青岛版数学九年级上册教案3.1圆的对称性

3.1圆的对称性

教学目标

【知识与能力】

(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；

(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．

【过程与方法】

(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；

(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．

【情感态度价值观】

经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点

【教学重点】

对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．

【教学难点】

能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、创设情境，导入新课

问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？

(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．

问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？

生：折叠．

今天我们继续来探究圆的对称性．

问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？

生：圆心和半径．

问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？

忆一忆：

1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．

2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．

3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．

4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．

二、探究交流，获取新知

知识点一：圆的对称性

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？

动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？

学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．

知识点二：垂径定理

按下面的步骤做一做：

1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．

2．得到一条折痕CD ．

3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．

师：老师和大家一起动手．

(教师叙述步骤，师生共同操作)

师：通过第一步，我们可以得到什么？

学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．

师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？

生：我发现了，AM =BM ，AC BC =，AD BD =．

师：为什么呢？

生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．

师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？

师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合， AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM =BM ，AC =BC ，AD =BD ．

师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？

生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

例1：如教材69页图3-4，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C ，D ，且AC =BD .求证：OA =OB . 例2:1400多年前，我国隋唐时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度为37.02m ，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m.求拱桥所在圆的半径(精确到0.1m). 知识点三：圆的中心对称性．

问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？

让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

知识点四：同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系

做一做：

在等圆⊙O 和⊙O '中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．

小红认为''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的：

∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，

∴半径OB 与OB '重合，

∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，

∴AB 与A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合，

∴AB =A B ''，AB =A B ''．

生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．

结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？

学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．

结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

例3：如书本71页图3-11，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE .求证：

(1)弧AD =弧CE ；

(2)BE =EC .

知识点五：圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系

思考：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每份圆心角的度数是多少？

（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？ 师：整个圆1360

的叫做1°的弧.1°的圆心角所对的弧是多少度；反之，1°的弧所对的圆心角是多少度.圆心角与它所对的弧有什么关系？

生：1°的圆心角所对的弧是1°；1°的弧所对的圆心角是1°.

结论：圆心角的度数与它所对弧的度数相等.

例4：如书本73页图3-14，OA ，OC 是⊙O 中两条垂直的直径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B =25°.求弧AD ，弧CD 的度数.

例5：如书本73页图3-15，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3

1，圆的半径为2cm ，求AB 的长. 三、随堂练习

1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．

2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：

(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；

(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；

(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．

3．已知，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．

四、自我小结，获取感悟

1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？

2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？

3．对老师说，你还有哪些困惑？