cm2），

扇形ACB（阴影部分）=

2

270π8

360

??

=48π（cm2），则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，

故答案为：（32+48π）cm2．

14．【答案】

2

-π

3 【解析】正六边形的中心为点O ，如图，连接OD 、OE ，作OH ⊥DE 于H ，

∴∠DOE =

3606?=60°，∴OD =OE =DE =1，∴OH

∴正六边形ABCDEF 的面积=

12×1×2×6=2

，∠A =(62)1806-??=120°，

∴扇形ABF 的面积=2120π13π603?=，∴图中阴影部分的面积=

2-π3，故答案为：2

-π

3． 15．【答案】14；21

【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8-2+2+8-2=14； 设∠BPC =2x ，

∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为：

360180

180290x x =--，

以∠APB 为内角的正多边形的边数为：360

x

，

∴图案外轮廓周长是=18090x --2+360x -2+360x -2=18090x -+720

x

-6，

根据题意可知：2x 的值只能为60°，90°，120°，144°， 当x 越小时，周长越大，

∴当x =30时，周长最大，此时图案定为会标， 则则会标的外轮廓周长是=

180720

903030

+--6=21，故答案为：14；21．

16．【解析】（1）连接OB ，如图所示：

∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，

∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，∴AB平分∠OAD；（2）∵点E是优弧?

AEB上一点，且∠AEB=60°，

∴∠AOB=2∠AEB=120°，

∴扇形OAB的面积=

2

120π3

360

=3π．

17．【解析】（1）DE与⊙O相切，理由：如图，连接DO，

∵DO=BO，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，

∴∠EBD=∠DBO，

∴∠EBD=∠BDO，

∴DO∥BE，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB=∠EDO=90°，

∴DE与⊙O相切．

（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，