等价关系

“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等；

在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上

下级关系等等。在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关

系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。

为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。

例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的

父亲，c 也是e 的父亲。现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。把

这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序

对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。

我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。

我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。

二、建立关系举例：

1、 它们之间的小于等于关系R ；

()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R

2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ；

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()?

?????=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ；

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()?

?????=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。

三、关系的几种表示方法：

1、图形表示；

2、表格表示；

3、矩阵表示；

比如：{

}5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则???????

? ??=01000000101010000110

00010R A

⑴、自反性：R 是A 上的二元关系，若?∈a A ，都有∈),(a a R ，则称R 是自反的二元关系。 ⑵、反自反性：R 是A 上的二元关系，若?∈a A ，都有?),(a a R ，则称R 是反自反二元关系.

⑶、对称性：R 是A 上的二元关系，若?∈),(b a R ，都有∈),(a b R ，则称R 是对称的二元关系.

⑷、反对称性：R 是A 上的二元关系，若?∈),(b a R ，又有∈),(a b R 时，有b a =，则称R 是反对称的二元关系.

⑸、传递性：R 是A 上的二元关系，若有∈),(b a R 且∈),(c b R 时，必有∈),(c a R ，则称R 是可传递的二元关系.

五、性质的判别

前四种的判别较容易，

传递性的判别：R 具有传递性的充要条件为R R R ??

例题：集合A={1,2,3,4,5}上的模2同余关系R 的关系矩阵:

A R =???????

?????????1010101010

101010101010101 ????????????????=?????????????????????????????????==10101010101010101010101011010101010

10101010101010110101

010101010101010101012R A B 比较可得：1=ij b 时,必须1=ij a .

五、自反（对称、传递）关系闭包的求法：

例2 设{}c b a A ,,=，()()()()(){}c a a c c b a b a a R ,,,,,,,,,=，

自反闭包：)(R r =A I R .；

对称闭包：)(R s =R R ~

.

传递闭包： ⑴、设A A R ??，则 32)(R R R R t =。 ⑵、设1≥=n A ，A A R ??，则n R R R R t 2)(=。

六、等价关系与分类：

1、同时满足自反、对称、传递性的关系称为等价关系，等价关系将集合A 分成类。

比如，上面例题将10个数除以3余数相同的关系是将10个数分成三类{}10,7,4,1，{}8,5,2，{}9,6,3；

又如，大学里的同班同学的关系是等价关系，老乡关系是等价关系。但师生关系，父子关系不是等价关系。

2、同时满足自反、反对称、传递性的关系称为偏序关系；

3、同时满足自反、对称关系的关系称为相容关系。