最新(高二数学空间直角坐标系word版本
宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）编号SXBx2-2-3
主编人:余奎审稿人：高二数学组定稿日：
协编人：高二数学备课组使用人：
课题：2.3.1 空间直角坐标系
学习内容学习目标高考考点考查题型
空间坐标系；
空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的
任意一点如何表示；
2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标。
1.空间坐标系
2.空间距离
选择，填空题、
解答题中分支
问题
一、新课导学
问题1:空间直角坐标系
(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°.
(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x 轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z) ,其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标.
(4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
问题2：（1）平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？
(2)．一个点在平面怎么表示？在空间呢？
二、课内探究
探究一：确定空间内点的坐标
例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4,
建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标.
变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.
探究二：关于一些对称点的坐标求法
(,,)
P x y z关于坐标平面xoy对称的点；
(,,)
P x y z关于坐标平面yoz对称的点；
(,,)
P x y z关于坐标平面xoz对称的点；
(,,)
P x y z关于x轴对称的点；
(,,)
P x y z关于y对轴称的点；
(,,)
P x y z关于z轴对称的点；
三、课后练习
1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.
A．(,,)
P x y z中,,
x y z的位置是可以互换的
B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系
C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分
D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同
2. 已知点(3,1,4)
A--，则点A关于原点的对称点的坐标为（）.
A．(1,3,4)
--B．(4,1,3)
--C．(3,1,4)
-D．(4,1,3)
-
3.已知ABC
?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)
A B C
-，则ABC
?的重心坐标为 .
4.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)
M-，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.
四、课后反思
宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）
编号SXBx2-2-3
主编人：余奎审稿人：高二数学组定稿日：
协编人：高二数学备课组使用人：
课题：2.3.2 空间两点的距离公式
考纲解读
学习内容学习目标高考考点考查题型
空间坐标系；
空间距离1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公
式.
2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点
的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.
3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.
1.空间坐标系
2.空间距离
选择，填空题、
解答题中分支
问题
一、新课导学
问题1：空间直角坐标系该如何建立呢？.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
问题2:空间两点间的距离公式
(1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|= ,特别地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|= .
(2)说明:注意此公式与两点的先后顺序无关.空间两点间的距离公式可以看成平面内两点间距离公式的推广.
二、课内探究
探究一：正确建立空间直角坐标系
例1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
变式1：在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a, PA⊥底面ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD于E.试建立适当的坐标系,求出各点的坐标.
探究二：空间中两点之间的距离
例2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.
变式2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.
三、课后练习
1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)
A B
--之间的距离（）.
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知ABC
?的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)
A B--，(0,5,1)
C则BC边上的中线长为.
3. 在河的一侧有一塔5
CD m
=，河宽3
BC m
=，另侧有点A，4
AB m
=，求点A与塔顶D的距离.
4. 方程222
(2)(3)(1)36
x y z
-+++-=的几何意义是 .
4．已知(3,5,7)
A-和点(2,4,3)
B-，则线段AB在坐标平面yoz上的射影长度
为.
四、课后反思
语言综合运用新题型专项训练
扩展语句
1．根据下面的文字，完成后面的问题。
古人的清明节是这样过的。①感受春季“万物生长此时，皆清洁而明净”的美好；②祭拜先祖：男女扫墓，拜者、酹者、哭者、为墓除草添土者，以纸钱置坟头；
③趋芳树，择园圃，列坐尽醉，尽享对生活的热爱。
依据上面的文字，发挥你的想象，描写一段古人过清明的场景。要求：以上三个场景任选其一进行描写，语言形象、生动，至少使用两种修辞手法，100字左右。
，。
。，
2．《中国诗词大会》中有一个固定项目——画图猜诗词，主持人让人根据诗词意境画一幅图，选手们根据画面内容说出相应的诗词。假设你也是一位主持人，请以“何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时”为题构思一幅图画，使之富有含蓄的意蕴美。请用简洁的语言说明你构思出的图画内容，并简要分析。（不超过120个字）。
空间直角坐标系整理
2．3．1 空间直角坐标系 一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方 向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。 二、题型解析： 题型1、在空间直角坐标系下作点。 例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)， 可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐 标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到 点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上 移动5个单位，就可以得到点M （如图）。 法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三 条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。 法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。 【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可 直接在坐标轴上作出此点； （2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐 标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 （3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三 种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平
(高二数学空间直角坐标系教学教材
(高二数学空间直角坐 标系
宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版） 编号SXBx2-2-3 主编人:余奎 审稿人：高二数学 组 定稿日：协编人：高二数学备课组使用人：课题：2.3.1 空间直角坐标系 考纲解读 学习内容学习目标高考考点考查题型 空间坐标系； 空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确 空间中的任意一点如何表示； 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐 标。 1.空间坐标 系 2.空间距离 选择，填空 题、解答题 中分支问题 问题1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标,x轴、y轴、z轴叫作 坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或 135°,∠yOz=90°. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标. (4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2：（1）平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？ (2)．一个点在平面怎么表示？在空间呢？ 二、课内探究 探究一：确定空间内点的坐标 例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1 中,AD=3,AB=5,AA1=4, 建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标. 变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 探究二：关于一些对称点的坐标求法 (,,) P x y z关于坐标平面xoy对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面yoz对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面xoz对称的点； (,,) P x y z关于x轴对称的点； (,,) P x y z关于y对轴称的点； (,,) P x y z关于z轴对称的点； 三、课后练习 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（）. A．(,,) P x y z中,, x y z的位置是可以互换的 B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系 C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 2. 已知点(3,1,4) A--，则点A关于原点的对称点的坐标为（）. A．(1,3,4) --B．(4,1,3) --C．(3,1,4) -D．(4,1,3) - 3.已知ABC ?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7) A B C -，则ABC ?的重心坐标为 . 4.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3) M-，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标. 四、课后反思
知识讲解空间直角坐标系基础
空间直角坐标系 【学习目标】 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .
2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有 点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---； 点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --； 点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --； 点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --； 点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -； 点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -； 点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 ||d AB == 特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】 类型一：空间坐标系 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。 【答案】11,0,2E ? ? ???，11,,122F ?? ??? 【解析】 法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空
平面直角坐标系
中考数学试题分类（按模块知识点） 平面直角坐标系 1.(2009,莆田)△ABC 在方格中的位置如图所示。 (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A 、B 两点的坐标分别为A(2，一1)、B(1，一4)。并求出C 点的坐标； (2)作出△ABC 关于横轴对称的△111A B C ，再作出△ABC 以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的△222A B C ，并写出1C 、2C 两点的坐标． ．解：(1)如图，建立平面直角坐标系 点C 的坐标是(3，一3) (2)画图 点1C 、2C 的坐标分别是(3，3)，(一3，3) 2.（2009，广州）如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB 的两个端点都在格点上，直线MN 经过坐标原点，且点M 的坐标是（1，2）。 （1）写出点A 、B 的坐标； （2）求直线MN 所对应的函数关系式； （3）利用尺规作出线段AB 关于直线MN 的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。 解：（1）A （-1，3），B （-4，2） （2）y=2x （3）图略。
3.（2009，肇庆）在平面直角坐标系中，点(23) P-，关于原点对称点P'的坐标是．(23) -， 4.（2009，白色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90度，得到△A/B/O，则点A/的坐标为（）D A、（3 , 1） B、（3 , 2） C、（2 , 3） D、（1 , 3） 5（2009，钦州）点P（－2，1）关于y轴对称的点的坐标为（）B A．（－2，－1）B．（2，1）C．（2，－1） D．（－2，1） 6(2009,海南)如图9所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答 下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标； （2）作出△ABC关于坐标原点成中心对称的 △A1B1C1； （3）作出点C关于是x轴的对称点P. 若点P 向右平移 ．．．．x个单位长度后落在△A1B1C1的 内部 ．．，请直接写出x的取值范围. （1）A、B两点的坐标分别为（-1，0）、（-2，-2）； （2）所作△A1B1C1如图2所示； （3）所作点P如图2所示， 5.5＜x＜8 . O y x A B C 1 1 图9 O y x A B C 1 1 A1 B1 C1 P ·
高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 教材分析 本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。 课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。 本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。 课时分配 本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。 教学目标 重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。 知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。 能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。 教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。 自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。 考试点：空间中点的确定及坐标表示。 易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。 拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。 一、引入新课 由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。 ,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示。类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐 x y z表示。 标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)
人教新课标版数学高二A版选修4-4课后训练 1.2极坐标系
课后训练 1．下列各点中与极坐标π57?? ?? ? ，表示同一个点的是( )． A ．6π57?? ??? ， B ．15π57?? ???， C ．6π57??- ???， D ．π57??- ?? ?， 2．在极坐标系内，点π32?? ??? ，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32?? ??? ， C ．2π33??- ???， D ．11π36?? ??? ， 3．已知点M 的极坐标为π53??- ???，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )． A ．π53??- ???， B ．4π53?? ??? ， C ．2π53??- ???， D ．5π53??-- ?? ?， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33?? ???，和? ???3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )． A ．2 B ．2 C D 5．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________． 6．直线l 过点π33A ?? ???，，π36B ?? ??? ，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83?? ???，，π63?? ??? ，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ?? ???，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ①π4???；②π6,3??- ??? ；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)： ①；②(－1，－1)；③(－3,0)． 10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ?? ???，，5π6 6B ?? ???，7π86C ?? ??? ，.
1平面直角坐标系(提高)知识讲解
平面直角坐标系(提高)知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】 1. 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系 ，根据坐标确定点，以及由点求出坐标，掌握点的坐标特征 3. 由数轴到平面直角坐标系 【要点梳理】 ，渗透类比的数学思想. 要点一、有序数对 a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作 (a , b). 要点诠释: (a , b)与(b , a)顺序不同，含义就不同，如电影 院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7, 6)则表示7排6号. 要点二、平面直角坐标系及点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴 标轴的交点为平面直角坐标系的原点 (如图1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的 2. 点的坐标 平面内任意一点 P ,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a , b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b )叫做点P 的坐标，记作：P(a,b)，如图2. 或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐 - 2 - 1 1 r i 』 -3-2-10 ■ L 2 3 -1 ■ -2 ■ X 2.能在平面直角坐标系中 定义：把有顺序的两个数 有序，即两个数的位置不能随意交换,
要点诠释: (1 )表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用 (2)点P(a , b)中，|a|表示点到y 轴的距离；|b 表示点到x 轴的距离. (3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对 (x,y)和它对应，反过来对于任意一对 有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应， 也就是说，坐标平面内的点与有序数对 是 ---- 对应的. 要点三、坐标平面 1.象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的I 、n 、ffi 、w 四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图. 3 -2 T iir _2 第 三象限一3 要点诠释: (1)坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限. 第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域： x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第 四象限.这六个区域中，除了 x 轴与y 轴有一个公共点(原点)外，其他区域之间均没有公 共点. -1 -2 :”隔开. 11 3 笫二象2 第一象限 I 2 3 JC IV 幫四象限 (2)按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方, 第二象限在左上方， 第三象限在左下方，
建立空间直角坐标系的几个常见思路
建立空间直角坐标系的几种常见思路 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ??- ? ??? ，，、133022C ?? ? ?? ?，，． 设302E a ?? ? ??? ，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，，
(完整版)高中数学必修二空间直角坐标系
2.3空间直角坐标系 考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置． ②会推导空间两点间的距离公式． 2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离 重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式． 经典例题：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问 （1）在y轴上是否存在点M，满足？ （2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标． 当堂练习： 1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（） A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 3) D．(-1 ,2, -3) 2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（） A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5) 3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（） A．B．6 C．D．2 4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为（） A．(-1, 0, 2) B．(-1,0, 2) C．(1 , 0 ,2) D．(-2,0,1) 5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（） A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) D．4, -1, 2) 6．若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是（） A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（） A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对 8．已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为（） A．B．C．D． 9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A．B．C．D．
《平面直角坐标系(一)》教学设计
北师大版教材八年级（上）第五章 《平面直角坐标系（一）》教学设计 陕西省西乡县飞凤中学任润学 教学目标 （一）、知识能力 1、认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 2、在给定的直角坐标系中，会由点的位置写出坐标。 （二）、过程方法 1、经历画坐标、看图以及由点找坐标等过程，体会数形结合思想。 2、经历分析、观察点的坐标与图形的关系，发现点的坐标特征，获得探究问题的方法，培养学生的探索能力。 （三）、情感态度 1、培养观察、比较、操作、猜想、归纳等思维方法和数形结合的意识，合作交流意识。 2、通过相同的点在不同的坐标系中有不同的坐标的认识，让学生懂得事物是相对的，是变化的辩证唯物主义观。 教学重点 认识并能画出平面直角坐标系，根据所给的直角坐标系中给出的点的位置写出点的坐标。 教学难点 横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究,以及坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。 教法 引导发现，组织交流，探索归纳，先学后教，当堂训练。
8.0 学法 在教师的指导下，观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知。 教具学具准备 多媒体课件、三角板、方格纸。 师生互动活动设计 1、创设问题情景引入课题，将目标明确化，加强师生情感交流 2、对学生的活动适时启发和指导，加强师生互动。 3、让学生对问题进行充分思考、讨论和交流，使生生互动。 课堂结构： 游戏导入—建立概念—尝试应用—讨论归纳—当堂训练—探索拓展 教学过程： 教学 过程 教师活动 学生活动 设计意 图及内容分析 一、 激趣导 入 ， 揭示课 题 1、激趣导入：(1) 5月12日在中华大地上发生了举国震惊的大地震,地震发生后国家地震台网为了准确的确定震中的位置,用什么来表 述?(经纬度)还有,在进行军事演习时,一发炮弹远渡重洋能准确的命中目标,要靠什么?(准确的 定位) 前一节通过丰富多彩、形式多样的确定位置 的方式，使大家感受了丰富的确定位置的现实背景和现实生活中确定位置的必要性（一边播 放图片一边叙述），并学习了有关确定位置的一些方法，现在我们分成两个小组来做一个游戏，大家高兴不高兴？本节课看哪个小组同学表现出色。规则：将教室进门的第一行第一列位置记为（1，1），那么老师随意说出如（5，3）等数对，同学们举手抢答该位置所坐学生的名字，看哪个组回答对的次数多。 1、观察图示，独立思考 2、讨论交流达成共识，然后每组由一名学生代表发言，其他学生补充，教师作出点拨和评议。 3、明确本节课的学习目标，使学习有的放矢。 通过游戏引入，以激发学习兴 趣，为顺利进入新课作基础。 让学生自学后 分小组进行讨论、交流，培养学生的
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 ． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos 17 BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1 （０，2，０）、3102c ??- ? ???，，、13302C ?? ? ??? ，，．
设302E a ?? ? ???，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ????--= ? ???? ?， 即12a =或32a =（舍去）．故3102E ?? ? ??? ，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角． 因11(002)B A BA ==，，，31222EA ? ?=-- ? ??，， 故11112cos 3 EA B A EA B A θ= =，即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系． 设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、 V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）． 由(020)(103)0AB VA =-=， ，，，，得
重庆高中数学必修二 第四章《空间直角坐标系》全套教案
《空间直角坐标系》教案设计 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 （2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点 空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 师：启发学生联想思 考， 生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.
(x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题. 那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？ 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢？ O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图4.3-1） 师：引导学生看图 4.3-1，单位正方体 OABC–D′A′B′C′，让学 生认识该空间直角系 O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程.
苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系
极坐标系练习 1．点M的极坐标为 2 5,π 3 ?? ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 2．点A的极坐标为 π 2, 3 ?? -- ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________． 4．已知两点的极坐标 π 3, 2 A ?? ? ?? ， π 3, 6 B ?? ? ?? ，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为 ________． 5．直线l过点 π 7, 3 A ?? ? ?? ， π 7, 6 B ?? ? ?? ，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________． 6．在极坐标系中，若 π 3, 3 A ?? ? ?? ， 7π 4, 6 B ?? ? ?? ，则△ABO的面积为__________． 7．点 π 5, 3 A ?? ? ?? 在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐 标为 π 4, 6 ?? ? ?? ，求点M在直角坐标系中的坐标． 9．在极坐标系中，(1)求 7π 5, 36 A ?? ? ?? ， 43π 12, 36 B ?? ? ?? 两点间的距离； (2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标． (1)π 4 ? ? ? ；(2) π 6, 3 ?? - ? ?? ；(3)(5，π)．
认识平面直角坐标系
5.2平面直角坐标系(第1课时) 教学目标： 【知识目标】1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。 2、认识并能画出平面直角坐标系。 3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。 【能力目标】1、通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识，合作交流意识。 2、通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力。 【情感目标】由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。 教学重点： 1、理解平面直角坐标系的有关知识。 2、在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标。 3、由点的坐标观察，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点。． 教学难点： 1、横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的
探究。坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。、 2 教学方法：讨论式学习法 教学过程设计： 一、导入新课 『师』：同学们，你们喜欢旅游吗？ 假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图，）5－6根据示意图，回答以下问题：（图是怎样确定各个景点位置的？你（1）大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格？“碑林”在“2（）“中心广场”北、东各多少个格？如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴、分别 3（）一个方格的边长看做一个单位向上的方向为数轴的正方向，取向右、长度，那么你能表示“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？主要学习用在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，在和用反映直角坐标思想的定位方式。反映极坐标思想的定位方式，这个问题中大家看用哪种方法比较合适？用反映直角坐标思想的定位方式。『生』在上一节课中我们已经做过这方面的练习，现在应怎样『师』 表示呢？这就是本节课的任务。 二、新课学习 1、平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分。 『师』看书，倒数第二段P130 ～P131第一段。（三分钟后）请一位
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧 、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB// CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值. 解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角 1 , 2)、B(2, 4, 0), ?- BC =(-2,3,2) , CD =(0, -1,0). 坐标系，则C （0, 设BC i与CD所成的角为v CD 3 '17 17 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点, EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值. 3 解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系. 由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—, 3 ???在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0, C 1 第3 / —,—,0 . I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄 BA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角. 訳=BA = （0,0八 2） , EA 二 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCD AB 丄 VA 又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则 J-1显1 I 2 2丿 即「2，一皿］ X ,2—aJ < 2 丿 +a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 | 4 I 2丿 3 4 即-2或a =| (舍去).故 E 佇，,0 . ■ 3i 3 去（3,0,_Q ,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿 ，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V = 灵晁^，即ta —子 EA'B 1A 1 (1)证明 AE 丄平面VAD (2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值. 解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系. 设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、 V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0） ， VA =（ 1，0， — V 3 ）. 由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得 AB 丄平面VAD 建立空间直角坐标系的几种方法 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =-- ， ，，(010)CD =- ，，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11cos 17BC CD BC CD θ== ． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1 ．已知AB =BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０， ）、B 1（０，2，０） 、102c ?-???? ，、1302C ???? ?，，． 设0E a ????? ，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB = ， 空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点。 (1)证明：A1D⊥平面A1BC； (2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值。 解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E ⊥平面ABC，所以A1E⊥AE。 因为AB＝AC，所以AE⊥BC。 故AE⊥平面A1BC。 由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE ∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形。 故A1D∥AE。 又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC。 (2)方法一：作A1F⊥BD且A1F∩BD＝F，连接B1F。 由AE＝EB＝2，∠A1EA＝∠A1EB＝90°， 得A1B＝A1A＝4。 由A1D＝B1D，A1B＝B1B，得△A1DB与△B1DB全等。 由A1F⊥BD，得B1F⊥BD，因此∠A1FB1为二面角A1－BD－B1的平面角。 由A1D＝2，A1B＝4，∠DA1B＝90°，得 BD＝32，A1F＝B1F＝4 3， 由余弦定理得cos∠A1FB1＝－1 8。 方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正 半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。 由题意知各点坐标如下： A 1(0,0，14)， B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2， 2，14)。 因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)，DB 1→＝(0，2，0)。 设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)。 由??? m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0， 即????? 2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0， 可取m ＝(0，7，1)。 由??? n ·DB 1→＝0，n ·BD →＝0，即????? 2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0， 可取n ＝(7，0,1)。 于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝18 。 由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1－BD －B 1的平 面角的余弦值为－18。 4.3.1 空间直角坐标系教案 (一) 教学任务分析 使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。 (二) 教学重点和难点 重点：空间直角坐标系中点的坐标表示 难点：空间直角坐标系中点的坐标表示 （三）教学过程 (1) 空间直角坐标系的定义？ 引导学生看上图， 单位正方体''''C B A D OABC ，让学生认识该空间直角坐标系O —xyz 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。 (2) 建立空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？ 引导学生观察图[2]， 点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标；如果给定了有序实数组),,(z y x ，它是否对应着空 间直角坐标系中的一点呢？ 由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实 数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中 的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。 （3）例题讲解 例1 如图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4， |OD`|=2，写出D`，C ，A`，B`四点的坐标. ) 2,4,3('),2,0,3('),0,4,0(),2,0,0('B A C D 解：由图可知： （4）练习 1、如图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C ，B`，P 的坐标. 2、如图，棱长为a 的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.试写出点Q 的坐标. 3、在空间直角坐标系中标出下列各点：A(0,2,4)，B(1,0,5)，C(0,2,0)，D(1,3,4) 四、课堂小结 ? 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。 ? 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必 要性。 ? 理解并掌握空间直角坐标系中点的坐标表示 五、作业 教科书 136页 练习 )3,2,23(P ),2,4,3('B ),0,4,0(C 解：由图可知：)2,2,2(Q a a a Q 为正方体的中心 解：由图可知：建立空间直角坐标系的几种方法
空间立体几何建立直角坐标系资料
高中数学-空间直角坐标系教案