高三一轮复习—数学思想方法之函数与方程

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。方程是从算术方法到代数方法中寻找等量关系的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

1.函数的思想方法

函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，通过研究函数的图象和性质，得出所需的结论。在解题中，要善于挖掘题目隐含的条件。高考中有关函数思想的试题主要涉及以下两个方面：

（1)利用有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。

（2)在研究问题中通过建立函数关系或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

2. 方程的思想方法

方程的思想方法就是将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，根据题中各量之间的关系列出等式，沟通未知与已知的关系，从而使问题得以解决。高考中有关方程的单独命题较少，在解题中的应用主要表现在以下三个方面：

（1)方程、函数、不等式的综合题。

（2)求曲线方程及判定曲线的位置关系。

（3)构造方程或不等式求解。

3. 方程的思想与函数的思想密切相关

方程0)(=x f 的解就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标（零点）；函数

)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-y x f ；通过方程进行研究，方程a x f =)(有解，当

且仅当a 属于函数)(x f 的值域；)(x f y =与)(x g y =的图像的交点问题，就是研究方程

)()(x g x f =的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．

4. 函数与方程的思想在解题中的应用

① 数与不等式的相互转化，对函数)(x f y =，当0>y 时，就化为不等式0)(>x f ， 借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；

① 数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；

① 解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；

① 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．

题型一、运用函数与方程的思想解代数式的范围

例1：若,a b 是正数，且满足3ab a b =++，求ab 的取值范围。

解析：方法一：（看成函数的值域）

3,133

,0,011

ab a b a a a b b a a =++∴≠++∴=

>∴>--而 即1a >或3a <-. 又0a >,①1a >,故10a ->.

23(1)5(1)4114

(1)591

a a a a

b a a a a a +-+-+∴=?=

--=-++≥-

当且仅当

4

(1)1

a a -=

-，即3a =时取等号.又3a >时, 4

(1)51

a a -++-是关于a 的单调增函数,①a

b 的取值范围是[9,+∞).

方法二(看成不等式的解集)①,a b 为正数, ①

2a b ab +≥,又3ab a b =++, ①

23ab ab ≥+.

即30ab -≥,解得

3≥1≤-（舍去），所以9ab ≥.

方法三:若设ab t =,则3a b t +=-, ①,a b 可看成方程2

(3)0x t x t --+=的两个正根.

从而有2(3)40300t t a b t ab t ??=--≥?

+=->??=>?

,解得9t ≥，即9ab ≥.

例2：（2019届上海高考第7题） 若,x y +∈R ，且

123y x +=，则y

x

的最大值为 .

解：法一：132y

x =

+≥，①29

8y x ≤=； 法二：由132y x =-，2(32)23y y y y y x =-?=-+（3

02

y <<），求二次最值max 9()8y x =

题型二、函数思想解恒成立和有解问题

例3：函数a y x

x

421++=在]1,(-∞∈x 上0>y 恒成立，则a 的取值范围是_________. 【答案】),4

3

(+∞-

例4：已知函数16)(,2)(2

+-=+=x x x g a x x f ，对于任意的]1,1[1-∈x 都能找到

)()(],1,1[122x f x g x =-∈使得，则实数a 的取值范围是 .

解析：根据题意得到，]1,1[1-∈x 时，()f x 的值域就是[2,2]a a -+，要使上述范围内总能找到2x 满足21()()g x f x =，即知道()g x 的值域要包含[2,2]a a -+，容易算出()g x 的

值域为[4,8]-，因此24

28a a -≥-??+≤?

，故解得[2,6]a ∈-.

例5：（2018届浦东二模第11题） 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是 _________________.

【解析】由题意，|1|3ax x +≤-在[1,2]x ∈恒成立，)3(13x ax x -≤+≤-，分离变量得

[1,0]a ∈-

题型三、函数思想解零点问题或交点个数问题

例6：已知5

2

x ? ?

的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实

数k 的取值范围是 ． 【答案】]4

1

,0(

例7：（2019届闵行松江二模11题）若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 .（用列举法表示）

【解析】{2,1,1,2}--，根据题意，()f x 为偶函数，∴当0x >时，

()4(29)2(3)(6)(23)(26)0x x x x f x x x x x x =+-+--=+-+-=，即23x x =-或

26x x =-，结合2x y =和3y x =-、6y x =-图像可得，1x =或2x =，(1)(2)0f f ==，

∵()f x 为偶函数，∴(1)(2)0f f -=-=，即所有零点的集合为{2,1,1,2}--.

例8：设:a 为非零实数，偶函数1||)(2

+-+=m x a x x f )(R x ∈在区间)3,2(上存在唯一 零点，则实数a 的取值范围是 .

【答案】)2

5

,310(--

详解：1||)(2

+-+=m x a x x f 与2

1y x =+为偶函数，故||y a x m =-为偶函 数，0a ≠，故0m =. 2

()||1f x x a x =++在(2,3)上存在唯一零点可转化为

1,()y a y x x ==-+在(2,3)上有唯一交点.通过图形易知105

32

a -<<-.

例9：（2019届上海高考18题）已知()1

1

f x ax x =+

+)(R a ∈. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集； （2）若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.

【解】（1）当1=a 时，1

1

)(++=x x x f ； 代入原不等式：211111+++<+++x x x x ；即：2

1

11+<

+x x 移项通分：0)

2)(1(1

<++x x ，得：12-<<-x ；

（2）依题意：01

1

)(=++=x ax x f 在]2,1[∈x 上有解 参编分离：)1(1+-

=x x a ，即求)

1(1

)(+-=x x x g 在]2,1[∈x 值域，

)1(+x x 在]2,1[∈x 单调递增，]6,2[)1(∈+x x ； ]21,61[)1(1--∈+-

x x ，故：]2

1

,61[--∈a .

题型四、运用函数与方程思想解方程根的问题 例10：（2020届杨浦高三一模）已知函数1

()|1|f x x

=-

（0x >），若关于x 的方程2[()]()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .

【解析】3

4(,]23

--，设()f x t =，∴2230t mt m +++=，数形结合两种情况：① 10t =，

201t <<，代入10t =，此时230m +=，32m =-，23

2

t =，不符；② 11t ≥，201t <<，

二次函数如图所示，设2()23g t t mt m =+++，∴(0)0g >，(1)0g ≤，得34

23

m -<≤-.

例11：关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ①存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ①存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ①存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是( ).

A . 0

B . １

C . ２

D . ４

解析：根据题意可令｜x 2－1｜＝t (t ≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*) 作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知 ①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根， ①当0＜t ＜1时，原方程有4个根， ①当t ＝1时，原方程有3个根.

(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个； (2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝1

2，相应的原方程的解有4个；

(3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根； (4)当0＜k ＜1

4时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应

的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A .

例12：关于的方程恒有解，求的取值范围．

解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，

即．

解得

（法二）设

①当

；

①. 综上可得，．

点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决．

题型五、运用函数与方程思想解不等式问题

x 043)4(9=+++x

x

a a .0,3>=t t x

则04)4(2

=+++t a t ???

??>=?>+-=+≥?∴,

040)4(0

2

121x x a x x ???-<≥-+,4,016)4(2a a ???-<-≤≥∴4,80a a a 或.8-≤a ,4)4()(2

+++=t a t t f .80,016)4(02-==∴=-+=?a a a 或时，即不符合题意得时,02,0)2()(,02<-==+==t t t f a 符合题意。得时,02,0)2()(,82

>==-=-=t t t f a 8-=∴a 8.4,02

4,4)0(0,8,0-<∴-<>+-

=>-<>?a a a

f a a 即故只需对称轴时或即 8-≤a

例13：已知函数)01)(lg()(>>>-=b a b a x f x

x

，且12

2+=b a ，则不等式0)(>x f 的

解集是 . 【答案】{}

2>x x

例14：已知函数),()(2

R b a b ax x x f ∈++-=的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式

1)(->c x f 的解集为)1,4(+-m m ，则实数c 的值为 . 4

21-

解：①=0?a 2+4b =0, 1)(->c x f ?012>+-++-c b ax x ?012

<-+--c b ax x ，此 不等式的解集为)1,4(+-m m ?|x 1-x 2|=5?(x 1+x 2)2-4x 1x 2=25?a 2-4(-b +c -1)= a 2+4b -4c +4=25?-4 c =21? c =4

21

-.

例15：（19届金山二模11题）若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<∈x Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是 .

【解析】12(,]23

，设2()(2)2f x x a x a =-++-，当2(2)4(2)0a a ?=+--=时，0a >，

∴425a =-+，此时对称轴2

2

a x +=范围在(1,2)之间，∴集合A 中的元素为1或2. ① 若{1}A =，则需满足(0)0f ≥，(1)0f <，(2)0f ≥，解得12

23

a <≤；

② 若{2}A =，则需满足(1)0f ≥，(2)0f <，(3)0f ≥，解得a ∈?；∴12

(,]23

a ∈.

方法二：可以转化为222(1)x x a x -+<+，x ∈Z 有且仅有 一解，设2()22f x x x =-+，()(1)g x a x =+，即当x ∈Z ，

()f x 图像仅有一点在()g x 图像下方，∵0a >，如图所示，

∴(1)(1)f g <且(2)(2)f g ≥，∴12(,]23

a ∈

例16：问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为

34()()155x x +=，考察函数34()()()55

x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减， ①原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：6

3

2

(23)(23)x x x x -+>+-的解 是 .

解：观察不等式的形式，可以变形为6

2

3(23)(23)x x x x +>+++ 构造函数3

()f x x x =+，知道函数()f x 在R 上单调递增，

所以不等式可以转化为2()(23)f x f x >+，根据函数单调性可得2

23x x >+ 故原不等式的解是1x <-或3x >.

题型六、函数与方程思想解三角问题

例17：（2020届宝山二模14题） 若函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线4

x π

=对

称，则a 的值为（ A ）

A. 1

B. 1-

C.

D.

例18： （2020届宝山二模18题）已知函数())f x x ω?=

+，()g x x ω=，

0ω>，[0,)?π∈，它们的最小正周期为π.

（1）若)(x f y =是奇函数，求)(x f 和)(x g 在[0,]π上的公共递减区间D ； （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6

x π

=-，求()h x 的最大值.

解：（1）[,]42

ππ；（2）6

π

?=

，max ()(

)12

h x h π

==

题型七、函数与方程思想解数列问题

例19：（2020届浦东一模11题）已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1

321

t n a a n +<-?+恒成立，则实数t 的取值范围为 .

【解析】(,1]-∞-，等式同除(1)n n +，111(1)n n a a n n n n +=+++，即111

11

n n a a n n n n +-=-++， 累加可得

11211n a n n +=-++，∵1

221

n -<+，∴322t a -?≥，即21t a ?≤，∵[2,2]a ∈-，

∴2211t t ?≤?≤-

例20：（2020届虹口二模16题）已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13

-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n ∈N ，均有1

3n n

A S

B S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为（ ） A. 72 B. 94 C. 11

4

D. 136

【解析】选B. 31[1()]23n n S =--，11()3n --取值依次为113+、119

-、1127+

、1

181-、…， ∴21n S S S ≤≤，即423n S ≤≤，设1()3n n n f S S S =-，可知其在4

[,2]3

上单调递增，

∴4

()()(2)3n f f S f ≤≤，即

1311()42n f S ≤≤，∴min 11139

()244

B A -=-=，故选B.

题型八、函数与方程思想在解析几何中的应用

例21：（2018届静安二模11题）在直角三角形ABC 中，2

A π

∠=，3AB =，4AC =，E

为三角形ABC 内一点，且22

AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于____.

【解析】建系，(0,0)A 、(0,3)B 、(4,0)C ， 设22(

cos ,sin )22E θθ，(0,)2

πθ∈， (4,3)AE AB AC λμμλ=+=，

①234(sin cos )sin()14

π

λμθθθ+=

+=+≤ ①34λμ+的最大值等于1

例22： （2019届虹口二模12题）过点1

(,2)2P -作圆2

24:()(1)1

3

C x m y m -

+-+=（m ∈R ）的切线，切点分别为A 、B ，则PA PB ?的最小值为 .

【解析】223-. 设ACP θ∠=，

(0,)2

π

θ∈，2ACB θ∠=，1cos CP θ=

， ∴()()PA PB PC CA PC CB ?=+?+

2

PC PC CB CA PC CA CB =+?+?+?

2111cos2cos θθ=

--+2212cos 3223cos θθ

=+-≥-，当2

2cos θ=

时等号成立.

例23： 已知直线)1(:+=x k y l 与抛物线x y C 4:2

=交于不同的两点B A ,，问是否存在实

数k ，使以AB 为直径的圆过抛物线的焦点F 。

例24：（2020届宝山二模20题） 已知直线:l y kx m =+和椭圆22

:142

x y Γ+=相交于点

),(11y x A ，),(22y x B .

（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点(2,1)C 在Γ上，若0m ，求①ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是23

，证明：①AOB 为直角三角形. :

题型九、函数与方程思想在立体几何中的应用

例25：（2020届青浦一模11题） 如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶 点C 、D 在函数2

()1x

f x x =

+，0x >的图像上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 . 【解析】

4

π，设1(,0)A x 、2(,0)B x 、1(,)C x t 、2(,)D x t ，∴2

1x t x =+，即2

0tx x t -+=， ∴121x x =，121

x x t

+=，21214||t x x --=，2212||14V Sh t x x t t ππ==-=-，

∵2222(2)(14)2214t t t t +-≥??-，即2

1414t t ≥-，∴4

V π

≤

.

例26： 平面内边长为a 的正三角形ABC ，直线BC DE //，交AC AB ,于E D ,，现将ABC ?沿DE 折成60°的二面角，求DE 在何位置时，折起后A 到BC 的距离最短，最短距离是多少？ :

1、已知函数???<+≥-=0

),1(0

,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的

取值范围是 .

详解：本题考查了函数的有关性质.若方程f(x)+x=0有且仅有两个解，令h(x)=-x ，则(x)h 图像与()f x 图像有且仅有两个交点，即f(x)+a 与-x+a 图像有两个交点.如图所示：易知a <2.

2、设0,1a a >≠，已知函数()2sin 22,(0)x f x a x x π=+->至少有5个零点，则a 的取值范围为 .

答案：(0,1)(1,2)?

详解：即函数2sin 2y x π=与2x

y a =-在(0,)x ∈+∞上的交点个数，分两种情况 当01a <<时，在(0,)x ∈+∞两个函数图像有无数个交点，如下图所示

当1a >时，如下图所示，在(0,)x ∈+∞要至少有5个零点，函数2x

y a =-在1x =处要大于0

即20,2a a -><，综上所述，(0,1)(1,2)a ∈?

3、 方程0sin cos 2

=+-a x x 在]2

,0(π

上有解，求a 的取值范围。

4、不等式)1(122

->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m 都成立，求x 的取值范围。

5、正方体棱长为１，为棱上的动点． ①求证：；

1111D C B A ABCD -E 1CC BD E A ⊥1

①当点为棱上的中点时，求证：平面平面；

①在棱上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，确定其位置，若不存在，说明理由．

证明：①连结,则,

①平面,平面,

①是在平面的上的射影，由三垂线定理知，．

①设交于点Ｏ，连结，

①，①，同理可证， ①是二面角

的平面角．

①正方体棱长为１，①，，①， ①，①平面平面．

①假设在棱上存在一点，使二面角的大小为， 由①知．设，则

，， ①在中，由余弦定理得：, ①，可化为， 解得，由于， ①在棱上不存在满足条件的点．（说明：理科学生也可用空间向量解决此题．）

评注：在确定点的位置时，可以先设出，再解方程求出。

6、（2019届上海高考20题）已知椭圆22

184

x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交E 1CC ⊥BD A 1EBD 1CC E E BD A --1?45AC AC BD ⊥⊥EC ABCD ⊥1AA ABCD AC E A 1ABCD BD E A ⊥1BD AC ,EO O A ,1B A D A 11=BD O A ⊥1BD EO ⊥OE A 1∠E BD A --12

6

1=

O A 23,231==E A EO 22121EO O A E A +=OE A 1∠?=90⊥BD A 1EBD 1CC E E BD A --1?45OE A 1∠?=45x EC =2

22

2122x x EO +=+???

? ??=()3212,262211+-=-+==x x x E A O A OE A 1?OE A EO O A EO O A E A 112

2121cos 2??-+=2221262212332222

?+??-++=

+-x x x x 01822=--x x 2232±=x ,02232<-122

32>+1CC E ＣＡ Ｂ

Ｄ

Ｅ

椭圆于A 、B 两点.

（1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；

（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；

（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

【解】（1）依题意：)0,2(2F ，当AB ⊥x 轴，则坐标)2,2(A ，)2,2(-B ， ∴ 22=AB

（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：44

tan

42

tan 221=?=?=π

θ

b S AF F △；

又：4221==c F F ，4222

1

21==??=A A AF F y y c S △，即2=A y 所以A 在短轴端点，即)2,0(A

直线AF l （即AB l ）方程为：2+-=x y ，联立：???

??=+

+-=148

2

22y x x y ，得)32,38(-B .

法二（常规）：依题意：设坐标),(11y x A ，∵ 2

21π

=∠AF F （注意：用点2F 更方便计算）

则有：21211111214),2(),2(y x y x y x AF AF +-=-?+=?

又A 在椭圆上，满足：1482121=+y x ，即：)8

1(4212

1x y -=

∴ 0)8

1(44212

121=-+-=?x x AF AF ，解出：01=x ，)2,0(A

B 点坐标求解方法同法一，)3

2

,38(-B .

（3）设坐标),(11y x A ，),(22y x B ，),0(3y M ，),0(4y N ，直线l ：2+=my x （k =0时不满

足题意）则：21212122

1

1y y y y F F S AB F -=-?=

△； 434312

1

1y y y y O F S MN F -=-?=

△； 联立方程：?????=++=148222y

x my x ，044)2(22=-++my y m ，韦达定理：???

????

+-=

+-=+2424221221m y y m m y y 由直线1AF 方程：)2(211++=

x x y y 得M 纵坐标：2211

3+=

x y y ； 由直线1BF 方程：)2(222++=

x x y y 得N 纵坐标：2

222

4+=

x y y ； 若MN F AB F S S 11△△=，即43212y y y y -=-

21212122112211432)

4)(4()(842422222y y my my y y my y my y x y x y y y -=++-=+-+=+-+=

- ① 4)4)(4(21=++my my ，416)(421212=+++y y m y y m ，代入韦达定理：

得：4162

4424222=++-?++-m m m m m ，解出：3±=m

① 存在直线023=-+y x 或023=--y x 满足题意.