2020届 河南省名校联盟 高三尖子生第七次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}|0A x x =>，集合(
){
}2
|ln 12
B x x x x ==-++，则A B =I
（ ）
A ．()0,4
B ．()4,3-
C ．()0,3
D ．[)2,3
【答案】A
【解析】先化简集合B ，再求解A B I . 【详解】
因为(
){
}{}2
2
|ln 12
|120x x
B y x x x x ==-++=-+>+
{}{}()2|120|343,4x x x x x =--<=-<<=-，
又{}|0A x x =>，所以()0,4A B =I . 故选：A. 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，以及具体函数的定义域，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
2．复平面内的两点()1,2P -，()2,1Q -对应的复数分别为1z ，2z ，则12z z ?=（ ） A ．5i B ．5i -
C ．5i -+
D ．5i -
【答案】B
【解析】先写出1z ，2z ，结合复数的乘法运算可求12z z ?. 【详解】
依题意112z i =-+，22z i =-+，所以()()121222425z z i i i i i ?=-+-+=---=-. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查复数的运算，由点的坐标表示出复数是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
3．某自媒体为了了解公众网上购物的情况，收集并整理了2018年全年每月甲、乙两个网络购物平台点击量（单位：万次）的数据，绘制了下面的折线图：
根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量 B ．全年各月甲平台点击量的中位数是28 C ．全年各月乙平台点击量的极差为38 D ．8月份甲、乙两个平台的点击量相差最多 【答案】C
【解析】结合图表及数据计算出平均数，中位数，极差等，再结合选项可求结果. 【详解】
计算可知全年甲、乙平台的点击量分别为301、341，故选项A 错误；全年各月甲平台点击量的中位数是
2028
242
+=，故选项B 错误；全年各月乙平台点击量的极差为491138-=，故选项C 正确；7月份甲、乙两个平台的点击量相差为32，8月份相差
30，故选项D 错误.故选：C. 【点睛】
本题主要考查统计图表的识别，明确统计量的求解方法是本题的关键，侧重考查数据处理的核心素养.
4．已知等比数列{}n a 的首项为2，前3项和36S =，则其公比q 等于（ ） A ．1 B ．-2
C ．2
D ．1或-2
【答案】D
【解析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比. 【详解】
由题意知31236S a a a =++=，∴22226q q ++=，解得1q =或2q =-. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等比数列的和，利用等比数列的和求解公比时要注意公式的选择，否则会有漏解的情况，侧重考查数学运算的核心素养.
5．与双曲线1C ：22
143
x y -=有相同的渐近线，且过点(的双曲线2C 的离心
率是（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．
43
D 【答案】D
【解析】设出双曲线2C 的方程，利用所过点求出双曲线2C 的方程，然后求解离心率. 【详解】
设双曲线2C 的方程为22
143x y k k
-=，将点(代入，得812143k k -
=，解得2k =-，所以双曲线2C 的方程为22
168
y x -=，则离心率
3
e ===
. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率，利用共用双曲线的渐进线求出双曲线的方程是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
6．灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某庭院挂着一盏表面积为4π平方尺西瓜灯（看成球），灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2寸高为4寸的圆锥，现向该灯笼内任取一点，则该点取自灯焰内的概率为（注：1尺＝10寸）（ ） A ．0.004 B ．0.012
C ．0.024
D ．0.036
【答案】A
【解析】分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果. 【详解】
设该灯笼的半径为R ，则244R ππ=，解得1R =，所以该灯笼的体积
341433V ππ
?==
立方尺40003π=立方寸，该灯笼内的灯焰的体积211162433
V π
π=???=立方寸，所以该点取自灯焰内的概率为
1
1630.00440003
V V ππ
==， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查几何概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.
7．过原点的直线l 与椭圆C ：22
142
x y +=交于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，
若FA FB ?u u u r u u u r
的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=（ ） A
．B
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】设出点()00,A x y ，()00,B x y --，表示出22
00
2FA FB x y ?=--u u u r u u u r ，利用二次函数知识求解最值. 【详解】
依题意，可设()00,A x y ，()00,B x y --
，又()F
，则()
00FA x y =+u u u r
，
()
00FB x y =-+-u u u r ，所以2200
2FA FB x y ?=--u u u r u u u r ， 因为()
2
202
00
2444
2
x x y --=
=
，所以222
00022x FA FB x y ?=--=-u u u r u u u r . 因为2
004x ≤≤，所以FA FB ?u u u r u u u r
的最大值与最小值分别为0M =，2m =-，所以
2M m -=.故选：C.
【点睛】
本题主要考查椭圆中的最值问题，综合了向量数量积的运算，表示出目标式，结合目标式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.
8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．12
【答案】B
【解析】先求含有两个数字0，两个数字2的四位数，再求两个数字1，两个数字2的
四位数，可得答案. 【详解】
第一类，含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数为2
33C =；
第二类，含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为2
4
6C =，由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为369+=. 故选:B. 【点睛】
本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题. 9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）
A ．3
2
-
B ．-2
C ．0
D ．2
【答案】B
【解析】结合程序框图，明确该程序是求数列()1cos 3
n n a π+=的前2019项的和，结
合数列的周期性可求和. 【详解】 设()1cos
3
n n a π
+=，该程序是求数列{}n a 的前2019项的和，
因为{}n a 是以6为周期的数列，且1234560a a a a a a +++++=， 所以201920172018201912333602S a a a a a a =?+++=++=-. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查程序框图的识别，综合了数列的性质，明确程序框图的含义是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
10．函数()()cos 0,0,02f x
A x A πω?ω??
?=+>><< ??
?的部分图象如图所示，且
19,02P ?? ???，21,02Q ??
???
，则函数()f x 的一个单调递减区间是（ ）
A ．59,22??????
B ．51,22??
-
-????
C ．31,22??
-
????
D ．711,
22??
????
【答案】D
【解析】结合图象可得函数的周期，进而可得2
π
ω=，结合点的坐标可得4
π
?=
，然后
可求单调递减区间. 【详解】
由图知，周期T 满足2119
1422
T =-=，所以4T =，
又2T π
ω
=
，所以2
π
ω=
，则()cos 2f x A x π???
=+
???
， 因为192f A ??=- ???，所以19cos 122π???
?+=- ???
， 即3cos 14π???+=-
???
，所以4π?=，所以()cos 24A x f x π
π??=+ ???.
因为0A >，所以由222
4
k x k π
π
πππ≤
+
≤+，得()13
4422
k x k k Z -
≤≤+∈，取1k =得711
22
x ≤≤.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的图象求解函数解析式，同时求解单调区间，明确各个参数的求解方法是解决本题的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 11．已知数列{}n a 满足113a =，141n
n n
a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =
（ ）
A ．
8105
B ．
113
C ．
10129
D ．
11141
【答案】C
【解析】先对已知条件变形可得111
4n n a a +-=，进而可得141
n a n =-，利用裂项相消法可求10S . 【详解】 因为141
n n n a a a +=
+，所以
111
4n n a a +-=， 所以数列1n a ??????
是首项为3、公差为4的等差数列，所以141n n a =-，所以141n a n =-，
所以()()11
111414344143n n a a n n n n +??
=
=- ?-+-+??
，
所以1011111111110437471143943129
S ??????=-+-++-= ? ? ???????L ， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当1x >时，()2
68f x x x =-+.若函
数()()()1F x f x k x =--有5个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A
．44k -<< B
．44k -<< C
．4k > D
．4k <-
【答案】C
【解析】先根据()()110f x f x ++-=得出函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，结合直线与二次函数的交点关系可求实数k 的取值范围. 【详解】
因为函数()f x 满足()()110f x f x ++-=， 所以函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称.
函数()()()1F x f x k x =--有五个零点，即方程()()10f x k x --=有五个实数根，
即函数()y f x =的图象与直线()1y k x =-有5个交点.
因为直线()1y k x =-过点()1,0，且(1)=0f ，只需直线()1y k x =-与
()()2681f x x x x =-+>的图象有2个交点即可.
将()1y k x =-代入()2
681y x x x =-+>，整理得()2
680x k x k -+++=，
设两个交点为()11,P x y ，()22,Q x y ，则()()()()2121
2
64802110
k k x x x x ?+-+>?
+>??-->?，即
()()()2648062
8610k k k k k ?+-+>?
+>??+-++>?
，解得4k >. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数的性质及零点问题，零点个数问题一般是转化为两个函数图象交点的问题，结合函数图象容易得出结论，侧重考查数学抽象的核心素养.
二、填空题
13．已知向量()1,1a =r ，()5,2b =-r ，2c a b =+r r r ，则a r 在c r
方向上的投影是______.
【答案】
15
【解析】先求出向量c r 的坐标，利用公式a c c
?r r r 可得a r 在c r
方向上的投影.
【详解】
()23,4c a b =+=-r r r ，则a r 在c r
方向上的投影是
15
a c c
=
=?r r
r . 故答案为：15
. 【点睛】
本题主要考查向量的投影，明确平面向量的投影的求解方法是关键，侧重考查数学运算的核心素养.
14．已知实数x ，y 满足2050370x y x y x y -≤??
+-≤??+-≥?
，则3z x y =-+的取值范围是______.
【答案】[]
1,11
【解析】根据约束条件作出可行域，平移0l 找到3z x y =-+取最值的点，然后可得范围. 【详解】
由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC 阴影部分区域（含边界），
作直线0l ：30x y -+=，平移直线0l ，当过点()1,4A 时取得最大值13411z =-+?=，
当过点()2,1B 时取得最小值2311z =-+?=，所以3z x y =-+的取值范围是[]
1,11. 故答案为：[]
1,11.
【点睛】
本题主要考查线性规划，利用线性规划求解最值时，准确作出图形是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.
15．已知函数()cos 1x
f x e a x =++在点()()
0,0A f 处的切线方程为4y kx =+，则
a k +的值为______.
【答案】3
【解析】先求导数，结合(0)f k '=和()024f a =+=可得a k +的值.
【详解】 由题知，
()sin x f x e a x '=-，因为函数()cos 1x f x e a x =++在点()()0,0A f 处的
切线方程为4y kx =+，所以(0)1f k '==，
又()02f a =+，切点()0,2A a +在切线上，所以2104a +=?+，所以2a =，所以
3a k +=.
故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，利用曲线的切线求解参数时，主要从两个方面建立方程
组，一是切点处的导数值是切线的斜率；二是切点既在曲线上又在切线上，侧重考查数学抽象的核心素养.
16．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 是边长为2的正方形，用与直线PA 、BD 都平行的平面截此四棱锥，截面与AB 、AD 、PD 、PC 、PB 分别交于F 、G 、H 、M 、E ，则截面EFGHM 面积的最大值为__________. 【答案】
42
【解析】先根据题意明确截面的形状，然后表示出截面的面积，结合二次函数的知识求解最值. 【详解】 设
()01AF
AB
λλ=<<，连接AC ，BD ，AC 交BD ，FG 分别于O ，N ，连接NM ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，
∵//PA 平面EFGHM ，∴//EF PA ，//MN PA ，//GH PA ， ∴
1EF BF AB AF
PA AB AB λ-===-，////EF GH MN ，∴()21EF λ=-， ∵//BD 平面EFGHM ，连接EH ，∴//FG BD ，//EH BD ， ∴
AN FG AF AO BD AB λ===，//FG EH ，2122
MN CN AO AN AP AC AO λ
-===-， ∴四边形EFGH 为矩形，22FG BD λλ==，2MN λ=-，MN FG ⊥， ∴MEH EFGHM EFGH S S S ?=+截面矩形()()()1
2122222212
λλλλλ=-?+
?---???? 2
2423233λ??=--+ ??
?，∴当23λ=时，()max 423EFGHM S =截面. 故答案为：
42
.
【点睛】
本题主要考查立体图形中的最值问题，动态最值的确定的关键是明确目标的关系式，侧
重考查直观想象和数学运算的核心素养.
三、解答题
17．已知a ，b ，c 分别是ABC ?内角A ，B ，C 所对的边，
1
sin cos sin 2cos 2
a A C c A A +=.
（1）求角A ；
（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，CD =3AC =，求BDC ?的面
积.
【答案】（1）3
A π
=
；（2）4
BDC S ?=
【解析】（1）利用正弦定理化边为角，可得tan A =，进而可得角A ； （2）利用余弦定理求出1AD =，进而利用面积公式可求. 【详解】
（1）∵1
sin cos sin 2cos 2
a A C c A A +
=，
∴sin cos sin cos cos a A C c A A A +=，
由正弦定理得()sin sin cos cos sin cos A A C A C B A +=，
∴()sin sin cos A A C B A +=，即sin sin cos A B B A =，
∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，
显然cos 0A ≠，∴tan A = ∵0A π<<，∴3
A π
=
.
（2）在ADC ?中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+-?，
即
2
221
3232
AD AD =+-???，
解得1AD =或2AD =（舍）， ∵2AB AD =，∴1BD AD ==，
∴1132BDC ACD S S ??==??=
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形中边角进行转化是求解的关
键，侧重考查数学运算的核心素养.
18．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=?，DM ⊥平面ABCD ，//AN DM ，2DM =，1AN =.
（1）证明：//AC 平面BMN ；
（2）求直线MC 与平面BMN 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）
1
4
【解析】（1）作辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）建立直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的公式可求. 【详解】
（1）证明：设AC 与BD 的交点为Q ，则Q 为BD 的中点，
取BM 的中点P ，连接PQ ，则//PQ DM ，又//AN DM ，所以//PQ AN ， 因为1
12
PQ DM =
=，1AN =， 所以四边形PQAN 是平行四边形，则//AQ PN ， 因为PN ?平面BMN ，AQ ?平面BMN ， 所以//AQ 平面BMN ，即//AC 平面BMN .
（2）取AD 的中点O ，连接BO ，则BO AD ⊥，易得3BO =
因为DM ⊥平面ABCD ，所以平面ADMN ⊥平面ABCD ， 所以BO ⊥平面ADMN .
建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O
，)
3,0,0B ，)3,2,0C ，()0,1,2M ，
()0,1,1N -.
所以)3,1,2MB =
--u u u r ，()0,2,1MN =--u u u u r
，)
3,1,2MC =
-u u u u r .
设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r
，
则
MB m
MN m
??=
?
?=
?
u u u v v
u u u u v v，即
320
20
x y z
y
z
?--=
?
?
--=
??
，
取1
y
=-，得3
x=，2
z=，所以()
3,1,2
m=-
u r
.
设直线MC与平面BMN所成角为θ，
则sin cos,
MC m
MC m
MC m
θ
?
==
u u u u r u r
u u u u r u r
u u u u r u r
3141
4
88
--
==
?
.
【点睛】
本题主要考查空间线面平行的证明及线面角的求解，线面平行一般利用线线平行或者面
面平行来证明，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
19．某教辅公司近年重点打造出版了一套高考一轮复习资料，为了调查读者对这套教
辅的满意程度，该公司组织了免费送书活动，并邀请了部分接受赠送的读者参与了问卷
调查，其相关评分（满分100分）情况统计如下图所示：
为了判断今年该套教辅的销售情况，公司将该教辅前五年销售数量和年份情况统计如
下：
年份代码t12345销售量y（万册） 5.6 5.76 6.2 6.5（1）求参加问卷调查的读者所给分数的平均分；
（2）以频率估计概率，若在参加问卷调查的所有读者中随机抽取3人，记给分在
[)
40,50或[]
80,100的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）根据上表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程$$y bt
a =+$. 附：对于一组数据(),i i t y ，1,2,3,,i n =???，其回归直线$$y bt
a =+$的斜率和截距的计算公式：()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i t
t
y y b t
t
==--=-∑∑$
，a y bt =-$$.
【答案】（1）65；（2）X 的分布列见解析，()910
E X =
；（3）$0.23 5.31y t =+ 【解析】（1）利用频率分布直方图区间中点代表区间平均数进行求解； （2）利用二项分布的概率求解可求分布列，结合二项分布期望公式可求期望; （3）根据公式，分别求解相关量，然后可得直线方程. 【详解】
（1）依题意，所求平均分
350.025450.15550.2650.25x =?+?+?+?750.225850.1950.05+?+?+?
0.875 6.751116.2516.8758.5 4.7565=++++++=.
（2）随机抽取1人，给分在[)40,50或[]80,100的概率310p =
，故33,10X B ??
???
:， 则()3
73430101000P X ??=== ???，()2
1373441110101000P X C ????=== ? ?
????， ()1
22373189210101000P X C ??
??=== ?
???
??，()3
3273101000
P X ??=== ?
??， 故X 的分布列为：
故()3931010
E X =?
=. （3）由题意可知：1234535t ++++=
=， 5.6 5.76 6.2 6.5
65
y ++++==， ()()()()()()5
1
20.410.3i
i
i t
t
y y =--=-?-+-?-∑010.220.5 2.3++?+?=，
(
)
()()5
2
22
221
2101210i i t t
=-=-+-+++=∑，
()()
()
5
1
5
2
1
2.30.2310
i
i
i i
i t t y y b
t
t
==--=-=
=∑∑$，$60.233 5.31a
y b t =-?==-?$， ∴y 关于t 的线性回归方程为$0.23 5.31y t =+. 【点睛】
本题主要考查二项分布的分布列期望及回归直线方程的求解，综合性较强，难度适中，回归直线求解时要计算准确，侧重考查数据处理的核心素养.
20．抛物线C ：()2
0x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为α且经过点F ，
直线l 与抛物线C 交于两点A ，B . （1）若16AB =，求角α；
（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为β.试探究αβ-是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）3
π
α=
或23
π
α=
；（2）为定值，理由见解析 【解析】（1）先根据抛物线的焦点确定抛物线的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式可求角α；
（2）通过导数，表示出切线的斜率，得到点E 的坐标，结合斜率公式求出EF 的斜率，进而可得αβ-为定值. 【详解】
（1）由抛物线()2
0x py p =>的焦点为()0,1F ，可得4p =，
所以抛物线C 的方程为24x y =.
设直线l 的方程为()1tan y kx k α=+=，代入24x y =，消去x ， 得(
)2
2
2410y k
y -++=，设()1
1
,A x y ，()2
2
,B x y ，则21
2
24y y
k +=+，
所以212242162
p
AB y y k =++
=++=， 得23k =
，k =
tan α=3
π
α=
或23
πα=
.
（2）设直线l 方程为()tan 4p
y kx k α=+=，211,x A x p ?? ???，2
22,x B x p ?? ??
?，
将直线l 的方程4p y kx =+代入2x py =，消去y ，得2204
p x pkx --=，
则12x x pk +=①，2
124
p x x =-②.
由2
x y p
=求导，得2y x p '=，
所以直线1l ，2l 的斜率分别为112x k p =
，2
22x k p
=， 则1l ，2l 的方程分别为2112x x y x p p =-③，2
22
2x x y x p p
=-④， 解③④组成的方程组，结合①，②，得2pk x =
，4p y =-，即,2
4pk
p E ??-
???， 因为0,
4p F ?
?
???
，所以1442
EF p p k pk k -
-
==-，所以1EF
k k ?=-，所以EF l ⊥.
所以90αβ-=?为定值. 【点睛】
本题主要考查抛物线中的定值问题，设出直线，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式，是这类问题的常用求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.
21．已知函数()3
1
4
f x x ax =++
，()ln g x x =-. （1）若函数()f x 的极小值不小于1
4
a +，求实数a 的取值范围；
（2）用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，设()()(){}()max ,1h x f x g x x =≥，讨
论()h x 零点的个数.
【答案】（1）27
04
a -
≤<；（2）见解析 【解析】（1）求解导数，讨论a ，求出极小值，进而可得实数a 的取值范围；
（2）分类讨论a 的值，确定()()(){}()max ,1h x f x g x x =≥的表达式，结合单调性，
得出零点个数.
【详解】
（1）2()3f x x a '=+，
当0a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在R 上单调递增，无极值，不满足题意；
当0a <时，令()0f x '>，解得x >x <-
令()0f x '<，解得x -
<<
故函数()f x 在区间,?-∞ ?上单调递增，在区间?
?上单调递减，
在区间?+∞???
上单调递增，
故函数()f x 有极小值f ，
∴11
344a a a -
≥+， 解得27
04
a -
≤<. （2）①当1x =时，()10g =， 若()5104f a =+
≤，即5
4
a ≤-，则()()(){}()1max 1,110h f g g ===，则1x =是()h x 的零点；
若()5
104f a =+
>，即54
a >-，则()()(){}()1max 1,110h f g f ==>，则1x =不是()h x 的零点；
②当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，故只需研究()f x 在()1,+∞上的零点个数，即只需研究方程2
1
4x a x
+
=-在()1,+∞上的解的个数问题. 设()2
14t x x x =+，则()2238421
14t x x x x x
=-'=-， 当()1,x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()5
14
t x t >=. 当54a -≤
，即54a ≥-时，方程2
14x a x
+=-在()1,+∞上无解，所以函数()h x 在()
1,+∞上无零点；
当54a ->
，即54
a <-时，方程2
14x a x +
=-在()1,+∞上有一个解，所以函数()h x 在()1,+∞上有一个零点.
综上，当54a <-时，函数()h x 有两个零点；当5
4
a =-时，函数()h x 有一个零点；当5
4
a >-
时，函数()h x 无零点. 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题时，要注意单调性的判定，利用导数研究零点问题时，一般是利用导数得出函数图象的变化趋势，借助图象变化研究零点，侧重考查数学抽象的核心素养.
22．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为2412x t
y t
=+??
=-?（t 为参数），以坐标
原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
224
13sin ρθ
=
+.
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知M 是直线l 上的动点，N 是曲线C 上的动点，求MN 的最小值.
【答案】（1）240x y +-=，2214x y +=；（2）min
MN = 【解析】（1）消去参数t 得直线l 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直角坐标方程；
（2）设出N 的参数坐标形式，利用点到直线的距离结合三角函数知识可得MN 的最小值. 【详解】 （1）由2412x t
y t
=+??=-?（t 为参数）消去参数t 得直线l 的普通方程为240x y +-=，
∵2
2
4
13sin ρθ
=
+，∴2223sin 4ρρθ+=， ∴22
44x y +=，∴曲线C 的直角坐标方程2
214
x y +=.
（2）设()2cos ,sin N θθ，则点N 到直线l 的距离
d==
，
∴当sin1
4
π
θ??
+=
?
??
时，
min
d=，
∴
min
min5
MN d=
=.
【点睛】
本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数方程求解最值问题，熟记转化方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
23．已知函数()2
f x x
=-.
（1）求不等式()()23
f x f x
+>的解集；
（2）若不等式()()2
f x f x m
+≤有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）{|3
x x<-或7}
3
x>；（2）[)
1,
-+∞
【解析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为一次不等式求解；
（2）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为分段函数，求解分段函数的最小值即可. 【详解】
（1）不等式()()23
f x f x
+>，即2223
x x
-+->，
化为
1
2223
x
x x
<
?
?
--+>
?
或
1
2223
x
x x
≥
?
?
-+->
?
，解得3
x<-或7
3
x>，
∴不等式()()23
f x f x
+>的解集为{|3
x x<-或7}
3
x>.
（2）设
()()()
2222
h x f x f x x x
=+=-+-
222,1,1
222,134,1
x x x x x
x x x x x
?--+<-<
?
==
??
-+-≥-≥
?
?
，∴函数()
h x在区间(),1
-∞上是减函数，在区间()
1,+∞上是增函数，
∴()()
min
11
h x h
==-，
由题知，()min1
m h x
≥=-，
∴实数m的取值范围为[)
1,
-+∞.
【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法，含有绝对值的不等式求解一般是利用分类讨论去掉绝对值，转化为普通不等式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.