矩阵分析期末考试2012
2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业 学号 姓名
一、（共30分，每小题6分）完成下列各题：
（1）设4
R 空间中的向量????????????=23121α，????????????--=32232α，????????????=78013α，????
??
??????--=43234α，
?????
?
??????--=30475α
Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V 的
维数.
解：=A {}
54321,,,,ααααα?
?
???
?
???
???--→000004100030110
202
01 21V V +和21V V 的维数为
3和1
（2） 设()
T
i i 11-=α，()
T
i i 11-=β是酉空间中两向量，求
内积()βα, 与它们的长度（i =
. （0， 2, 2）；
（3）求矩阵??
??
?
?????----=137723521111A 的满秩分解.
解：??
??
?
?????----=137723521111A ???????
?
???
????
?
--
--→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211???????
???
???
??
?
----747
510737201* （4）设-λ矩阵????
? ??++=2)1(000000
)1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形与其
行列式因子.
解：????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()???
?
?
??++→2111λλλλ
（5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=，
验证x 是向量范数.
二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为
??
??
?
?????-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数与一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数与一组基.
解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]??
??
?
?????-021110111,,321εεε
线性变换T 的值域为T （V ）= {}321312,span εεεεε+++ 所以A （V ）的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++
（2）矩阵A 的核为0的解空间。不难求得0的基础解系是[2, -1,
1]
T
,
因此)(A N 的维数为1， 基为3212εεε+-.
三、（8
分）求矩阵???
?
????
?
?=66
0606
066
A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.
解：
?????????
?=66
0606
066A =?????
? ?????????
?
?
?
?
--
2213
3332*316
20
316
121316121
四、（8分）设????
??--=0111021i
i A ，求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12
-=i ）.
解：{}1max 2,3,1,13A ==，（2分）
{}max 3,44A ∞== ，
（2分）
1
2
42
211F
A ij j i a ===??∑∑ ???
()12
1141113=+++++= （2分）
1120110H
i i A
?? ?-
?= ?- ???
， 6113H
AA
-??= ?-??
（2分）
2
6
1
9171
3
H
E AA λλλλλ-=
=-+--
1,2λ=
=
2
A
?
=
（2分）
五、（共24分，每小题8分）证明题：
（1）设A 是正定矩阵，B 是反矩阵，证明B A +是可逆矩阵. （2）设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是矩阵的充要条件是A 的特征
值为实数.
（3）若1A <，证明A E +为非奇异矩阵，且
A
A E -≤
+-11
)(1，这
里A 是诱导范数.
六、（共20分，每小题5
分）设???
?
?
??---=213111213A ，
（1） 求A E -λ的标准形（写出具体步骤）； （2） 求A 的初等因子、最小多项式与标准形J ； （3） 求相似变换矩阵P 与其逆矩阵阵1-P ； （4） 求)sin(At .
解
A E -λ()???
?
? ??-→2111λλ，
初等因子λ，()21-λ；最小多项式
()2
1-λλ； 标准????
?
??1110
??????????=112101111P ，??
????????---=-11101110
11P )sin(At ??
??
?
?????--+---+=t t t t
t t t t t t t t t t t
t t t t cos sin cos cos sin 2sin sin sin cos sin cos cos sin 2