复合函数相关性质和经典例题

定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。

求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：

（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；

（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；

（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；

（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数

)]([x g f y =的一个单调区间；

若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；

（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；

（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。

（7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数

（8） (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增.

（9） (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减.

（10） (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增.

（11） (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.

（12） 结论：同曾异减

（13） 例1. 求函数222)(-+=x x

x f 的单调区间. （14） 解题过程：

（15） 外层函数：t

y 2=

（16） 内层函数：22-+=x x t （17） 内层函数的单调增区间：],2

1[+∞-∈x （18） 内层函数的单调减区间：2

1,[--∞∈x （19） 由于外层函数为增函数 （20） 所以，复合函数的增区间为：],2

1[+∞-∈x （21） 复合函数的减区间为： 2

1,[--∞∈x （22） 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间.

（23） 解 原函数是由外层函数u y 2

1log =和内层函数223x x u --=复合而成的； （24） 易知),0(+∞是外层函数u y 2

1log =的单调减区间； （25） 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；

（26） 解题过程：

（27） 外层函数：t y 2log =

（28） 内层函数：22-+=x x t

（29） 022>-+=x x t

（30） 由图知：

（31） 内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x

（32） 内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x

（33） 由于外层函数为增函数

（34） 所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x

（35） 复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x 结合二次函数的图象可知)1,3(-的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和

)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；

于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，

)1,1[-是原函数的单调增区间。

例2.求函数)2(log )(22-+=x x x f 的单调区间.

解题过程：

外层函数：t y 2log =

内层函数：22-+=x x t 022>-+=x x t

由图知：

内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x

内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x

复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x